资源简介

专题11 导数的概念、运算及几何意义9题型分类
一、导数的概念和几何性质
1.概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
注：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
2.几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
4.导数的几何意义
（1）在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
（2）过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
（一） 导数的定义 对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型1：导数的定义 1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案. 【详解】由图象可知， 即. 故选：D 1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 【答案】C 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由，求导得：. 当时，，解得（舍去）. 故当时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故选：C 1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】 根据导数定义，将增量化成即可得到. 【详解】因为 所以 故选：B 1-4．（2024高二下·重庆·阶段练习）若函数在处可导，且，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义进行求解即可． 【详解】由导数定义可得， 所以． 故选：A． 1-5．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果. 【详解】由导数定义， 对于A， ，A满足； 对于B，， ，B不满足； 对于C，， ，C不满足； 对于D，， ，D不满足. 故选：A.
（二） 求函数的导数 对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型2：求函数的导数 2-1．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，则 . 【答案】-2 【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答. 【详解】由函数求导得：，当时，，解得， 因此，，所以. 故答案为：-2 2-2．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则 ． 【答案】 【分析】对等式两边求导得，将代入可得关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则，故，故． 故答案为：. 2-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以 （4）因为，所以 2-4．（2024高三·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【分析】根据导数的运算法则求解即可. 【详解】（1） . （2）， 所以. （3）. （4） . （5）. （6）， 故 .
（三） 导数的几何意义 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．
题型3：在某点处的切线方程 3-1．（2024·广东广州·三模）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】函数的导函数为， 所以函数在处的导数值， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为：. 3-2．（2024·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3-3．（2024高三上·陕西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数求解出直线的斜率，然后求出直线方程即可； 【详解】因为， 所以所求切线的斜率， 故该切线的方程为,即 故选：A. 3-4．（2024·全国）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3-5．（2024·全国）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
题型4：过某点的切线方程 4-1．（2024·湖南·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为 ，这条切线在x轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 即，解得， 所以切线方程为， 可知该切线在x轴上的截距为． 故答案为：， 4-2．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线方程为 ， . 【答案】 【分析】由对称性，只需先求当时，的切线方程.设切点，利用斜率相等建立方程求解即可. 【详解】当时，， 设切点为，则，即，解得， 则切线斜率为，切线方程为. 又因为为偶函数，所以当时，切线方程为. 故答案为：，. 4-3．（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到切线方程，依题意关于的方程有两个不同的解、，利用韦达定理计算可得. 【详解】因为，所以，设切点坐标为， 所以，所以切线方程为， 所以，即， 依题意关于的方程有两个不同的解、， 即关于的方程有两个不同的解、， 所以. 故选：D
题型5：已知切线求参数问题 5-1．（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可. 【详解】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得. 故选：C 5-2．（2024·全国）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算． 解：， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 5-3．（2024·全国）曲线在点处的切线的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解： 则 所以 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 5-4．（2024·全国）已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
题型6：切线平行、垂直、重合问题 6-1．（2024·安徽六安·三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为，根据，得到，再由，即可求出，从而得解； 【详解】解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以． 故选：A 6-2．（2024·湖南长沙·一模）已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（ ） A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3 【答案】B 【分析】求出导函数.设，由曲线在处的切线平行，得到.易得都是方程的解，因此可代入后两式比较从而得出只含有的方程，可解出值，代入检验是我们都容易忘记的，是易错点，解题时要注意． 【详解】设，由得， 由题意，因为，则有． 把代入得， 由题意都是此方程的解，即①， ， 化简为②， 把①代入②并化简得，即，， 当时，①②两式相同，说明，舍去．所以． 故选：B． 6-3．（2024高三上·浙江·期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解. 【详解】因为，所以， 因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设函数在和的切线互相垂直， 则，即①， 因为a一定存在，即方程①一定有解，所以， 即，解得或， 又，所以或，， 所以方程①变为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 6-4．（2024高三·江西抚州·开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，继而求得的坐标，可得的表达式，由此设，可利用导数判断函数单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，， 当时，， 因为切线互相垂直，所以， 所以，所以， 直线的方程为，令，得， 故， 直线的方程为，令，得， 故， 所以， 设，则， 在上单调递减，所以，即， 故选：A. 6-5．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）设函数在处的切线与直线平行，则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求. 【详解】函数的定义域为， 由已知，故， 函数的导函数， 所以， 因为函数在处的切线与直线平行， 所以，所以，经验证，此时满足题意. 故选：D. 6-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设P点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案. 【详解】设，点 ， 则， 由在点P处的切线与直线垂直可得，即， 又，∴, 故选：B
