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第5节　二次函数的图象与性质
(6年6考,11~21分)
　　从近6年陕西中考的考试内容来看,二次函数的图象与性质考查内容包含:①开口方向;②对称轴;③特殊点的坐标;④函数的增减性;⑤图象与x轴交点个数及位置的判断;⑥图象上的点坐标特征;⑦判断二次函数图象的平移方法;⑧求二次函数图象的平移距离.可以分为根据二次函数表达式判断函数图象与性质、根据二次函数图象判断系数相关结论、二次函数图象的变换、二次函数的综合应用等形式考查.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质　常考
定义 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a a>0 a<0
图象
性质 对称轴 1.对称轴为直线① 2.利用x=求解(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)
顶点坐标 1.顶点坐标:② 2.将一般式配方为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为③
增减性 1.在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而④ 2.在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑤ 1.在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥ 2.在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦
最值 当x=-时,y取最小值,最小值为 当x=-时,y取最大值,最大值为
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系　轮考
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象与a,b,c的关系
二次函数与一元二次方程的关系　轮考
二次函数与一元二次方程的关系
【真题精粹·重变式】
考向1二次函数的系数、图象与性质
1.(2023·陕西8题3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有 ( )
A.最大值5 B.最大值
C.最小值5 D.最小值
2.(2022·陕西8题3分)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是 ( )
A.y1C.y33.(2018·陕西10题3分)若对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·陕西8题3分)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(5,0),抛物线的对称轴为直线x=2,与y轴的交点在y轴的负半轴,则下列结论正确的是 ( ) A.抛物线开口向下 B.4a-b=0 C.4a-2b+c<0 D.点(x1,y1)、点(x2,y2)在抛物线上,当x1y2>0
考向2二次函数图象分析
6.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示,那么二次函数y=ax2+bx+1的图象大致为 ( )
　　　
A　　　　B　　　　C　　　　D
【核心突破·拓思维】
题型1根据系数判断二次函数的图象
在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax-b的图象和二次函数y=-ax2-b的图象大致是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
1.若a,b为非零实数,则函数y=ax+b与y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
题型2利用二次函数图象的对称性判断点坐标的大小关系
已知二次函数y=ax2+bx-2a的图象过点A(1,n),B(3,n),且当x=1时,y>0.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(7,y3)也在该二次函数的图象上,则下列结论正确的是 ( )
A.y1C.y32.已知A(-6,y1),B(2,y2)两点均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y0≥y1>y2,则x0的取值范围是 ( )
A.x0<-6 B.x0<-2
C.-6　　(1)当抛物线开口向上时,抛物线上的点到对称轴的距离越大,则该点的纵坐标越大;
反之,抛物线开口向下时,抛物线上的点到对称轴距离越大,则该点的纵坐标越小.
用数学语言表示(注:直线y=x0为抛物线对称轴):
　　当a>0时,|xA-x0|>|xB-x0|时,yA>yB;
当a<0时,|xA-x0|>|xB-x0|时,yA(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,当|x1-x0|=|x2-x0|(x=x0为抛物线对称轴的表达式),则有y1=y2.
题型3运用二次函数图象对称性解决几何问题
二次函数y=ax2-4ax+2的图象与y轴交于点A,且过点B(3,6).若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C,则tan∠CBA的值是 ( )
A. B. C.2 D.
3.如图,抛物线y=ax2+bx+与y轴交于点A,与x轴交于点B,点C,连接AB,以AB为边向右作平行四边形ABDE,点E落在抛物线上,点D落在x轴上,若抛物线的对称轴恰好经过点D,且∠ABD=60°,则抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=-x2+x+
B.y=-x2+x+
C.y=-x2-2x+
D.y=-x2-x+
题型4二次函数与一元二次方程的关系
已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1A.x1<-1<2C.-1题型5二次函数图象与系数a,b,c之间的关系
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点在-1,-2之间,对称轴为直线x=1,给出以下结论:①b2-4ac>0;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤a+b+c<0.其中结论正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　　(1)a决定抛物线的开口方向以及开口幅度大小.
