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第6节　二次函数表达式的确定及几何变换
(6年6考,3分)
　　从近6年陕西中考的考试内容来看,二次函数表达式的确定常在二次函数综合题中考查,图象的几何变换一般在选择题中有涉及,本节是每年的必考内容.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1二次函数表达式的确定　常考
二次函数表达式
的三种形式
待定系 数法求 表达式 表达式已给出 代入抛物线上任意两个点或三个点坐标求解即可
表达式未给出 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点时,通常设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中抛物线与x轴交点为(x1,0),(x2,0)
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时,通常设表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h
当已知抛物线上任意三点时,通常设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)
知识点2二次函数图象的变换　常考
抛物线 的平移 平移前 平移方式(m>0) 平移后 规律
顶点式 y=a(x-h)2+ k(a≠0) 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左加
向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右减
向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上加
向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m 下减
抛物线的翻折 与中心对称 表达式 变化形式 变化后的a值 变化后的顶点坐标 变化后的表达式
y=a(x-h)2+ k(a≠0) 关于x轴对称 -a (h,-k) y=-a(x-h)2-k
关于y轴对称 a (-h,k) y=a(x+h)2+k
关于原点O中心对称 -a (-h,-k) y=-a(x+h)2-k
绕顶点旋转180° -a (h,k) y=-a(x-h)2+k
【真题精粹·重变式】
考向1二次函数表达式的确定
1.已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(-2,0),B(4,0).求该抛物线的函数表达式.
2.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-5,0)和点B,与y轴交于点C(0,5),它的对称轴为直线l.求该抛物线的表达式及点B的坐标.
考向2二次函数图象的平移变换
3.(2020·陕西10题3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考向3二次函数图象的对称变换
4.在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=mx2+2x-n与y=-6x2-2x+m-n关于x轴对称,则m,n的值分别为 ( )
A.-6,-3 B.-6,3
C.6,-3 D.6,3
5.将抛物线L1:y=-x2+6x-7向左平移1个单位长度,得到抛物线L2,抛物线L2与抛物线L3关于x轴对称,则抛物线L3的顶点坐标是 ( ) A.(2,2) B.(2,-2) C.(-2,2) D.(-2,-2)
【核心突破·拓思维】
题型1二次函数图象的平移变换
将抛物线y=x2沿直线y=x斜向上平移个单位长度,得到的新的抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=(x+1)2+1
B.y=(x+1)2-1
C.y=(x-1)2+1
D.y=(x-1)2-1
已知二次函数y1=(x+1)(x+7)和y2=(x-4)(x-10),则二次函数y1的图象可以由二次函数y2的图象 ( )
A.向左平移4个单位长度得到
B.向右平移4个单位长度得到
C.向左平移11个单位长度得到
D.向右平移11个单位长度得到
1.将抛物线y=2x2-1沿直线y=2x方向向右上方平移2个单位长度,得到新抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=2(x+2)2+3
B.y=2(x-2)2-1
C.y=2x2+2-1
D.y=2(x-2)2+3
2.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+4可由抛物线y=x2+4x+3平移m(m>0)个单位长度得到,则m的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
　　抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的平移步骤:
①将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;
②利用平移法则“左加右减自变量,上加下减常数项”写出对应二次函数表达式y=a(x-h±Δx)2+k±Δy.
注意:通过二次函数一般式的形式也可以利用上述口诀进行求取二次函数平移后的表达式,其具体形式为y=a(x±Δx)2+b(x±Δx)+c±Δy.
题型2二次函数图象的对称变换
二次函数y=(x-1)2+(x-3)2与y=(x+a)2+(x+b)2的图象关于y轴对称,则(a+1)2+(1+b)2的值为 ( )
A.9 B.10 C.20 D.25
在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且它们的顶点相距10个单位长度.若其中一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m,则m的值是 ( )
A.-4或-14 B.-4或14
C.4或-14 D.4或14
若将二次函数y=x2-4x+3的图象绕点(-1,0)旋转180°,得到新的图象的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),则c的值为( )
A.-15 B.15 C.17 D.-17
3.两抛物线y=x2+x+1与y=x2-x+1在同一平面直角坐标系中的位置关系是 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点中心对称
D.关于直线x=1对称
4.如图,将抛物线l:y=2x2-4x+3沿直线y=-1翻折得到抛物线l',则抛物线l'的函数表达式为 ( )
A.y=-2x2-4x-5
B.y=-2x2+4x+3
C.y=x2+x-5
D.y=-2(x-1)2-3
5.抛物线C1:y=x2-4x+8和抛物线C2:y=-x2-8x-18关于点P成中心对称,则点P的坐标是 ( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(-3,2)
题型3运用二次函数的图象变换解决图形问题
已知抛物线L:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(3,0),B(-1,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)求抛物线L的顶点M的坐标.
