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第2节　正比例函数与一次函数
(6年6考,8~11分)
　　 从近6年陕西中考的考试内容来看,正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、一次函数的图象变换是必考内容,难度不大.题型为选择、填空、解答题.另外,一次函数与其他函数图象或坐标轴围成的图形面积、实际应用等题型中也会考查.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1一次函数、正比例函数　常考
一次函数、正比例函数
知识点2正比例函数的图象与性质　常考
正比例函数 y=kx(k≠0)
k的正负 k>0 k<0
图象(草图)
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
图象特征 正比例函数图象是过① 的一条直线,且正比例函数图象关于② 中心对称
图象上的点的特征 正比例函数图象上除原点外的点的纵坐标与横坐标之比为定值③
知识点3一次函数y=kx+b的图象与性质　常考
b>0 b<0 b=0
k>0 图象
性质 图象经过第一、二、三象限 图象经过第一、三、四象限 图象经过第一、三象限
y随x的增大而④
k<0 图象
性质 图象经过第一、二、四象限 图象经过第二、三、四象限 图象经过第二、四象限
y随x的增大而⑤
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到,若b>0,则向上平移b个单位长度;若b<0,则向下平移|b|个单位长度
知识点4一次函数解析式的确定
一次函数解析式的确定
知识点5一次函数与方程、不等式的关系　轮考
一次函数
【真题精粹·重变式】
考向1正比例函数的图象与性质
1.(2019·陕西4题3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(2021·陕西6题3分)若在平面直角坐标系中,将直线y=-2x向上平移3个单位长度,平移后的直线经过点(-1,m),则m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
3.(2024·陕西6题3分)一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6).若点A与点B关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
4.如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为 ( )
A.- B.
C.-2 D.2
5.若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限,且过点A(2m,1)和B(2,m),则k的值为 ( )
A.- B.-2 C.-1 D.1
考向2一次函数的图象与性质
6.(2023·陕西5题3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)
的图象可能是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
7.若直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,-3),且与y轴的交点在x轴上方,则k的取值范围是 ( )
A.k> B.k>-
C.k<- D.k<
8.一次函数y=x+1的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x的增大而减小,则k的取值范围是 ( )
A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3
考向3一次函数图象的变换
10.(2019·陕西7题3分)若在平面直角坐标系中,将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与x轴的交点的坐标为 ( )
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(6,0) D.(-6,0)
11.【原创好题】如图,直线y=kx-2k+3(k为常数,k<0)与x,y轴分别交于点A,B,则+的值是 .
【核心突破】
题型1正比例函数图象上点的坐标的特征
若点P(m,n)在正比例函数y=-x的图象上,则下列各式正确的是 ( )
A.2m+3n=0 B.2m-3n=0
C.3m+2n=0 D.3m-2n=0
已知点A(x1,y1),点B(x2,y2)都在正比例函数y=x的图象上.若x2-x1=3,则y2-y1的值为 ( )
A. B.
C.3 D.6
1.若正比例函数y=kx的图象经过点(2,-3),则此图象也必定经过点 ( )
A.(-2,3) B.(2,3)
C.(3,-2) D.(-3,-2)
2.已知点A(a,b),B(a+1,b-2)均在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 ( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
　　(1)当点M(x0,y0)在y=kx的图象上时,y0=kx0,即=k.
(2)当点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)在y=kx的图象上时,k===…=.
题型2一次函数图象上点的坐标的特征
若点M(-7,m),N(-8,n)都在函数y=-x+1的图象上,则m和n的大小关系是 .
3.已知点A(x1,a),B(x1+1,b)都在函数y=-2x+3的图象上,下列对于a,b的关系判断正确的是 ( )
A.a-b=2 B.a-b=3
C.a+b=2 D.a+b=3
　　1.一次函数图象上点的坐标的特征:
若点M(x0,y0)在一次函数y=kx+b的图象上,则y0=kx0+b.
2.一次函数表达式系数“k”与点的坐标的关系:
若点A(x1,y1),B(x2,y2)均在一次函数y=kx+b的图象上,则y1=kx1+b①,y2=kx2+b②,由①-②得y1-y2=k(x1-x2),整理得k=或k=.