(2)a,b共同决定抛物线的对称轴位置,当对称轴在y轴左侧,a,b符号相同;当对称轴在y轴右侧,a,b符号相反.即“左同右异”.
(3)c决定抛物线与y轴的交点位置.
(4)赋值法:当结论中出现a,b,c与0的关系判断时,并且在所给不等式中a的系数是b系数的平方,且c的系数为1时,可以令x=±1,±2,±3,…,看对应的y值正负即可.
(5)当结论中出现a,c或者b,c与0的关系判断时,a,b两个字母缺少谁,可先借助对称轴直线x=-进行a,b代换,利用a表示b,或者是b表示a进行字母“消元”,再借助“赋值法”分析判断即可.
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①x=-　②-,　③(h,k)　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小　⑧向上　⑨向下　⑩越小　越大　正半轴　负半轴　>　=　<
真题精粹·重变式
1.D　解析:由题意可得6=m2-m,
解得m1=3,m2=-2,
∵二次函数y=x2+mx+m2-m,图象的对称轴在y轴左侧,
∴m>0,∴m=3,
∴y=x2+3x+6,
∴二次函数有最小值,最小值为==.
故选D.
2.D　3.C　4.D
5.D　解析:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(5,0),抛物线的对称轴为直线x=2,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),-=2,
整理得4a+b=0,故B错误.
∵与y轴的交点在y轴的负半轴,
可画出函数的大致图象,如图所示,
∴抛物线开口向上,故A错误.
y=a(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c>0,故C错误.
∵点(x1,y1)、点(x2,y2)、点(-1,0)在抛物线上,当x1线对称轴的左侧,且抛物线开口向上,
∴y随着x的增大而减小,
∴y1>y2>0.故选D.
6.B
核心突破·拓思维
例1　A　解析:本次采用矛盾分析法——假设a,b的正负性,从图中找出矛盾进行分析.
A.由一次函数y=ax-b的图象可得a>0,-b>0,此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下,顶点的纵坐标-b>0,故A正确;
B.由一次函数y=ax-b的图象可得a<0,-b>0,此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上,顶点的纵坐标-b>0,故B错误;
C.由一次函数y=ax-b的图象可得a<0,-b>0,此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上,顶点的纵坐标-b>0,故C错误;
D.由一次函数y=ax-b的图象可得a>0,-b>0,此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下,顶点的纵坐标-b>0,故D错误,故选A.
变式设问　1.A
例2　C　解析:由点A(1,n),B(3,n)可知其对称轴为直线x=2.
∵当x=1时,y>0,∴将x=1代入二次函数中得a+b-2a>0,得b>a.
又∵-=2,得b=-4a,∴-4a>a,得a<0.
由M(-2,y1),N(-1,y2),P(7,y3)可知,
点M到对称轴的距离为2-(-2)=4,
点N到对称轴的距离为2-(-1)=3,
点P到对称轴的距离为7-2=5,
而a<0,根据抛物线上的点到对称轴距离越大,则对应点的纵坐标越小可知y3变式设问　2.B
例3　B　解析:将点B(3,6)代入到二次函数y=ax2-4ax+2中,得6=9a-12a+2,解得a=-,
即y=-x2+x+2=-(x-2)2+.
其草图如图所示:
延长BC与y轴交于点D,故BD=3,DA=yD-yA=6-2=4,
∴tan∠CBA==.
变式设问　3.B
例4　A　解析:
关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作抛物线y=(x+1)(x-2)与直线y=m的交点的横坐标.
∵二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图所示,
当m>0时,此时x1<-1或x2>2,
∴结合图象可得x1<-1<2例5　C　解析:①∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0.②∵抛物线开口向上,∴a>0.
∵对称轴在y轴的右侧,∴b<0.
∵抛物线与y轴交于负半轴,
∴c<0,∴abc>0.
③∵-=1,∴2a+b=0.
④∵当x=-2时,y>0,∴4a-2b+c>0,即8a+c>0.
⑤根据抛物线的对称性可知,当x=3时,y<0,
∴9a+3b+c<0,
∴a+b+c<0.
综上所述,①②④正确,故选C.

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