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第3节　一次函数的实际应用
(6年6考,8~11分)
　　 从近6年陕西中考的考试内容来看,一次函数的图象及性质、一次函数图象的变换是必考内容,一次函数图象的交点、与其他函数图象或坐标轴围成的图形面积、最值问题、实际应用中也会考查.可以分表格型、文字型、图象型试题形式考查.
【真题精粹·重变式】
考向1表格型
1.经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国.小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如表所示:
商品 红枣 小米
规格 1 kg/袋 2 kg/袋
成本/(元/袋) 40 38
售价/(元/袋) 60 54
根据上表提供的信息,解答下列问题.
(1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3 000 kg,获得利润4.2万元,求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣的袋数.
(2)根据之前的销售情况,估计今年6月到10月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2 000 kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于600 kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣的质量为x(单位:kg),销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(单位:元),求出y与x之间的函数关系式,并求这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得的总利润.
2.(2022·陕西22题7分)如图,这是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下面表格中的数据是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值.
输入x … -6 -4 -2 0 2 …
输出y … -6 -2 2 6 16 …
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为1时,输出的y值为 .
(2)求k,b的值.
(3)当输出的y值为0时,求输入的x值.
考向2文字型
3.(2023·陕西22题7分)经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.通过对某种树进行测量研究,发现这种树的树高y(单位:m)是其胸径x(单位:m)的一次函数.已知当这种树的胸径为0.2 m时,树高为20 m;当这种树的胸径为0.28 m时,树高为22 m.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)当这种树的胸径为0.3 m时,其树高是多少
【答题规范及评分标准】
解:(1)设y=kx+b(k≠0),
根据题意,列方程得　,
解得　　　　　　　, 3分
∴y与x之间的函数关系式为　.
4分
(2)当x=0.3时,　.
答:　.
7分
4.(2019·陕西21题7分)根据记录,在地面的上方11 km以内,每升高1 km,气温降低6 ℃;又知在距离地面11 km以上的高空中,气温几乎不变.若地面气温为m(单位:℃),设距地面的高度为x(单位:km)处的气温为y(单位:℃).
(1)写出距地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式.
(2)上周日,小敏在乘飞机从上海飞回西安途中,某一时刻,她从机舱内屏幕显示的相关数据得知,飞机外气温为-26 ℃时,飞机距离地面的高度为7 km,求当时这架飞机下方地面的气温;小敏想,假如飞机当时在距离地面12 km的高空,飞机外的气温是多少摄氏度呢 请求出当飞机距离地面12 km时,飞机外的气温.
考向3图象型
5.(2024·陕西22题7分)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(单位:kW·h)与行驶路程x(单位:km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
6.(2021·陕西23题7分)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(单位:m)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min.
(2)求AB的函数表达式.
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
7.(2020·陕西21题7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20 cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(单位:cm)与生长时间x(单位:天)之间的关系大致如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约多少天,开始开花结果.
【核心突破·拓思维】
题型1最优方案选择问题
某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游.甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人1 000元.经协商,甲旅行社的优惠方案是老师、学生都按八折收费;乙旅行社的优惠方案是2名老师全额收费,学生都按七五折收费.
(1)设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名,y甲,y乙(单位:元)分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用,求y甲,y乙关于x的函数表达式.
(2)该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少
1.暑期将至,某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下.
方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次游泳费用按六折优惠.
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次游泳费用按八折优惠.
设某学生暑期游泳x(单位:次),按照方案一所需费用为y1(单位:元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(单位:元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.
(1)求k1和b的值.
(2)八年级学生小华计划暑期前往该游泳馆游泳8次,选择哪种方案所需费用更少 请说明理由.
题型2根据函数图象解决实际问题
某洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(单位:升)与时间x(单位:分)之间的关系如折线图所示.请根据图象解答下列问题:
(1)洗衣机的进水时间是 分钟,清洗时洗衣机中的水量是 升.
(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟12升.
