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第4节　反比例函数
(6年6考,3分)
　　从近6年陕西中考的考试内容来看,反比例函数的考查均出现在填空题.考查形式包括:①已知正比例函数与反比例函数图象的交点坐标,利用反比例函数k的几何意义求含有点坐标的代数式的值;②已知一次函数与反比例函数图象的交点情况,利用一元二次方程根的判别式或利用线段间的数量关系求表达式.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1反比例函数的概念　轮考
反比例函数
知识点2反比例函数的图象与性质　常考
反比例函数 y=(k为常数,且k≠0)
k的符号 k>0 k<0
图象
性质 象限 第① 象限(x,y同号) 第② 象限(x,y异号)
增减性 在每个象限内,y随x的增 大而③ 在每个象限内,y随x的增 大而④
渐近趋势 图象无限接近坐标轴,但永远不会与坐标轴⑤ (x≠0,y≠0)
对称性 中心对称图形:关于原点成中心对称 轴对称图形:关于直线y=x,y=-x成轴对称
知识点3反比例函数的解析式　常考
反比例函数的解析式
【真题精粹·重变式】
考向1反比例函数的图象与性质
1.(2021·陕西12题3分)若A(1,y1),B(3,y2)是反比例函数y=m<图象上的两点,则y1,y2的大小关系是y1 y2.(填“>”“=”或“<”)
2.(2019·陕西13题3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),若一个反比例函数的图象经过点D,交AC于点M,则点M的坐标为 .
3.(2024·陕西12题3分)已知点A(-2,y1)和点B(m,y2)均在反比例函数y=-的图象上.若0”“=”或“<”)
4.【原创好题】如图,点A在反比例函数y=-(x<0)的图象上,AB∥x轴与y轴交于点C,且BC=2AC,设点Ba,,则k的值为 .
考向2反比例函数表达式的确定
5.(2023·陕西12题3分)如图,在矩形OABC和正方形CDEF中,点A在y轴的正半轴上,点C,F均在x轴的正半轴上,点D在边BC上,BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是 .
6.若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为 .
考向3反比例函数的综合应用
7.(2020·陕西13题3分)在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 .
8.反比例函数的图象经过点(m+2,n),(m,-4)及(8,-n),则m+n= .
【核心突破·拓思维】
题型1反比例函数图象上点坐标的特征
已知A(m+3,2),B3,是同一个反比例函数图象上的两个点,则m= .
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且y1>0>y2,则x1,x2,0的大小关系为 .
1.已知反比例函数y=的图象经过点A(2,m),B(m+3,1),则k的值等于 .
2.点(a,y1),(a+2,y2)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,若y1>y2,则a的取值范围是 .
　　若点M(x0,y0)在反比例函数y=的图象上,则y0=,即x0y0=k.
当点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)在反比例函数y=的图象上时,根据反比例函数图象上点坐标的特征得x1y1=x2y2=x3y3=…=xnyn=k.
题型2反比例函数图象的对称性
如图,A,B是双曲线y=上关于原点对称的任意两点,AC∥y轴,BD∥y轴,则四边形ACBD的面积为 .
3.若直线y=kx(k>0)与双曲线y=的交点为(x1,y1),(x2,y2),则2x1y2-5x2y1的值为 .
　　若正比例函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有x1=-x2,y1=-y2,即两个交点的横、纵坐标互为相反数.
题型3反比例函数与一次函数图象的交点问题
若点(a,b)是一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=图象的交点,则+的值为 .
如图,一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点P,则关于x的方程-x+b=的解是 .
一次函数y=kx+k-1(k≠0)的图象与反比例函数y=的图象交点的个数为 .
4.设函数y=的图象与y=x-1的图象的交点坐标为(a,b),则-的值为 .
5.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-b的图象交于点P,Q,点P的坐标为(4,1),点Q的纵坐标为-2,根据图象信息可得关于x的方程=kx-b的解为 .
6.若双曲线y=与直线y=x无交点,则k的取值范围是 .
　　(1)判断反比例函数与一次函数图象的交点情况:
①联立反比例函数y=与一次函数y=mx+n的方程,消去y,整理得一元二次方程mx2+nx-k=0;
②利用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac进行判断.
若Δ>0,反比例函数与一次函数图象有两个交点;
　　若Δ=0,反比例函数与一次函数图象有一个交点;
若Δ<0,反比例函数与一次函数图象无交点.
(2)若反比例函数y=的图象和一次函数y=mx+n图象的交点坐标为(a,b),则k=ab,ma+n=b.
题型4借助反比例函数与一次函数图象解决不等式问题
如图,一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,1)、点B,则不等式7.如图,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,当y1>y2时,-13,则一次函数的表达式为 .
　　在判断分式不等式时,只需对比相应的反比例函数图象以及直线位置情况即可,其具体范围的分界点即两个图象的交点横坐标.
题型5反比例函数图象与一次函数图象共存问题
函数y=kx-1与y=(k≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是 ( )
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
8.已知ab<0,一次函数y=ax-b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
题型6反比例函数k值几何意义的运用
如图,直线y=mx与双曲线y=交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连接BM,若S△ABM=4,则k= .
