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第7节　二次函数的综合应用
(6年6考,8~19分)
　　从近6年陕西中考的考试内容来看,二次函数的综合应用题主要考查二次函数与特殊三角形的综合应用、二次函数与特殊四边形的综合应用、二次函数最值与图象、信息问题的综合应用等.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【真题精粹·重变式】
考向1二次函数与特殊三角形的综合应用
1.(2021·陕西25题8分)已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点B,C的坐标.
(2)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考向2二次函数与特殊四边形的综合应用
2.(2023·陕西25题8分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素,设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:
方案一,抛物线型拱门的跨度ON=12 m,拱高PE=4 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二,抛物线型拱门的跨度ON'=8 m,拱高P'E'=6 m.其中,点N'在x轴上,P'E'⊥O'N',OE'=E'N'.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架ABCD的面积记为S1,点A,D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON'上.现知,小华已正确求出方案二中,当A'B'=3 m时,S2=12 m2,请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式.
(2)在方案一中,当AB=3 m时,求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1,S2的大小.
考向3二次函数最值与图象、信息问题的综合应用
3.(2024·陕西25题8分)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100 m,AO=BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式.
(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【核心突破·拓思维】
题型1二次函数与三角形的综合应用
如图,直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)E(m,0)为x轴上一动点,过点E作ED⊥x轴,交直线AB于点D,交抛物线于点P,连接BP.
①点E在线段OA上运动,若△BPD与△ADE相似,求点E的坐标;
②若点E在x轴的正半轴上运动,且∠PBD+∠CBO=45°,请直接写出m的值.
　　　　　　　　备用图
题型2二次函数与四边形的综合应用
如图,已知抛物线y=ax2+bx+2(a<0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若D是第二象限抛物线上的动点,DE∥x轴,交直线BC于点E,点G在x轴上,点F在坐标平面内.是否存在点D,使以D,E,F,G为顶点的四边形是正方形 若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
　　二次函数与特殊四边形判定问题巧妙化解:
1.判定平行四边形时,一定要学会分类讨论.
2.判定菱形时,在平行四边形的基础上,满足邻边相等或对角线互相垂直即可.
3.判定矩形时,在平行四边形的基础上,满足有一个角为直角或对角线相等即可.
4.判定正方形时,在平行四边形的基础上,满足有一个角为直角且邻边相等或对角线互相垂直且相等即可.
题型3二次函数最值与图象、信息问题的综合应用
(2024·西安新城区模拟)某市护城河管理部门为了提高市民的休闲与运动质量,增强锻炼的幸福感,计划在护城河里修建小喷泉,具体方案如下:在水面下适当的地方设置一个圆柱形柱子,在柱子顶端处安装一个喷水头向外喷水,从而形成小喷泉.经过实践发现,小喷泉水流形成抛物线,喷水口高出水面 m,当落水点距喷水口的水平距离为1 m时,喷泉水流达到最高点处,距水面 m.以水面所在位置为x轴,喷水头所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则水流距离水面的高度y(单位:m)与水流距喷水头的水平距离x(单位:m)之间的关系图象如图所示.
(1)请求出在第一象限内喷泉水流形成的抛物线的函数表达式.
(2)喷泉喷出的水流落在水面上形成一个圆,忽略其他因素,若喷水头向上平移 m,则喷水头的水流落在水面上形成的圆的面积会增大多少 (结果精确到0.1 m2;参考数据:≈2.45,≈2.24,π≈3.14)
参考答案
真题精粹·重变式
1.解析:(1)∵y=-x2+2x+8,取x=0,得y=8,
∴C(0,8),取y=0,得-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4.∵点A在点B的左侧,∴B(4,0).
(2)存在点P,设P(0,y).
∵CC'∥OB,且PC与PO是对应边,∴=,
即=,解得y1=16,y2=,
∴P(0,16)或P0,.
2.解析:(1)由题意知,方案一中抛物线的顶点P(6,4),
设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4,
把O(0,0)代入得0=a(0-6)2+4,
解得a=-,
∴y=-(x-6)2+4=-x2+x,
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=-x2+x.
(2)令y=3,则3=-x2+x.
解得x=3或x=9,
∴BC=9-3=6(m),
∴S1=AB·BC=3×6=18(m2).
∵18>12,∴S1>S2.
3.解析:(1)由题意,∵AO=17 m,
∴点A(0,17).
又∵OC=100 m,BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m,
∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2).