①求排水时y与x之间的关系式;
②如果排水时间为3分钟,排水结束时洗衣机中剩下的水量为 升.
2.某超市二月底以60元/瓶的成本价购进某种洗发露600瓶,并按照80元/瓶的单价销售,销售200瓶后正好遇上“三八妇女节”,商场决定当日以成本价销售,第二日恢复原价后,因库存量较少,超市又以60元/瓶的成本价再次购进这种洗发露200瓶,当800瓶洗发露全部销售完后共获利12 000元.如图,请你根据销售利润y(单位:元)与销售量x(单位:瓶)之间的函数关系图象解答下列问题:
(1)图中m= ,n= .
(2)求BC的函数表达式.
(3)利用(2)中的结论,计算当销售700瓶洗发露时超市获得的利润.
题型3分析表格解决利润问题
周至猕猴桃,陕西省西安市周至县特产,中国国家地理标志产品.某水果批发商计划从果农处采购两种不同的猕猴桃共20吨,经包装后运输至市场进行销售.已知A,B两种规格的猕猴桃的进价、售价及包装费用(A,B两种规格的猕猴桃装箱标准为每箱10千克)如表所示:
猕猴桃规格 进价/(元/千克) 售价/(元/千克) 包装费用/(元/10千克)
A 3.6 8 4
B 4 10 5
根据经验,运输费用、人工费用及其他费用总和为60 000元.设该水果批发商计划购进A种规格的猕猴桃x千克,销售完A,B两种规格的猕猴桃所获得的利润为y元.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)为使销售完所有的猕猴桃后所获得的利润不低于29 000元,该如何采购
3.为开启乡村振兴发展之门,某村组织村民加工某板栗并进行销售,根据现有的原材料预计可以制作相同规格的普通和精品两种板栗共5 000袋,每袋的销售价格和制作成本如表:
种类 销售价格/(元/袋) 制作成本/(元/袋)
普通板栗 15 10
精品板栗 25 15
设制作普通板栗x袋,销售这两种板栗所获的总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若这5 000袋板栗的制作成本为61 000元,则此时的销售总利润是多少
题型4解决分段函数问题
某商店一种玩具定价为15元,商店为了促销,于是打出广告:凡购买6个以上者,超过6个的部分一律打八折.
(1)如果购买金额用y(单位:元)表示,购买数量用x(单位:个)表示,求出y与x之间的函数关系式.
(2)当x=4,x=8时,购买金额分别是多少元
4.绿色骑行是一个能够有效改善空气质量、减少温室气体排放,尤其是碳排放量的绿色生活方式,越来越受到市民的青睐.周末,小夏、小宇两人相约同时从某地出发同向骑行,小夏骑行的速度是15 km/h,小宇骑行的路程s(单位:km)与骑行的时间t(单位:h)之间的关系如图所示.
(1)求s与t之间的函数表达式.
(2)小宇何时追上小夏
题型5方案调配问题与最值问题
A城有肥料400吨,B城有肥料600吨,现要把这些肥料全部运往C,D两乡,C乡需要肥料480吨,D乡需要肥料520吨,其运往C,D两乡的运费如表:
运往C乡 运往D乡
A城 20元/吨 18元/吨
B城 16元/吨 12元/吨
设从A城运往C乡的肥料为x吨,从A城运往两乡的总运费为y1元,从B城运往两乡的总运费为y2元.
(1)分别求y1,y2与x之间的函数关系式.
(2)若A城的总运费不得超过7 600元,怎样调运能使两城总费用的和最少 并求出最小值.
题型6工作分配问题
某蓝莓种植生产基地产销两旺,采摘的蓝莓部分加工销售,部分直接销售,且当天都能销售完,直接销售是40元/kg,加工销售是130元/kg(不计损耗).已知基地雇佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70 kg或加工35 kg.设安排x名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓.
(1)若基地一天的总销售收入为y元,求y与x之间的函数关系式.