题型7：公切线问题 7-1．（2024·山东烟台·三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 【详解】令，，则，， 设，则曲线在处切线为， 设，则曲线在处切线为， 由题意，消去得， 由题意，方程有两个不同的实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，取极大值；当时，取极小值， 又当时，根据以上信息作出的大致图象， 由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根， 所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为． 故答案为：． 7-2．（2024·全国）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 【考点】导数的几何意义 【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y y0＝f ′（x0）（x x0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同． 7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 . 【答案】1 【分析】构造函数，设切点为，设，设切点为，结合条件得到是函数和的图象与曲线交点的横坐标，利用对称性得出关于直线对称，从而得出，，然后计算出． 【详解】设，则，设切点为，则， 则切线方程为，即， 直线过定点， 所以，所以， 设，则，设切点为，则， 则切线方程为，即， 直线过定点， 所以，所以， 则是函数和的图象与曲线交点的横坐标， 易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称， 因此点关于直线对称， 从而，， 所以． 故答案为：1.
题型8：切线的条数问题 8-1．（2024高二下·福建厦门·期中）若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】 设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案. 【详解】 ，设切点，则切线的斜率为， 故切线方程为， 取，代入，得， ∵，∴有两个不等实根， 故，解之，得或， 故答案为：或 8-2．（2024·福建厦门·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案． 【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为 因为，所以切线方程为：． 又切线过，则，即 则由题可知函数图象与直线有两个交点， 由得，由得 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，又，，，． 据此可得大致图象如下． 则由图可得，当时，曲线有两条过的切线． 故答案为：. 8-3．（2024高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切线的方程，根据切点和斜率列方程组，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】设过点的直线为， ，设切点为， 则 ，得有三个解， 令，， 当，得或，，得， 所以在，单调递增，单调递减， 又，，有三个解， 得，即. 故答案为： 【点睛】利用导数研究曲线的切线方程，首先要关注的是给定的点是在曲线上还是在曲线外，两种情况的求法有区别，也有共同点，共同点是关注切点和斜率，这两个是求解切线问题的突破口.求“解的个数”问题，可转化为极值或值域问题来进行研究. 8-4．（2024高三上·河北·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，由图象观察得出结论． 【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线， 所以， 故选：B．
题型9：最值问题 9-1．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4. 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 9-2．（2024·山东聊城·三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义得到，然后利用导数分析单调性求最值即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以，故切线的斜率为：， ，则. 又由于切点在切线与曲线上， 所以，所以. 令，则，设， ，令得：， 所以当时，，是增函数； 当时，，是减函数. 所以. 所以的最大值为：1. 故选：B. 9-3．（2024·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案. 【详解】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D． 9-4．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，求的最小值可转化为求P到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，从而得此距离 【详解】解：与互为反函数，其图像关于直线对称 先求出曲线上的点到直线的最小距离． 设与直线平行且与曲线相切的切点，． ，，解得．． 得到切点，点P到直线的距离． 最小值为． 故选：B． 9-5．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，求的最小值可转化为求P到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得最小距离. 【详解】解：与互为反函数，它们图像关于直线对称； 故可先求点P到直线的最近距离d， 又，当曲线上切线的斜率时，得，， 则切点到直线的距离为， 所以的最小值为． 故选：D． 9-6．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得公切线方程为，联立方程组，结合，得到，令，求得，令，求得和，得到函数的单调性和最小值，进而得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．（2024·海南·模拟预测）已知偶函数在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由导数的几何意义及偶函数的性质计算即可.
【详解】因为是偶函数，所以，即；
由题意可得：，
所以.
故选：A
3．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，
所以，对任意的恒成立，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，解得.
故选：B.
4．（2024高三·全国·专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
5．（2024·湖南·二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
设出切点，利用导数的几何意义写出切线，由切线经过可得出一个方程，根据题意切线只有一条，也就是转化成关于的方程只有一个解的问题.
【详解】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
6．（2024高三上·上海闵行·期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】“切线重合函数”的充分条件是，存在 有 ，据此逐项分析验证即可.
