资源简介 微专题01 子数列与增减项的问题 子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共项数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点,一般方法是构造新数列,利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.子数列问题典例1 (1)(2020年新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .(2)记由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列为{cn},已知an=3n-2,bn=2n,若{cn}为递增数列,且c5=bm=at,则m+t= .方法总结:1.解答数列中公共项问题的关键在于观察这些公共项的规律,判断其是否构成等差数列或等比数列.2.两个等差数列的公共项是等差数列,公差是两等差数列公差的最小公倍数;两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数.1.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何 ”根据这一数学思想,把所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列{an},把所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列{bn},把{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列说法正确的是( ).A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b23=c8 D.a6b2=c92.将数列{2n-1}与{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{an},则新数列{an}的通项公式为 .增减项问题典例2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)在an与an+1之间插入n个数,使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列,且m≠k≠p)成等比数列 若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由.方法总结:解答数列中的增减项问题时,先观察增加或减少以后的数列是等差数列,等比数列,还是局部具有等差或等比特征的数列,然后按照各自的性质进行求解.已知数列{bn}为等比数列,正项数列{an}满足4an=--4,且a1=2,b1=1,a4=b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)若从{an}中去掉与数列{bn}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},设T100=c1+c2+c3+…+c100,求T100.参考答案微专题01 子数列与增减项的问题考向1 子数列问题典例1 (1)3n2-2n (2)352【解析】(1)因为数列{2n-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,数列{3n-2}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为n·1+·6=3n2-2n.(2)由已知得c1=b2=a2=4,设cn=bm=at,即cn=2m=3t-2,则bm+1=2m+1=2(3t-2),由bm+1=3t'-2,得t'=,因为t'不是正整数,所以bm+1不是公共项.同理,由bm+2=2m+2=4(3t-2)=3t'-2,得t'=4t-2,故cn+1=bm+2=a4t-2.因为c1=b2=a2=4,所以c2=b4=a6,c3=b6=a22,c4=b8=a86,c5=b10=a342,故当n=5时,m=10,t=342,故m+t=352.培优精练1.C【解析】根据题意可知,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,所以an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为3,公差为5的等差数列,所以bn=3+5(n-1)=5n-2,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为8,公差为15的等差数列,cn=8+15(n-1)=15n-7.对于A,a1+b2=2+2×5-2=10,c2=15×2-7=23,a1+b2≠c2,故A错误;对于B,b8-a2=5×8-2-3×2+1=33,c4=15×4-7=53,b8-a2≠c4,故B错误;对于C,b23=5×23-2=113,c8=15×8-7=113,b23=c8,故C正确;对于D,a6b2=(3×6-1)×(5×2-2)=136,c9=15×9-7=128,a6b2≠c9,故D错误.故选C.2.an=(2n-1)2【解析】{2n-1}中的项为全体正奇数,对于数列{n2},当n为正偶数时,n2为偶数,当n为正奇数时,n2为正奇数,所以数列{2n-1}与{n2}的公共项按照从小到大的顺序排列得到的新数列为12,32,52,…,所以新数列{an}的通项公式为an=(2n-1)2.考向2 增减项问题典例2【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知当n=1时,a1q=2a1+2, ①当n=2时,a1q2=2(a1+a1q)+2, ②由①②解得a1=2,q=3,所以数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.(2)不存在.理由如下:由(1)知an=2×3n-1,则an+1=2×3n,所以an+1=an+(n+2-1)dn,所以dn==.假设数列{dn}中存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列,且m≠k≠p)成等比数列,则=dm·dp,所以2=·,即2=.又因为m,k,p成等差数列,所以2k=m+p,所以(k+1)2=(m+1)(p+1),化简得k2+2k=mp+m+p,所以k2=mp,又2k=m+p,所以k=m=p,这与已知矛盾.所以在数列{dn}中不存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列,且m≠k≠p)成等比数列.培优精练【解析】(1)因为4an=--4,所以=(an+2)2,又an>0,所以an+1=an+2,即an+1-an=2,又a1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2+(n-1)·2=2n.设{bn}的公比为q,因为b4=a4=8,b1=1,所以q3=8,解得q=2,所以bn=2n-1.综上,数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=2n-1.(2)由(1)知b1=1,b2=2=a1,b3=4=a2,b4=8=a4,b5=16=a8,b6=32=a16,b7=64=a32,b8=128=a64,b9=256=a128,所以T100=c1+c2+c3+…+c100=(a1+a2+a3+…+a107)-(b2+b3+…+b8)=-=11 302. 展开更多...... 收起↑ 资源预览