(2)试求如何分配工人,才能使一天的销售收入最大,并求出最大值.
5.某水果生产基地安排30名工人采摘枇杷或草莓(每名工人只能做其中一项工作),并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓,当天的枇杷售价为每吨2 000元,草莓售价为每吨3 000元,设安排其中x名工人采摘枇杷,两种水果当天全部售出,销售总额为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量,求销售总额的最大值.
一次函数实际应用解题思路
　　(1)最优方案选取问题的解决思路通常采取分类讨论的方式: ①分三种情况,即y1y2; ②根据y与x之间的函数关系式确定自变量的取值情况分析即可.
　　(2)图象问题要注意: ①速度公式的运用,这里的速度也可以涉及效率、变化率等; ②注意图象的倾斜程度,若图象越陡峭,则变化率越大; ③斜向上与斜向下的图象具有“相反”的含义,当图象为水平直线时,代表因变量不变.
　　(3)解决一次函数最值问题要注意两点: ①找出与自变量有关的不等关系; ②借助一次函数的增减性与自变量的取值求最值即可.
　　(4)解决调配问题时,为了更好地捋清楚变量间的逻辑关系,可采用列表的方式进行分析: “横+横=横,纵+纵=纵”,即表格中横向式子之和是需求量;纵向式子之和是供给量.
题型7借助“程序框图”运算规律解决一次函数应用问题
如图,这是一个程序运算图及其对应的函数图象,根据程序运算图和函数图象解答下列问题:
(1)当输入x的值为-1时,输出的y的值为 .
(2)当x为非负数时,求一次函数的表达式.
(3)当输出y的值为-1时,求输入的x值.
6.如图,这是一个“函数求值机”,其中y是x的函数.下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值.
输入x … -6 -4 -2 0 2 …
输出y … -8 -6 -4 0 6 …
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为-1时,输出的y值为　　　.
(2)求k2,b的值.
(3)当输出的y值为-时,输入的x值为　　　.
参考答案
真题精粹·重变式
1.解析:(1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,则红枣共获得利润20m元,小米获得利润×16元.
由题意得20m+×16=42 000,
解得m=1 500.
答:这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1 500袋.
(2)由题意得y=20x+×16=12x+16 000.
∵600≤x<2 000,
∴当x=600时,y取得最小值,最小值为23 200元.
答:y与x之间的函数关系式为y=12x+16 000,这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23 200元.
2.解析:(1)8.
提示:当输入的x值为1时,输出的y值为y=8x=8×1=8.
(2)将(-2,2),(0,6)代入y=kx+b,得
解得
(3)令y=0,由y=8x,得0=8x,
∴x=0<1(舍去).
由y=2x+6,得0=2x+6,
∴x=-3<1,
∴当输出的y值为0时,输入的x值为-3.
3.(1)　　y=25x+15(x>0)
(2)y=25×0.3+15=22.5　当这种树的胸径为0.3 m时,其树高为22.5 m
4.解析:(1)根据题意得y=m-6x(0≤x≤11).
(2)将x=7,y=-26代入y=m-6x,
得-26=m-42,∴m=16,∴当时地面气温为16 ℃.
∵x=12>11,∴y=16-6×11=-50.
答:当飞机距离地面的高度为7 km,当时这架飞机下方地面的气温为16 ℃;当飞机距离地面12 km时,飞机外的气温为-50 ℃.
5.解析:(1)设y=kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150,50),
得解得
∴y=-x+80(0≤x≤400).
(2)令x=240,则y=32,
×100%=32%.
答:该车的剩余电量占“满电量”的32%.
6.解析:(1)由图象知,“鼠”6 min跑了30 m,
∴“鼠”的速度为30÷6=5(m/min),
“猫”5 min跑了30 m,
∴“猫”的速度为30÷5=6(m/min),
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1 m/min.
故答案为1.
(2)设AB的函数表达式为y=kx+b.