(3)将抛物线L平移得到抛物线L'.如果抛物线L'经过点C,那么在抛物线L'上是否存在点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形 若存在,应将抛物线L怎样平移;若不存在,请说明理由.
已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0).
(1)求抛物线C1的对称轴.
(2)无论a为何值,抛物线C1都经过两个定点,求这两个定点的坐标.
(3)将抛物线C1沿(2)中两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,当C2的顶点到x轴的距离为1时,求抛物线C2的函数表达式.
已知抛物线C1:y=x2-2x-3的顶点为M,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A、点B和点M的坐标.
(2)求抛物线C1绕点O旋转180°后得到抛物线C2的函数表达式.
(3)P是x轴负半轴上的一点,将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C3,若抛物线C3的顶点为N,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),当以点C,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,求点P的坐标.
6.已知抛物线C:y=-x2+bx+3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,且AB=5.
(1)求b的值及抛物线的顶点坐标.
(2)将抛物线C进行平移后所得到的抛物线记为C',记点A对应点A',点B对应点B',若以A,B,A',B'四点为顶点的四边形是正方形时,请求出由抛物线C平移到抛物线C'的平移方式.
7.二次函数L:y=ax2+bx+c与x轴交于A(-6,0),B(-2,0)两点,与y轴交于点C(0,6)连接AC,BC.
(1)求△ABC的面积.
(2)若抛物线L'与x轴交于E,F两点,点E在点F的左侧,与y轴交于点D,若△ABC与△DEF全等,且EF与AB为对应边,抛物线L与抛物线L'不重合.求出经过D,E,F三点所在抛物线的函数表达式.
8.已知抛物线L:y=ax2+bx+6的顶点为M,与x轴交于点A(1,0),B(3,0).
(1)求抛物线顶点M的坐标.
(2)N是x轴上一点,记抛物线L关于点N中心对称后的抛物线为L',记抛物线L'的顶点坐标为M',点A的对应点为A',当线段AA'=6时,求出抛物线L'的函数表达式.
　　
　　关于任意一条直线(或者任意一点)对称后抛物线的操作步骤: ①将已知二次函数表达式化为顶点式y=a(x-h)2+k,并确定其顶点坐标(h,k); ②利用中点坐标公式,用已知抛物线的顶点坐标和对称轴表达式表示出对称后抛物线的顶点坐标. 关于直线对称:假设原抛物线顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=m或直线y=n,对称后的抛物线顶点坐标为(h',k'),则有公式=m,=n; 关于点对称:假设原抛物线顶点坐标为(h,k),对称中心点为(m,n),对称后抛物线顶点坐标为(h',k'),则有公式=m,=n. ③求出“步骤②”对称抛物线顶点坐标后,利用顶点式求相应表达式即可.
注意:二次函数图象关于竖直直线对称前后的系数a不变,关于水平直线对称后的系数a互为相反数.
参考答案
真题精粹·重变式
1.解析:设抛物线y=a(x+2)(x-4).
∵抛物线过(0,-4),将其代入所设表达式得-4=-8a,解得a=,
∴y=(x+2)(x-4)=x2-x-4.
2.解析:∵点A(-5,0)、C(0,5)在抛物线y=x2+bx+c上,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=x2+6x+5,
令y=0,解得x=-1或x=-5,
∴点B的坐标是(-1,0).
3.D
4.D　解析:∵抛物线y=mx2+2x-n与y=-6x2-2x+m-n关于x轴对称,
∴y=-mx2-2x+n与y=-6x2-2x+m-n表达式相同,
∴-m=-6,n=m-n,解得m=6,n=3.故选D.
5.B　解析:∵抛物线L1:y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2,
∴抛物线L1的顶点坐标为(3,2).
∵L1向左平移1个单位长度,得到抛物线L2,
∴抛物线L2的顶点坐标为(2,2).
∵抛物线L2与抛物线L3关于x轴对称,
∴抛物线L3的顶点坐标为(2,-2).故选B.