题型3一次函数的系数与所经过象限的关系
若直线y=kx+b经过第二、三、四象限,则直线y=-bx+k不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
若一次函数y=(1+2k)x+k-1的图象不经过第一象限,则k的取值范围是 ( )
A.k<-
B.-≤k<1且k≠0
C.-D.k≥1
4.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限,那么以下选项正确的是 ( )
A.kb≥0 B.kb<0
C.kb>0 D.kb≤0
5.已知一次函数y=(m-4)x+2m+1的图象不经过第三象限,则m的取值范围是 ( )
A.m<4 B.-≤m<4
C.-≤m≤4 D.m≤-
题型4一次函数图象的变换
把一次函数y=2x-3的图象先关于x轴对称,再向左平移2个单位长度,所得直线的函数表达式为 ( )
A.y=-2x-1 B.y=2x-7
C.y=2x-10 D.y=-2x+7
若直线l1:y=ax-3与直线l2:y=-2x+b关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标是 ( )
A.(0,-3) B.,0
C.-,0 D.(4,-5)
6.已知一次函数y1=mx+n的图象与一次函数y2=nx-1的图象关于y轴对称,若点A1(2,b)和点A2分别是y1和y2函数图象上的一对对应点,则点A2的坐标是 ( )
A.(-2,1) B.(-2,0)
C.(-2,-1) D.(-2,-2)
7.已知直线l:y=kx+b经过点A(-1,a)和点B(1,a-4),若将直线l向上平移2个单位长度后经过原点,则直线l的函数表达式为 ( )
A.y=2x+2 B.y=2x-2
C.y=-2x+2 D.y=-2x-2
　　1.一次函数图象平移法则:
(1)左加右减自变量,上加下减常数项.
(2)一次函数在平移过程中,自变量系数k不发生变化.
2.求关于任意一条直线或者任意一点对称后直线表达式的步骤:
(1)确定原一次函数图象与x轴或y轴的交点.
(2)求出步骤(1)中点的对称点.
(3)利用(2)中所求对称点求函数的表达式.
注:关于水平或者竖直直线对称的一次函数图象表达式中的“k”值互为相反数,关于任意点对称(或旋转180°)后的一次函数图象表达式中的“k”值不变.
题型5根据k,b特征确定一次函数图象
若实数k,b满足k+b=0,且k　　　　　A　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　D
直线l1:y=kx+b与直线l2:y=bx+k在同一平面直角坐标系中的大致位置是 ( )
　　　　　A　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　D
8.直线y=kx+b经过第二、三、四象限,则直线y=bx-k的图象可能是 ( )
　　　　　　A　　　　　　B
　　　　　　C　　　　　　D
9.如图,表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(a,b是常数,且ab≠0)的图象可能是 ( )
　　　　　A　　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　　D
　　1.(1)当k>0时,一次函数y=kx+b的图象从左向右斜向上倾斜;
(2)当k<0时,一次函数y=kx+b的图象从左向右斜向下倾斜.
2.(1)当b>0时,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于正半轴;
(2)当b=0时,一次函数y=kx+b的图象经过原点,此时为正比例函数图象;
(3)当b<0时,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于负半轴.
题型6一次函数与方程(组)之间的关系
如图,这是一次函数y=ax+b的图象,则关于x的方程ax+b=1的解为 ( )
A.x=0 B.x=2
C.x=4 D.x=6
如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+5=ax+b的解是 ( )
A.x=20
B.x=25
C.x=20或x=25
D.x=-20
如图,一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A.
B.
C.
D.
10.若关于x的方程-2x+b=0的解为x=2,则直线y=-2x+b一定经过点 ( )
A.(2,0) B.(0,3)
C.(4,0) D.(2,5)
11.在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+b(m,b均为常数)的图象与正比例函数y=nx(n为常数)的图象如图所示,则关于x的方程mx=nx-b的解为 ( )
A.x=1 B.x=-3
C.x=3 D.x=-1
　
第11题图　　　　第12题图
12.如图,这是函数y=kx+b与y=mx+n的图象,则关于x,y的方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
　　一次函数图象与直线(x轴、平行于x轴的直线、其他函数图象)的交点横坐标为对应方程(组)的根.