∵图象经过点A(7,30)和点B(10,18),
把点A和点B的坐标代入函数表达式,
得解得
∴AB的函数表达式为y=-4x+58(7≤x≤10).
(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5.∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发,
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5-1=13.5(min).
答:“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.
7.解析:(1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0),
则20=15k,解得k=,
∴y=x;
当15则解得
∴y=x-30.
综上,y=
(2)当y=80时,80=x-30,解得x=33,
33-15=18(天),
∴这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约18天,开始开花结果.
核心突破·拓思维
例1　解析:(1)y甲=0.8×1 000x=800x(x>2),
y乙=2×1 000+0.75×1 000×(x-2)=750x+500(x>2).
(2)①y甲800x<750x+500,
解得x<10.
②y甲=y乙,
800x=750x+500,
解得x=10.
③y甲>y乙,
800x>750x+500,
解得x>10.
答:当老师和学生人数超10人时,选择乙旅行社支付的旅游费用较少;当老师和学生人数为10人时,两家旅行社支付的旅游费用相同;当老师和学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费用较少.
变式设问　1.解析:(1)根据题意,得解得
∴方案一所需费用y1与x之间的函数关系式为y1=18x+30(x≥0),
∴k1=18,b=30.
(2)∵打折前的每次游泳费用为18÷0.6=30(元),
∴k2=30×0.8=24,
∴y2=24x(x≥0).
当游泳8次时,
选择方案一所需费用:y1=18×8+30=174(元).
选择方案二所需费用:y2=24×8=192(元).
∵174<192,∴选择方案一所需费用更少.
例2　解析:(1)4;40.
提示:依题意得洗衣机的进水时间是4分钟,清洗时洗衣机中的水量是40升.
(2)①∵洗衣机的排水速度为每分钟12升,从第15分钟开始排水,排水量为40升,
∴y=40-12(x-15)=-12x+220(x>15).
②4.
提示:∵排水时间为3分钟,
∴y=-12×(15+3)+220=4(升).
∴排水结束时洗衣机中剩下的水量为4升.
变式设问　2.解析:(1)4 000;400.
提示:由题意知,
m=(80-60)×200=4 000,
(80-60)×(200+800-n)=12 000,
解得n=400.
(2)由(1)知B(400,4 000),C(800,12 000),
设BC的函数表达式为y=kx+b,把B,C的坐标代入,
得解得
∴BC的函数表达式为y=20x-4 000(400≤x≤800).
(3)当x=700时,y=20×700-4 000=10 000,
∴当销售700瓶洗发露时超市获得的利润为10 000元.例3　解析:(1)设购进A种规格的猕猴桃x千克,则购进B种规格的猕猴桃(20 000-x)千克.
由题意得y=(8-3.6)x+(10-4)(20 000-x)-4×-5×-60 000,
化简得y=50 000-1.5x,
∴y与x之间的关系式为y=50 000-1.5x(0(2)根据题意得y=50 000-1.5x≥29 000,
即1.5x≤21 000,解得x≤14 000,
14 000千克=14吨.
答:为了利润不低于29 000元,最多采购A种规格的猕猴桃14吨.
变式设问　3.解析:(1)设制作普通板栗x袋,则精品板栗为(5 000-x)袋,根据题意,
得y=(15-10)x+(25-15)(5 000-x)=-5x+50 000(0≤x≤5 000).
(2)由题意,得10x+15(5 000-x)=61 000,
解得x=2 800,
∴y=-5×2 800+50 000=36 000.
答:此时的销售总利润是36 000元.
例4　解析:(1)由题意可得当0当x>6时,y=15×6+(x-6)×15×0.8=12x+18,
由上可得y与x之间的函数关系式为
y=
(2)当x=4时,y=15×4=60.
当x=8时,y=12×8+18=114.
答:当x=4,x=8时,购买金额分别为60元,114元.
变式设问　4.解析:(1)当0≤t≤0.3时,设s=at,
把(0.3,3.6)代入表达式,得0.3a=3.6,
解得a=12,∴s=12t.
