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2025年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学（一)
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若z=12-5i,则复数z的棋为
A.13
B.12
C.5
D.√3
2.
已知命题p:3x∈R,x+l川+|x-1≤a,若一p是假命题，则a的取值范围是
A.a≥0
B.a≥2
C.a>2
D.03.已知向量a,b满足acos(a,b)=-3,且b⊥(2a+3b),则b=
A.1
B.2
C.3
D.4
4.国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试.从2000
年开始，每3年进行一次测试评估.在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是0至
100分，如图是2024年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图。据图中
数据，下面说法正确的是
个频率/组距
0.0
A.该地学生成锁的中位数一定大于75
B.该地学生成绩的众数介于70至80之间
0.015
0.01
C.该地学生成绩的极差介于40至60之间
0.005
分数
0
405060708090100
D,该地学生成绩没有超过60分学生所占比例为30%
5.已知直线1：x+y=0和曲线C:f(x,y)=0,若点P(x,y)是曲线C关于直线1的对称曲线C的任意
点，则点P(x,y)满足
A.f(x,y)=0
B.f(-x,-y）=0
C.f(y,x)=0
D.f(-y,-x)=0
6.若关于x的方程asin元x=√-2，x-X-2a有且仅有一个实数根，则a=
A.-2
B.-1
C.1
D.2
高考模拟调研卷数学（一)第1页共4页
7.正三棱台AB,C-ABC三侧棱的延长线交于点P,如果PA:PA=1:3,三楼台A,B,C1-ABC的体积为
13√2，△ABC的面积为9V3，那么侧棱4A与底面所成角的正切值为
A.√5
B.√2
c.3
D.32
4
4
8.
己知函数f(x)=
o8,.022-x,x≥2.
A.1og516
B.1og5+116
c.2
D.log5-16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6
分，部分选对得部分分，有选错得0分。
.y2x2
已知双曲绒C:号31和C三1，其中a>0,b>0,且a6,则
9.
A.C,与C2有相同的实轴
B.C与C,有相同的焦距
C.C与C2有相同的渐近线
D.C,与C2有相同的离心率
10.关于函数f(x)=x4-2x3+1,下列说法正确的是
3
A.f(x)在(-o,0)上单调递减
B.∫(x)的图象关于直线x=一对称
2
C.树的最小值为-
16
D.∫(x)的一个极大值为1
11.若a>0,b>0,a2+4b2-2ab=2,则下列说法正确的是
A.ab≤1
B.a+2b>√2
C.a+2b≤2
D.
a+2b2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}满足a4+a5=5,3a2+a5=17,则前n项和Sn=
13.设锐角a,B满足a14.某玩具厂商准备用一种八面体结构的透明装饰盒容纳水晶球玩具，该八面体由两个完全相同的底面为正方形
的四棱锥去掉底面拼成（如图），水晶球可看作半径为1的球体，
为了节省成本，要求装饰盒恰好能容纳水晶球，则装饰盒体积的
最小值是
高考棋拟调研卷数学（一）第2页共4页数学（一)参考答案
一、选择题：
1~8 ABBC
DCDA
8题提示：由图象可知，0有-10g,x=1og,x=1log,1+x),则有上=1+x,解得
5=5,有5
2
5+,又fx)=f,所以
2
o.(
马)=22-5，得25=
iog.(
=log5116.
2
二、选择题：
9.BC 10.AC 11.ABD
11题提示：2=a2+4b2-2ab≥4ab-2ab=2ab,故ab≤1，A正确；
由a2+4h2-2b=2得(a+2b2-6ab=2,故ab=a+2b-2>0,
6
故a+2b>√2，B正确；
(a+2b)2=2+6ab=2+3a2b≤2+3
数好a+2s2,
当且仅当a=2b=√2时取等号，故a+2b≤2√2，C错误；
(a+2b)2-2
故1+ab
+1
6
a+2b
a+2b
6a+2b
由装题c翅a+eaa1,2密-2+)号]
D正确；
三、填空题：
12.
n(13-n)
13.
14.45
2
14题提示：画出大致模型如图.因为装饰盒恰好能容纳水晶球，故球恰为八面体的内切球，取AB,CD中点M,
N.画出俯视截面图。由面积相等可得R+,=h:号，
a
a
D
又R=1，带入化简可得a=4
,，则八面体的体积
v-2ah-
8h3
h
2，令fh)=，（h>1),
第1页共5页
闭=点然，令r=0,得=5，当1f'(h)<0,h>5时∫'h)>0,故f(3)为最小值，代入可
8g=45.
四、解答题：
15.(13分)
解：(0+-1+bc→6+c2=bc+l,
b c bc
由余弦定理知，cos1=b+c2-Q2-62+c2-lbe-1
2bc
2bc 2bc2
因为A∈(0，)，所以A=
3·
.6分
(2)bc+1=b2+c2≥2bc→bc≤1，当且仅当b=c=1取等.
