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专题一 三角函数的图象与性质
【题型分析】
考情分析：
1.高考对本专题的命题主要集中在三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、三角函数的图象和性质，主要考查三角函数的图象变换和三角函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性.
2.本专题内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现.
题型1 三角函数的运算
例1　已知tan α=3，则sin2α+sin 2α=(　　).
A.- B. C. D.-
方法总结：
1.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，可以知一求二.
2.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α，sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α.
若sin α-cos α=，则tan α=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
题型2 三角函数的图象
例2　(1)(2023年全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos2x+的图象向左平移个单位长度得到，则 y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.
方法总结：
1.三角函数图象的主要特征之一就是对称，即轴对称与中心对称.三角函数图象与水平线相交时，解题多以对称轴为突破点；与其他函数图象相交时，一般情况下，要看看其他函数图象是否具有对称中心.
2.在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是相对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的长度和方向.
3.求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值：(1)最值定A，B，根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，即A=，B=；(2)T定ω，即ω=；(3)特殊点定φ，代入特殊点坐标求φ，一般选取最高点或最低点，代入中心点坐标时应注意图象是上升趋势还是下降趋势.
1.已知函数f(x)=cosωx-(ω>0)的图象在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　).
A.， B.，
C.， D.，
2.(原创)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x--1，函数g(x)满足g-+x+g--x=-2，若函数f(x)的图象与g(x)的图象有2 023个交点，则这2 023个交点的横坐标之和为　　　　.
题型3 三角函数的性质
例3　(1)(2024年天津卷)已知函数f(x)=sin 3ωx+(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在-，上的最小值是(　　).
A.- B.- C.0 D.
(2)(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点，0中心对称，则(　　).
A.f(x)在区间0，上单调递减
B.f(x)在区间-，上有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
(3)(2024年全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0，π]上的最大值是　　　　.
方法总结：
1.研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h(或f(x)=Acos(ωx+φ)+h或f(x)=Atan(ωx+φ)+h)的形式，然后结合正(余)弦、正切函数的性质求解.
2.关于三角函数奇偶性的常用结论：(1)y=Asin(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数，对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得；(2)y=Acos(ωx+φ)，当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数，当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得；(3)y=Atan(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
1.已知函数f(x)=sin 3x+cos 3x+，则下列结论正确的有(　　).
A.f(x)的最小正周期为
B.曲线y=f(x)关于点-，0对称
C.曲线y=f(x)关于直线x=对称
D.f(x)在区间，上单调递减
2.(原创)已知函数f(x)=，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　).
A.函数g(x)的值域为[-1，1]
B.若f(x)=，则sin x=1-
C.3π是函数g(x)的一个周期
D.点(π，0)是函数f(x)图象的一个对称中心
3.已知函数f(x)=sinπx+在[-1，m]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是　　　　.
【真题改编】
1.(2024年全国甲卷，理科T8改编)已知tanα+=3，则=(　　).
A.2 B.-2 C. D.
2.(2024年新高考全国Ⅰ卷，T4改编)已知sin(α+β)=m，tan α+tan β=2，则cos αcos β=(　　).
A.-2m B.- C. D.2m
3.(2024年新高考全国Ⅰ卷，T7改编)已知函数u(x)=min{sin x，cos x}x∈0，，其中min{p，q}表示p，q中的最小值，且ux+=u(x)，则曲线y=lg x与y=u(x)的交点个数为(　　).
A.7 B.9 C.11 D.13
4.(2024年新高考全国Ⅱ卷，T9改编)对于函数f(x)=cos2x+和g(x)=sin2x+，下列说法正确的有(　　).
A.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
B.f(x)与g(x)有相同的最小值
C.f(x)与g(x)有相同的单调递增区间
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心
5.(2024年全国甲卷，文科T13改编)若函数f(x)=sin x-cos x+m在[0，π]上的最大值为1，则m=　　　　.