当t>0.3时,设s=kt+b,
把(0.3,3.6)和(0.5,7.2)代入表达式,
得解得
∴s=18t-1.8.
∴s与t之间的函数表达式为s=
(2)由(1)可知当0≤t≤0.3时,小宇骑行的速度是12 km/h,而小夏骑行的速度是15 km/h,则小夏在小宇的前面.
当t>0.3时,小宇骑行的速度是18 km/h,而小夏骑行的速度是15 km/h.
设t h后,小宇追上小夏,
则15t=18t-1.8,解得t=0.6.
答:0.6 h后小宇追上小夏.
例5　解析:(1)∵从A城运往C乡的肥料为x吨,
∴从A城运往D乡的肥料为(400-x)吨,从B城运往C乡的肥料为(480-x)吨,从B城运往D乡的肥料为520-(400-x)=(120+x)吨,
根据题意得y1=20x+18(400-x)=2x+7 200(0≤x≤400),
y2=16(480-x)+12(120+x)=-4x+9 120(0≤x≤400).
(2)依题意得2x+7 200≤7 600,
解得x≤200.
设两城总费用为W元,
则W=y1+y2=2x+7 200-4x+9 120=-2x+16 320.
∵-2<0,∴W随x的增大而减小,
∴当x=200时,W取得最小值,最小值为15 920.
400-200=200(吨),480-200=280(吨),120+200=320(吨).
答:从A城运往C乡的肥料为200吨,从A城运往D乡的肥料为200吨,从B城运往C乡的肥料为280吨,从B城运往D乡的肥料为320吨,此时两城总费用的和最少,最小值为15 920元.
例6　解析:(1)根据题意得y=[70x-(20-x)×35]×40+(20-x)×35×130=-350x+63 000(0∴y与x之间的函数关系式为y=-350x+63 000(0(2)∵70x≥35(20-x),
∴x≥.
∵x为正整数,且x≤20,∴7≤x≤20.
∵y=-350x+63 000,k=-350<0,
∴y的值随x的值增大而减小,
∴当x=7时,y取最大值,最大值为-350×7+63 000=60 550.
答:安排7名工人进行采摘,13名工人进行加工,才能使一天的收入最大,最大收入为60 550元.
变式设问　5.解析:(1)x名工人采摘枇杷,那么(30-x)名工人采摘草莓,
采摘的枇杷的数量为0.4x吨,采摘的草莓的数量为0.3(30-x)吨,
根据题意,得y=2 000×0.4x+3 000×0.3(30-x),
整理后,得y=27 000-100x,
∴y与x之间的函数关系式为y=27 000-100x.
(2)根据题意得0.4x≥0.3(30-x),解得x≥.
∵x为正整数,∴x的最小值为13.
∵x越小,y越大.
∴把x=13代入y=27 000-100x,解得y=25 700,
即销售总额的最大值为25 700元.
答:若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量,则销售总额的最大值为25 700元.
例7　解析:(1)4.
提示:∵x=-1<0,
∴当输入x的值为-1时,
y=2×[1-(-1)]=4.
(2)由题意得解得
∴当x为非负数时,一次函数的表达式为y=-x+2.
(3)由题意知,当输出y的值为-1时,x为非负数,
∴-x+2=-1,
解得x=6,∴输入的x值为6.
变式设问　6.解析:(1)-3.
提示:根据表格可知,当x=2时,y=6,
∴6=2k1,解得k1=3,
∴y=3x(x≥-1),
∴当x=-1时,y=3×(-1)=-3.
(2)依题意,当x<-1时,y=k2x+b,
由表格可得当x=-6时,y=-8;当x=-2时,y=-4,
∴解得
∴y=x-2(x<-1).
(3)-.
提示:当x≥-1时,-=3x,
解得x=-<-1(舍去).
当x<-1时,-=x-2,解得x=-.

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