故可设抛物线为y=a(x-50)2+2.
将点A代入抛物线可得,2 500a+2=17,解得a=,
∴缆索L1所在抛物线为y=(x-50)2+2.
(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,缆索L1所在抛物线的表达式为y=(x-50)2+2,
∴缆索L2所在抛物线的表达式为y=(x+50)2+2,
令y=2.6,即(x+50)2+2=2.6,
∴x=-40或x=-60.
∵FO∴x=-40,
∴FO的长为40 m.
核心突破·拓思维
例1　解析:(1)∵直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),
∴0=-3+n,
∴n=3,
∴直线的表达式为y=-x+3.
当x=0时,y=3,
∴B(0,3).
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)①∵ED⊥x轴,
∴∠PEA=90°,
∴∠BDP=∠ADE<90°.
设E(m,0),P(m,-m2+2m+3),
∴D(m,-m+3),
∴PD2=(-m2+3m)2,BP2=m2+(-m2+2m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2.
当∠PBD=90°时,BP2+BD2=PD2,
∴m2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2,
∴m=1,m=0(舍去),
∴E(1,0);
当∠BPD=90°时,BP2+PD2=BD2,
∴m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)2=2m2,
∴m=3(舍去),m=0(舍去),m=2,
∴E(2,0).
综上所述,点E的坐标为(1,0)或(2,0).
②m的值为5或.
提示:当点P在x轴上方时,如图1,连接BC,延长BP交x轴于点N.
图1
∵A(3,0),B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴∠BAO=∠ABO=45°.
∵抛物线y=-x2+2x+3经过点A,B,
∴0=-x2+2x+3,
∴x1=3,x2=-1,
∴C(-1,0),∴OC=1.
∵∠PBD+∠CBO=45°,∠BAO=∠PBD+∠BNO=45°,
∴∠CBO=∠BNO.
∵∠BOC=∠BON=90°,
∴△BCO∽△NBO,∴=,即3=,
∴ON=9,
∴N(9,0),∴直线BN的表达式为y=-x+3,
∴-x+3=-x2+2x+3,
∴x1=0(舍去),x2=,
∴点P的横坐标为,
∴m=.
当点P在x轴下方时,如图2,连接BC,使BP与x轴交于点H.
图2
∵∠PBD+∠CBO=45°,∠OBH+∠PBD=45°,
∴∠CBO=∠OBH.
∵OB=OB,∠COB=∠BOH,
∴△BOH≌△BOC(ASA),
∴OC=OH=1,∴H(1,0),
∴直线BH的表达式为y=-3x+3,
∴-3x+3=-x2+2x+3,
∴x1=0(舍去),x2=5,
∴点P的横坐标为5,
∴m=5.
综上所述,m=5或m=.
例2　解析:(1)由题意可知,抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2),
则-2a=2,解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2.
(2)存在.∵B(2,0),C(0,2).
设直线BC的表达式为y=kx+2,
将B(2,0)代入得2k+2=0,
解得k=-1,
∴直线BC的表达式为y=-x+2.
设D(t,-t2+t+2),
分两种情况:①当DE为边时,设E(n,-n+2),
如图1,四边形GDFE是正方形,
∴DE=GD=EF,
∴解得t1=2(不合题意,舍去),t2=-,
∴D-,;
　　　　　　图1　　　　　　　　　　　图2
②当DE为对角线时,如图2,过点D作DH⊥x轴于点H,则DE=2DH,
∴DE=-2t2+2t+4,
∴E(-2t2+2t+4+t,-t2+t+2).
∵点E在直线y=-x+2上,
∴-t2+t+2=2t2-3t-4+2,
解得t=-或t=2(不合题意,舍去),
∴D-,.
综上所述,点D的坐标为-,或-,.
例3　解析:(1)设y=a(x-h)2+k,
把顶点B1,代入,得y=a(x-1)2+,
把点A0,代入,得a=-1,
∴y=-(x-1)2+.
(2)令y=0,即-(x-1)2+=0,
∴x=+1(负值已舍去),
∴S=π+12≈14.11(m2).
∵喷水头向上平移 m,
∴y=-(x-1)2++=-(x-1)2+.
令y=0,即-(x-1)2+=0,
∴x=+1(负值已舍去),
∴S=π+12≈15.54(m2),
∴15.54-14.11≈1.4(m2),
∴面积会增大1.4 m2.

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