题型7一次函数与不等式之间的关系
如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则关于x的不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2 B.x>-1
C.x>0 D.x>1
直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+bA.-1C.x<-2 D.无法确定
13.如图,直线y=kx+b与坐标轴的两交点分别为A(2,0)和B(0,-3),则关于x的不等式kx+b+3≤0的解集为 ( )
A.x≤0 B.x≥0
C.x≥2 D.x≤2
14.如图,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,2)和点B(-2,0),正比例函数y=mx的图象经过点A,则关于x的不等式组0A.-2B.-1C.x<-1
D.x>-1
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①原点　②原点　③k　④增大　⑤减小
真题精粹·重变式
1.A　2.D　3.A　4.A　5.A　6.D　7.C　8.D　9.D　10.B　11.1
核心突破·拓思维
例1　A　解析:∵点P(m,n)在正比例函数y=-x的图象上,
∴n=-m,整理得3n=-2m,移项得2m+3n=0.
例2　B　解析:∵点A(x1,y1),点B(x2,y2)都在正比例函数y=x的图象上,
∴y1=x1,y2=x2,
∴x1=2y1,x2=2y2.
∵x2-x1=3,
∴2y2-2y1=3,
解得y2-y1=.
故选B.
变式设问　1.A　2.B
例3　m∴y随x的增大而减小.
又∵-7>-8,∴m变式设问　3.A
例4　B　解析:∵直线y=kx+b经过第二、三、四象限,
∴k<0,b<0,∴-b>0,
∴直线y=-bx+k经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
例5　A　解析:当一次函数y=(1+2k)x+k-1的图象经过第二、四象限时,无解,舍去;
当一次函数y=(1+2k)x+k-1的图象经过第二、三、四象限时,解得k<-.
变式设问　4.B　5.B
例6　A　解析:y=2x-3的图象关于x轴对称的图象的函数表达式为-y=2x-3,即y=-2x+3,再向左平移2个单位长度,所得直线的函数表达式为y=-2(x+2)+3,即y=-2x-1.
例7　B　解析:由直线l1:y=ax-3可知,直线l1与y轴的交点坐标为(0,-3),
∴点(0,-3)关于x轴的对称点(0,3)在直线l2上,
∴b=3,
故直线l2的函数表达式为y=-2x+3,
令y=0,则x=,
即l1与l2的交点坐标为,0.
变式设问　6.A　7.D
例8　C　解析:因为实数k,b满足k+b=0,且k0,所以它的图象经过第一、二、四象限.
例9　C　解析:根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可知,
对于A,由图可知,y1=kx+b中,k<0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k>0,k的取值矛盾,故A选项错误;
对于B,由图可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b>0,k>0,b的取值相矛盾,故B选项错误;
对于C,由图可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k>0,k,b的取值相一致,故C选项正确;
对于D,由图可知,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k<0,k的取值相矛盾,故D选项错误.
变式设问　8.A　9.D
例10　C　解析:根据图象可知,一次函数y=ax+b的图象经过点(4,1),因此关于x的方程ax+b=1的解为x=4.
例11　A　解析:∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P(20,25),∴x+5=ax+b的解是x=20,
即关于x的方程x+5=ax+b的解是x=20.
例12　A　解析:∵一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P(1,2),∴关于x,y的方程组的解是
变式设问　10.A　11.C　12.C
例13　C　解析:将(-1,0)代入y=kx+b得-k+b=0,
所以b=k,
则k(x-1)+b>0化为k(x-1)+k>0,
而k>0,
所以x-1+1>0,解得x>0.
例14　A　解析:由图象可知,直线l1和直线l2的交点坐标为(-1,-2),直线l1中y随x的增大而减小.
∵直线y=k2x过原点,
∴关于x的不等式k1x+b变式设问　13.A　14.A

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