【详解】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，
是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
7．（2024高二·江苏·专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据导数的几何意义写出函数在点A、B处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，令函数，利用导数求其范围，可得实数a的取值范围.
【详解】当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
8．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断出与关于直线对称，然后说明与无交点，再求出曲线上的点到直线的最小距离，则的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
设，则，
令得，
则当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以与无交点，则与也无交点，
下面求出曲线上的点到直线的最小距离，
设与直线平行且与曲线相切的切点，，
，
，解得，
，
得到切点，到直线的距离，
的最小值为，
故选：D．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，进而再转化为求曲线上的点到直线上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可.
10．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】动点在函数的图像上，在直线的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，利用导数的几何意义，求曲线上斜率为2的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．
【详解】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图像上，在直线的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，当时，解得，即曲线上斜率为2的切线，切点为，
曲线上点到直线的距离，则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．
故选：A．
11．（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将问题转化为求解直线上的点与曲线上的点之间的距离的最小值的问题，利用导数可求得与平行的切线对应的切点，求解该切点到直线的距离即可.
【详解】，又，
表示点与曲线上的点之间的距离；
点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；
令，则，
令，即，解得：或（舍），
又，
的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题求解最小值的关键是将所求式子进行变形后，根据其几何意义，将问题转化为直线上的点与曲线上的点之间的距离的最小值的求解问题，从而利用求解切线的方式来求得最小值.
12．（2024·全国）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
13．（2024·全国）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
14．（2024高二下·四川宜宾·期末）已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】函数定义域为，
，当且仅当，即时取等号，
所以曲线在点处切线斜率的最小值为.
故选：C
15．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围.
【详解】
设切线的倾斜角为，则，∵，
∴切线的斜率，则.
故选：B
16．（2024·全国）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】B
【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角；
【详解】解：因为，所以，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，所以切线的倾斜角为
故选：B
17．（2024高二下·陕西西安·期中）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】偶函数的图象关于轴对称，为极值点，是上以5为周期，也是极值点，极值点处导数为零
【详解】解：是上可导偶函数，
的图象关于轴对称，
在处取得极值，即，
又的周期为5，
，即曲线在处的切线的斜率0，
故选：．
【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件，属于基础题.
18．（2024·山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
19．（2024高二下·河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再得到直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为得到方程，即可求出参数的值.
【详解】因为，所以，则，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
又直线的斜率，
由切线与直线垂直可知，即，解得．
故选：B．
20．（2024·湖南郴州·模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.
【详解】设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
因为函数和有且只有一条公切线，
所以有，
即有唯一实根.
令，则.
解，可得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得最大值.
当时，，，函数图象如图所示，

因为，有唯一实根，所以只有.
故选：C
21．（2024·全国）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.
由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
二、多选题
22．（2024·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A． B．切线：
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误.
【详解】由，可得，即，
根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；
又由，设切点，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
令，可得，所以D正确；
当时，可得，则，
所以的方程为，即，所以B正确；
由，可得，，此时，
所以C错误；
故选：ABD
23．（2024高二下·江苏宿迁·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
【答案】BCD
【分析】利用特殊情况判断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即可判断选项B；求出，，即可判断选项C、D
【详解】A，因为，则，
设，则切线方程为，
切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；
B，处的切线方程为，
所以与轴的交点横坐标为，故B正确；
C，因为，，
所以两条切线可以确定的值，故C正确；
D，由选项C可知，，所以无论在上取
任何有理数都有，故D正确.
故选：BCD
24．（2024·海南海口·一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
【答案】AB
【分析】设切点为，由题意可得，解得，由导数的几何意义可得，即，即可得出答案.
【详解】设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故选：AB.
三、填空题
25．（2024·海南·模拟预测）在等比数列中，，函数，则 ．
【答案】
【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
26．（2024·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 .
【答案】
【分析】利用函数值的定义及函数的求导法则，结合导数值的定义即可求解.
【详解】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案为：.
27．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.
【详解】因为，
所以 ，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：.
28．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为
【答案】
【分析】，令，，易得直线x＝1为的一条对称轴，从而可得的图象也关于直线x＝1对称，再根据二次函数的对称性可求得，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
令，，则，
令，，解得x＝2k＋1，，
当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为的一条对称轴，
故的图象也关于直线x＝1对称，则有，解得b＝－1，
则，，
，，
故切线方程为.