如图,过y轴正半轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数y=(x<0)的图象和y=(x>0)的图象交于A点和B点,C为x轴上任意一点,连接AC,BC,若S△ABC=3,则k= .
如图,矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形,D,E是CO边上的三等分点,反比例函数y=(k≠0)的图象刚好经过小矩形的顶点F,G,若图中的阴影矩形面积S1+S2=5,则反比例系数k的值为 .
9.如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,四边形ABCD是长方形,则长方形ABCD的面积是 .
10.(2024·铁一中模拟)如图, OABC的顶点O是坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B,C在第一象限,反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,y=(k≠0,x>0)的图象经过点B.若OC=AC,则k= .
　　(1)P是反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上任意一点,则=k.
　　(2)P为反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上任意一点,PE⊥x轴,则S△POE=.
　　(3)已知正比例函数y=mx(m>0)与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,AC⊥x轴,则S△ABC=k.
　　(4)已知反比例函数y=(k>0)与一次函数y=mx+n的图象交于A,B两点,且A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则S△AOB=|(y1+y2)(x2-x1)|.
　　(5)反比例函数y1=与y2=的分支在同一平面直角坐标系中,A为y1=的图象上一点,B为y2=的图象上一点,且AB∥x轴,点C为x轴上任意一点,则S△ABC=.
　　(6)已知反比例函数y1=的图象与y2=的图象均在第一象限中,点A在反比例函数y1的图象上,点B在反比例函数y2的图象上,且AB∥x轴,C为x轴上任意一点,则S△ABC=.
　　(7)已知反比例函数y1=与y2=的图象如图所示,点A在反比例函数y1的图象上,点B在反比例函数y2的图象上.若OA⊥OB,则=.
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①一、三　②二、四　③减小　④增大　⑤相交　⑥|k|　⑦2|k|
真题精粹·重变式
1.<　2.,4　3.<　4.3　5.y=　6.y=　7.-1　8.-15
核心突破·拓思维
例1　-6　解析:∵A(m+3,2),B3,是同一个反比例函数图象上的两个点,∴2(m+3)=3×,∴m=-6.
例2　x1<0∵y1>0>y2,∴x1<0变式设问　1.6　2.-2例3　2　解析:连接AB(图略).
∵A,B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点,且AC∥y轴,BD∥y轴,
∴S△AOC=S△BOD=.
假设点A的坐标为(x,y),则点B的坐标为(-x,-y),
则OC=OD=x,
∴S△AOD=S△AOC=,S△BOC=S△BOD=,
∴S四边形ACBD=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=×4=2.
变式设问　3.6
例4　2　解析:∵点(a,b)是一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=图象的交点,
∴b=-a+6,b=,
即3b+2a=18,ab=9,
∴+===2.
例5　x1=1,x2=2　解析:∵y=-x+b的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点P(1,2),
∴把点P的坐标代入函数表达式,
得-1+b=2,k=1×2=2,
解得b=3,k=2.
关于x的方程-x+b=,即-x+3=,
解得x1=1,x2=2.
故答案为x1=1,x2=2.
例6　1或2　解析:由
解得kx2+(k-1)x-1=0,
∴Δ=(k-1)2+4k=k2-2k+1+4k=(k+1)2≥0,
∴交点个数为1或2.
变式设问　4.-　5.x1=-2,x2=4　6.k>2
例7　-1变式设问　7.y=x-2
例8　B　解析:A.由一次函数的图象可知直线与y轴应该交于负半轴,故A错误;
B.图象情况符合题意,故B正确;
C.由反比例函数的图象可知,k<0,由一次函数的图象可知k>0,两者矛盾,故C错误;
D.由一次函数的图象可知直线与y轴应该交于负半轴,故D错误,故选B.
变式设问　8.A
例9　-4　解析:∵直线y=mx与双曲线y=交于A,B两点,
∴点A与点B关于原点中心对称,
∴S△OAM=S△OBM,而S△ABM=4,
∴S△OAM=2,
∴|k|=2.
∵反比例函数图象在第二、四象限,
∴k<0,∴k=-4.
例10　-4　解析:如图,连接OA,OB.
根据“同底等高”可知S△AOB=S△ABC=S△AOP+S△BOP=3.
再由反比例函数k值几何意义可知S△AOP=,S△BOP=1,∴+1=3,得|k|=4.
又∵反比例函数y=的图象在第二象限,
∴k<0,故k=-4.
例11　10　解析:∵D、E是CO边上的三等分点,
∴S矩形OAGD=2S1+2S2=2×5=10,
∴xG·yG=10.
∵反比例函数y=(k≠0)的图象刚好经过小矩形的顶点F,G,
∴k=xG·yG=S矩形OAGD=10.
故答案为10.
变式设问　9.4
10.3　解析:由题意可知,反比例函数y=的图象经过点C,
设点C的坐标为a,.
如图,过点C作CH⊥OA于点H,过点A作AG⊥BC于点G.
∵四边形OABC是平行四边形,OC=AC,
∴OH=AH,CG=BG,四边形HAGC是矩形,
∴OH=CG=BG=a,即点B3a,.
∵y=(k≠0)的图象经过点B,
∴k=3a·=3.

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