6.(2024年新高考全国Ⅱ卷，T13改编)已知α，β∈(0，π)，sin(α+β)=，tan α+tan β=4，则tan αtan β=　　　　.
【最新模拟】
(总分：84分　单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分)
1.已知角α的终边与单位圆的交点为P，-，则sinα-=(　　).
A.- B.- C. D.
2.已知=，则tanα+=(　　).
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
3.如图，这是函数y=Asin(ωx+φ)，A>0的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　).
A.y=2sinx+
B.y=2sinx-
C.y=2sin2x+
D.y=2sin2x-
4.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间-，m上的值域为-，1，则实数m的取值范围是(　　).
A.， B.，
C.， D.，
5.若函数y=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)的部分图象如图所示，M(-3，)，N(1，-)为图象上的两个顶点.设∠MON=θ，其中O为坐标原点，0≤θ≤π，则sin(θ+φ)的值为(　　).
A.- B.
C.- D.
6.已知函数f(x)=sin 2ωxcos φ+cos 2ωxsin φω>0，0<φ<的部分图象如图所示，则(　　).
A.φ=
B.ω=2
C.fx+为偶函数
D.f(x)在区间0，上的最小值为-
7.(2024年北京卷，T12改编)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，，则cos β的最小值为　　　　.
8.已知角α，β的终边关于直线y=x对称，且sin(α-β)=，则α，β的一组取值可以是α=　　　　，β=　　　　.
9.已知函数f(x)=sinωx+，ω>0，则下列说法正确的是(　　).
A.f(x)的最大值为2
B.函数f(x)的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称
C.不等式f(x)>的解集为，，k∈Z
D.若f(x)在区间-，上单调递增，则ω的取值范围是0，
10.已知函数f(x)=sinx-+cosx-，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　).
A.fx-为偶函数
B.不等式g(x)≥1的解集为x+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
C.g(x)在π，上单调递增
D.若函数g(x)在-，上的零点为x1，x2，x3且x111.若点M将一条线段AB分为AM和MB两段，且==，则称点M为线段AB的黄金分割点.已知直线y=a(-1A.当a=0时，存在ω使点B为线段AC的黄金分割点
B.对于给定的常数ω，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点
C.对任意的a，存在ω使点B为线段AC的黄金分割点
D.对任意的ω，存在a使点B为线段AC的黄金分割点
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，则t的最小值是　　　　.
13.(人教A版必修第一册P256T26改编)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现如下公式：sin x=x-+-+…+(-1)n-1·+…，其中x∈R，n∈N*，n!=1×2×3×…×n，0!=1.现用上述公式求1-+-+…+(-1)n-1·+…的值，下列选项与该值最接近的是(　　).
A.sin 75° B.sin 25°
C.-sin 25° D.-sin 30°
14.(原创)已知函数f(x)=-9|sin x|-m|cos x|+msin xcos x+m，是函数f(x)的一个零点，则下列说法正确的有(　　).
A.m=8
B.π是函数f(x)的一个周期
C.若x∈0，，则f(x)∈[0，13-9]
D.若x∈[0，2 024π]，则方程f(x)=0有8 097个实数解
15.(原创)把f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在[0，π]上的单调递减区间为　　　　.
16.(原创)函数f(x)=+1-在区间(0，1 012π)上有　　　　个零点.
参考答案
专题一 三角函数的图象与性质
题型1　三角函数的运算
例1　B
【解析】因为tan α=3，
所以sin2α+sin 2α=sin2α+2sin αcos α====.
跟踪训练　B
【解析】因为sin α-cos α=，
所以(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α===2，
所以tan α=-1.
题型2　三角函数的图象
例2　(1)C　(2)-
【解析】(1)把函数y=cos2x+的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos2x++=cos2x+=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=x-，如图所示.观察图象知，共有3个交点，故选C.