故答案为；.
29．（2024·湖南·模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】首先根据函数是奇函数，求的值，再利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
30．（2024·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出切点，然后求导，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
设该切线方程，且与相切于点，
，整理得，
∴，可得，∴.
故答案为：.
31．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围.
【详解】由，设切点为，则切线斜率为，
所以，过的切线方程为，
综上，，即，
所以有三个不同值使方程成立，
即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.
故答案为：
32．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
【答案】或（写出一条即可）
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入求得切点坐标，即可得切线方程.
【详解】由可得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
则该切线方程为，
将代入得，解得或，
故切点坐标为或，
故切线方程为或，
故答案为：或
33．（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为 ．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【分析】设切点为，利用导数求切线方程，代入一点，关于的方程没有实数解，由判别式解不等式求整数的值.
【详解】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，
由题意关于的方程没有实数解，
则，解得．
因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
34．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为 .
【答案】或
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.
【详解】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
35．（2024·河南商丘·模拟预测）若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为 .
【答案】
【分析】设过点的直线与的图象的切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，可得，则方程解的个数即为切线的条数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】设过点的直线与的图象的切点为，
因为，
所以切线的斜率为，
所以切线的方程为，
将代入得，
即，
设，则，
由，得或，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，
又0，所以恒成立，
所以的图象大致如图所示，
由图可知，方程最多个解，
即过点的切线最多有条，
即的最大值为3，此时.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为 ．
【答案】或
【分析】设切点为，对函数进行求导，且代入可得，故可由点斜式得到切线方程，将代入即可求得或，即可求得切线方程
【详解】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
37．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】易得曲线在点处的切线方程为，再根据切线与圆相切，得到，化简为，根据曲线与圆有三条公切线，则方程有三个不相等的实数根，令，由曲线与直线有三个不同的交点求解.
【详解】解：曲线在点处的切线方程为，
由于直线与圆相切，得（*）
因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程有三个不相等的实数根.
令，则曲线与直线有三个不同的交点.
显然，.
当时，，当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
且当时，，当时，，
因此，只需，即，
解得.
故答案为：
38．（2024·湖南长沙·模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，根据导数的几何意义写出切线方程，可得到，由此构造函数，将问题转化为方程有两解问题即可.
【详解】由题意得，
设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
则切线方程为，即，
，即，
由于两切线为同一直线，所以，得．
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
即有处取得极小值，也为最小值，且为．
又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，
结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，
当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，
由此结合图像可得a的范围是，
故答案为：
39．（2024·江苏南京·模拟预测）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ．
【答案】
【分析】设公切线的切点坐标，根据导数的几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后，构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求.
【详解】设曲线在处的切线与曲线相切于处，
，故曲线在处的切线方程为，
整理得.
，故曲线在处的切线方程为，
整理得.
故
由(1)再结合知，将(1)代入(2) ，得，
解得且，
将代入(1) ，解得且，
即且，令，则，.
令，，
则在区间单调递增，在区间单调递减，且，
又两曲线有且只有一条公切线，所以只有一个根，由图和知.
故答案为：.
40．（2024·福建南平·模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.
【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，
则，
由题意知，
即，解得，
故切点为，切线斜率为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
41．（2024·江苏·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是 .
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，
得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.
故答案为：
42．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 .
【答案】
【分析】用导数和切线的斜率，求得切点的横坐标，进而求得的坐标，代入点斜式即可求出切线方程.
【详解】因为，所以，又切线与直线平行，
所以切线的斜率为，设切线与曲线相切于点，则，解得，
则切点的坐标为.
由于切线的斜率为，过点，所以该切线方程为：，即.
故答案为：，
43．（2024·陕西）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
【答案】
【详解】设.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．
考点：导数的几何意义．
44．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
45．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
【答案】（-2，15）
【详解】试题分析：设点p（a,b）(a<0),∵，∴，∴点P处的切线的斜率为,解得a=-2,∴，故点P的坐标为
考点：本题考查了导数的几何意义
点评：导数的几何意义：导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，即
四、解答题
46．（2024·北京）已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
【答案】(1) (2) (3)见解析
【详解】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.
由得，令，得或，
因为，，，，
所以在区间上的最大值为.