核心突破·拓思维
例1　C　解析:因为将抛物线y=x2沿直线y=x斜向上平移个单位长度,可以看作将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度、再向上平移1个单位长度,故最后得到平移后抛物线的函数表达式为y=(x-1)2+1.
例2　C　解析:由题意可知y1=(x+1)(x+7)=(x+4)2-9,对称轴为直线x=-4,二次函数y2=(x-7)2-9,对称轴为直线x=7.
∵-4-7=-11,∴将二次函数y2的图象向左平移11个单位长度得到二次函数y1的图象.
变式设问　1.D　2.C
例3　C　解析:∵二次函数y=(x-1)2+(x-3)2与y=(x+a)2+(x+b)2的图象关于y轴对称,
∴y=(x+a)2+(x+b)2的表达式为y=(-x-1)2+(-x-3)2=(x+1)2+(x+3)2,
∴a=1,b=3,
∴(a+1)2+(1+b)2=20.
例4　D　解析:∵一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m,
∴这条抛物线的顶点为(-3,m-9),
∴关于x轴对称的抛物线的顶点为(-3,9-m).
∵它们的顶点相距10个单位长度.
∴|m-9-(9-m)|=10,即2m-18=±10,
当2m-18=10时,m=14;
当2m-18=-10时,m=4.
综上,m的值是4或14.
例5　A　解析:∵二次函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴顶点坐标为(2,-1).
又∵抛物线y=x2-4x+3绕点(-1,0)旋转180°,
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(-4,1),
∴所得到的图象的表达式为y=-(x+4)2+1=-x2-8x-15,
∴c的值为-15.
变式设问　3.B　4.D　5.B
例6　解析:(1)根据题意,得
解得
∴y=-x2+2x+3.
(2)∵x=-=1,
∴y=-12+2×1+3=4,
∴点M的坐标为(1,4).
(3)在抛物线L'上存在符合要求的点D.
如图所示.
平移方式如下:
①当平移后抛物线经过点C和点D1时,由平移法则可知线段AB平移到线段CD1,而AB与CD1均在抛物线的同一位置,故线段间的平移即为抛物线的平移,故将抛物线L先向左平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,可得到 ACD1B.
②同理:将抛物线L先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,可得到 BCD2A.
③当满足 ACBD3时,点C与点D3均不在原抛物线对应的位置处,因此设经过点C和点D3的抛物线为y=-x2+b'x+3,通过AC到BD3的平移法则可知点D3的坐标为(2,-3),将其代入y=-x2+b'x+3中得b'=-1,故经过C,D3两点的抛物线表示为y=-x2-x+3=-x+2+,即经过C,D3的抛物线顶点坐标为-,,而原抛物线顶点坐标为(1,4),故将抛物线L先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,可得到 ACBD3.
例7　解析:(1)根据题意,对称轴为直线x=-=2.
(2)∵抛物线C1:y=ax2-4ax-5=a(x2-4x)-5经过两个定点,
∴x2-4x=0,
∴x1=0,x2=4,
∴抛物线过定点A(0,-5),B(4,-5).
(3)设抛物线C2的顶点坐标为M,且根据题意可知M到x轴的距离为1.
如图所示.
设经过点M1,A,B的抛物线的函数表达式为y=a1(x-2)2-1,
将点A代入,得a1=-1,
∴y1=-(x-2)2-1=-x2+4x-5.
设经过点M2,A,B的抛物线的函数表达式为y=+1,
将点A代入,得a2=-,
∴y2=-(x-2)2+1=-x2+6x-5,
∴抛物线C2的函数表达式为y=-x2+6x-5或y=-x2+4x-5.
例8　解析:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点M的坐标为(1,-4),
令y=0可得x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
则点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(3,0).
(2)抛物线C1绕点O旋转180°后得到抛物线C2的形状与抛物线C1相同,顶点坐标为(-1,4)且开口向下,则抛物线C2的函数表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.
(3)∵将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C3,
∴抛物线C3的顶点N的纵坐标是4.
∵P是x轴负半轴上的一个动点,
∴顶点N的横坐标小于0,
∴以点C,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分∠MCN=90°和∠MNC=90°两种情况讨论:
①如图,当∠MCN=90°时,设点N的坐标为(m,4)(m<0),
过点N作NE⊥x轴,则点E的坐标为(m,0),
则NM2=64+(m-1)2,CN2=20,CM2=(m-3)2+16.