所以Sauc=)bcsin≤5
4,(当且仅当b=c=1取等.)
故△1BC面积的显大值为
·
..13分
16.(15分)
解0因为/到-+a则/2-方0子解得a1,
则f(x)=lnx+x+1,即切点为(2，ln2+3),
所以切线m的方程为3x-2y+2ln2=0;
.6分
(2)由题意x>0,因为f(x)=1+a,所以当a≥0时，f(x)>0,
函数f(x)为递增函数，函数∫(x)的图象不可能只在x轴的下方，
所以a<0,由心=0得x=-日，即当x=合时，圆数取得最大值
最大值为f(-)=-ln(-a)-a2+l,设g(a)=ln(-a)+a2-l,a<0,
此时ga)=+2a,所以g'(@)<0,即g(a)为减函数，而g(-1)=0,
要使函数f(x)的图象总是在x轴的下方，必须-g(a)<0,即g(a)>0,
所以g(a)>g(-l),所以a<-1,即a的取值范围是(-o,-l).
15分2025 年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学(一)
数学测试卷共 4 页, 满分 150 分。考试时间 120 分钟。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 为虚数单位,若 ,则复数 的模为
A. 13 B. 12 C. 5 D.
2. 已知命题 ,若 是假命题,则 的取值范围是
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ,且 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试. 从 2000 年开始, 每 3 年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分, 赋分范围是 40 至 100 分, 如图是 2024 年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图. 据图中
数据, 下面说法正确的是
A. 该地学生成绩的中位数一定大于 75
B. 该地学生成绩的众数介于 70 至 80 之间
C. 该地学生成绩的极差介于 40 至 60 之间
D. 该地学生成绩没有超过 60 分学生所占比例为
5. 已知直线 和曲线 ,若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点,则点 满足
A. B.
C. D.
6. 若关于 的方程 有且仅有一个实数根,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7. 正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ,如果 ,三棱台 的体积为 , 的面积为 ,那么侧棱 与底面所成角的正切值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 若 ,则当 时,
A. B. C. 2 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。
9. 已知双曲线 和 ,其中 ,且 ,则
A. 与 有相同的实轴 B. 与 有相同的焦距
C. 与 有相同的渐近线 D. 与 有相同的离心率
10. 关于函数 ,下列说法正确的是
A. 在 上单调递减 B. 的图象关于直线 对称
C. 的最小值为 D. 的一个极大值为 1
11. 若 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知等差数列 满足 ,则前 项和 _____.
13. 设锐角 满足 ,且 ,则 _____.
14. 某玩具厂商准备用一种八面体结构的透明装饰盒容纳水晶球玩具, 该八面体由两个完全相同的底面为正方形的四棱锥去掉底面拼成 (如图), 水晶球可看作半径为 1 的球体, 为了节省成本, 要求装饰盒恰好能容纳水晶球, 则装饰盒体积的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
已知 的内角 所对应的边分别为 ,若 .
(1) 求 ；
(2)求 面积的最大值.
16.(15 分)
设 ,已知函数 .
(1)当函数 在点 处的切线 与直线 平行时,求切线 的方程；
(2)若函数 的图象总是在 轴的下方,求 的取值范围.
17.(15 分)
如图,在五棱锥 中,已知 底面 ,
(1)证明: 平面 平面 ;
(2)求侧面 与侧面 所成二面角的余弦值.
18.(17 分)
党的二十届三中全会提出“健全新型举国体制,提升国家创新体系整体效能”. 为让拔尖创新型人才脱颖而出,某地决定举行中学生高科技知识挑战赛,挑战赛分预赛和决赛两个阶段,每个参赛队由两名选手组成,每个选手只能参加一个阶段的挑战赛,每个阶段分别设置了 3 个问题；预赛阶段至少完整答对 1 个问题,该队才能进入决赛: 决赛阶段每完整答对 1 个问题, 该队决赛成绩记 3 分, 否则记 0 分, 未进入决赛的参赛队决赛成绩记 0 分. 已知华夏队的 两名选手每次完整答对 1 个问题的概率为 ,每次回答是独立的, 表示华夏队的决赛总成绩.
(1)当 时,若 选手参加预赛,求 ;
(2)当 最大时,决赛阶段应由哪个选手参加
(3)当 最大时,决赛阶段应由哪个选手参加
19.(17 分)
已知抛物线 ,过其焦点 的直线与抛物线交于 两点,且 的最小值为 4 . 分别过 两点作该抛物线的切线,交于点 .
(1)求抛物线的方程；
(2)过点 作直线 的平行线交抛物线于 两点,分别记 的面积为 , ,求出 的取值范围;
(3)分别以 与 为直径作圆 ,记两圆交点为 ,以 为直径作圆,求该圆的面积取值范围.

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