（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，
与的情况如下：
0 1
+ 0 0 +
t+3
所以，是的极大值，是的极小值，
当即时，过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.
（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.
考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.
47．（2024·北京）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
48．（2024·全国）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则的值域为，故的取值范围为.
49．（2024·福建）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值．
②当时,令,得,．
,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．
令,则有．
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
减 增
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
50．（2024·北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
a
0
减 极小值 增
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
51．（2024·全国）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
52．（2024高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)，切点为
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【详解】（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．专题11 导数的概念、运算及几何意义9题型分类
一、导数的概念和几何性质
1.概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
注：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
2.几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
4.导数的几何意义
（1）在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
（2）过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
（一） 导数的定义 对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型1：导数的定义 1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ） A． B． C． D． 1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 1-4．（2024高二下·重庆·阶段练习）若函数在处可导，且，则（ ） A．1 B． C．2 D． 1-5．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（ ）． A． B． C． D．
（二） 求函数的导数 对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型2：求函数的导数 2-1．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，则 . 2-2．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则 ． 2-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 2-4．（2024高三·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)．
（三） 导数的几何意义 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．
题型3：在某点处的切线方程 3-1．（2024·广东广州·三模）曲线在点处的切线方程为 ． 3-2．（2024·全国）函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3-3．（2024高三上·陕西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3-4．（2024·全国）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024·全国）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D．
题型4：过某点的切线方程 4-1．（2024·湖南·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点的横坐标为 ，这条切线在x轴上的截距为 ． 4-2．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）曲线过坐标原点的两条切线方程为 ， . 4-3．（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A． B． C． D．3
题型5：已知切线求参数问题 5-1．（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ） A．0 B． C． D． 5-2．（2024·全国）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A．0 B．1 C．2 D．3 5-3．（2024·全国）曲线在点处的切线的斜率为，则 ． 5-4．（2024·全国）已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D．
题型6：切线平行、垂直、重合问题 6-1．（2024·安徽六安·三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ） A． B． C． D． 6-2．（2024·湖南长沙·一模）已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（ ） A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3 6-3．（2024高三上·浙江·期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 6-4．（2024高三·江西抚州·开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（ ） A． B． C． D． 6-5．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）设函数在处的切线与直线平行，则（ ） A． B．2 C． D．1 6-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ） A．1 B． C．2 D．
题型7：公切线问题 7-1．（2024·山东烟台·三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ． 7-2．（2024·全国）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 .
题型8：切线的条数问题 8-1．（2024高二下·福建厦门·期中）若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 . 8-2．（2024·福建厦门·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ． 8-3．（2024高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ． 8-4．（2024高三上·河北·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D．
题型9：最值问题 9-1．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 9-2．（2024·山东聊城·三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 9-3．（2024·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 9-4．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A． B． C． D． 9-5．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9-6．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·海南·模拟预测）已知偶函数在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024高二下·四川成都·阶段练习）已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南·二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024高三上·上海闵行·期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二·江苏·专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
10．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
11．（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·全国）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·全国）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
14．（2024高二下·四川宜宾·期末）已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．4
15．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·全国）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
17．（2024高二下·陕西西安·期中）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A． B． C． D．
19．（2024高二下·河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A．1 B． C． D．2
20．（2024·湖南郴州·模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
21．（2024·全国）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
22．（2024·安徽芜湖·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A． B．切线：
C． D．
23．（2024高二下·江苏宿迁·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
24．（2024·海南海口·一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3π B．π C． D．
三、填空题
25．（2024·海南·模拟预测）在等比数列中，，函数，则 ．
26．（2024·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 .
27．（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ．
28．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为
29．（2024·湖南·模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
30．（2024·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是 ．
31．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
32．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
33．（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为 ．
34．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为 .
35．（2024·河南商丘·模拟预测）若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为 .
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为 ．
37．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
38．（2024·湖南长沙·模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
39．（2024·江苏南京·模拟预测）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ．
40．（2024·福建南平·模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
41．（2024·江苏·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是 .
42．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 .
43．（2024·陕西）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
44．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
45．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
四、解答题
46．（2024·北京）已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
47．（2024·北京）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
48．（2024·全国）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
49．（2024·福建）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
50．（2024·北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
51．（2024·全国）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
52．（2024高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．

展开更多......

收起↑