由NM2=CN2+CM2得64+(m-1)2=20+(m-3)2+16,
解得m=-5,
∴点N的坐标为(-5,4).
∵点M,N关于点P对称,
∴点P的坐标为(-2,0).
②当∠MNC=90°时,
设点N的坐标为(n,4)(n<0),
同理有NM2=64+(n-1)2,CN2=20,CM2=(n-3)2+16.
由CM2=CN2+NM2得(n-3)2+16=20+64+(n-1)2,
解得n=-15,
∴点N的坐标为(-15,4).
∵点N,M关于点P对称,
∴点P的坐标为(-7,0).
综上所述,点P的坐标为(-2,0)或(-7,0).
变式设问　6.解析:(1)根据抛物线C的函数表达式可知OA=3,而AB=5,
∴OB===4,故点B的坐标为(4,0),
将点B坐标代入抛物线C的函数表达式中,有0=-×42+4b+3,
解得b=,
∴抛物线C的函数表达式为y=-x2+x+3=-x-2+,
∴顶点坐标为,.
(2)当平移后的抛物线C'上两点为A',B'时,
如图,过点A'作A'C⊥y轴与点C.
∵四边形ABB'A'为正方形,故∠A'AB=90°,
∴∠A'AC+∠BAO=90°.
又∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠A'AC=∠ABO,
∴AC=AA'·cos∠A'AC=AA'·cos∠ABO=5×=4,
A'C=AA'·sin∠A'AC=AA'·sin∠ABO=5×=3,
∴点A平移到点A'的方式为先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,
∴抛物线C平移到抛物线C'的方式为先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度.
同理,点A运动到点A″时,有A″D=3,AD=4,
∴抛物线C平移到抛物线C'的方式为先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度.
7.解析:(1)根据题意可知AB=xB-xA=-2-(-6)=4,h=|yC|=6,
S△ABC=AB·h=×4×6=12.
(2)△ABC与△DEF全等,且AB=EF.
如图,当AC=ED,BC=FD时,则点E的坐标为(-6,0),点F的坐标为(-2,0),点D'的坐标为(0,-6),
∴抛物线L'的函数表达式可设为y=a1(x+2)(x+6),将(0,-6)代入其中解得a1=-,
∴抛物线L'的函数表达式为y=-(x+2)(x+6)=-x2-4x-6.
当AC=F'D,BC=E'D时,点E'的坐标为(2,0),点F'的坐标为(6,0),点C对应的坐标为D(0,6)或D'(0,-6),
∴抛物线L'的函数表达式可设为y=a2(x-2)·(x-6),
当抛物线L'过(0,6)时,解得a2=,
∴抛物线L'的函数表达式为y=(x-2)(x-6)=x2-4x+6.
当抛物线L'过(0,-6)时,解得a2=-,
∴抛物线L'的函数表达式为y=-(x-2)(x-6)=-x2+4x-6.
综上所述,抛物线L'有三条,函数表达式分别为y=-x2-4x-6,y=x2-4x+6和y=-x2+4x-6.
8.解析:(1)将点A(1,0),B(3,0)代入抛物线表达式中得
解得a=2,b=-8,
∴抛物线的函数表达式为y=2x2-8x+6.
又∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,
∴顶点M的坐标为(2,-2).
(2)设点N的坐标为(t,0),根据题意可知NA=NA'=|t-1|,点M'的纵坐标为2.
由抛物线L与抛物线L'的对称关系可知AA'=2NA=2|t-1|=6,解得t1=-2,t2=4,
∴存在两个点N,其坐标分别为(-2,0)和(4,0).
如图1,当抛物线L关于(-2,0)对称时,顶点M(2,-2)关于(-2,0)对称,则点M'的坐标为(-6,2).
又∵抛物线L'的二次项系数与抛物线L的二次项系数互为相反数,
∴抛物线L'的函数表达式为y=-2(x+6)2+2.
如图2,当抛物线L关于(4,0)对称时,顶点M(2,-2)关于(4,0)对称,则点M'的坐标为(6,2).
又∵抛物线L'的二次项系数与抛物线L的二次项系数互为相反数,
∴抛物线L'的函数表达式为y=-2(x-6)2+2.
综上所述,抛物线L'有两条,其函数表达式分别为y=-2(x+6)2+2和y=-2(x-6)2+2.

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