(2)不妨设ω>0，|φ|<π，对比正弦函数y=sin x的图象易知，T=<，所以ω>3，所以ω>2π，又|φ|<π，所以ω+φ=2π.　①
由题知|AB|=xB-xA=，由两式相减，得ω(xB-xA)=，即ω=，解得ω=4.
将ω=4代入①，得φ=-，所以函数f(x)=sin4x-，所以f(π)=sin4π-=-sin =-.
跟踪训练
1.D
【解析】因为0≤x≤2π，所以-≤ωx-≤2ωπ-，又函数f(x)=cosωx-(ω>0)的图象在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，所以2π≤2ωπ-<3π，解得≤ω<.
2.-
【解析】因为f(x)=sin 2x+2cos2x--1=sin 2x+cos 2x-1=2sin2x+-1，所以f(x)的图象关于点-，-1中心对称，且f-=-1，又g-+x+g--x=-2，所以g(x)的图象也关于点-，-1中心对称，且g-=-1，所以-，-1为这2 023个交点中的一个，且其余2 022个交点关于点-，-1中心对称，所以这2 023个交点的横坐标之和为1 011×-×2+-=-.
题型3　三角函数的性质
例3　(1)A　(2)AD　(3)2
【解析】(1)f(x)=sin 3ωx+=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx，由T==π，得ω=，即f(x)=-sin 2x.
易知f(x)=-sin 2x在-，上单调递减，
所以当x=时，f(x)取得最小值，f(x)min=-sin =-，故选A.
(2)由题意得f=sin+φ=0，所以+φ=kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=2，φ=，故f(x)=sin2x+.
对于选项A，当x∈0，时，2x+∈，，令u=2x+，由y=sin u的图象知y=f(x)在区间0，上是单调递减的，A正确；
对于选项B，当x∈-，时，2x+∈，，令u=2x+，由y=sin u的图象知y=f(x)在区间-，上只有1个极值点，由2x+=可解得极值点，B错误；
对于选项C，当x=时，2×+=3π，f=0，直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴，C错误；
对于选项D，由f'(x)=2cos2x+=-1得cos2x+=-，得2x+=+2kπ或2x+=+2kπ，k∈Z，解得x=kπ或x=+kπ，k∈Z，所以曲线y=f(x)在点0，处的切线斜率k=-1，切线方程为y-=-(x-0)，即y=-x，D正确.
(3)f(x)=sin x-cos x=2sinx-，当x∈[0，π]时，x-∈-，，
故当x-=，即x=时，f(x)取得最大值，f(x)max=2.
跟踪训练
1.ACD
【解析】f(x)=sin 3x+cos 3x+=2sin3x++，f(x)的最小正周期为，A正确；
f-=2sin-++=，B错误；
f=2sin++=2+为函数的最大值，C正确；
因为x∈，，所以3x+∈，，故f(x)在区间，上单调递减，D正确.
2.ABD
【解析】g(x)==.
对于A，令t=sin x+cos x=sinx+，则sin xcos x=，t∈[-，]，所以函数g(x)变为y=，t∈[-，].当t=0时，y=0；当t≠0时，=t+，又t+≥2，所以≤-1或≥1，所以-1≤y<0或0对于B，由f(x)==，可得4sin x=2-cos 2x，即2sin2x-4sin x+1=0，故(sin x-1)2=，可得sin x=1±，又因为sin x∈[-1，1]，所以sin x=1-，故B正确.
对于C，因为g(x+3π)==-=-g(x)，所以3π不是g(x)的周期，故C错误.
对于D，因为f(π-x)==，f(π+x)==-，所以f(π-x)+f(π+x)=0，故D正确.
故选ABD.
3.，
【解析】当x∈[-1，m]时，πx+∈-，mπ+，
又f(x)在[-1，m]上恰有3个零点，
所以2π≤mπ+<3π，解得≤m<.
故实数m的取值范围是，.
1.A
【解析】因为tanα+==3，
所以tan α=，
又因为=，所以=2.
2.C
【解析】因为tan α+tan β=2，
所以=2，
所以=2，
即sin(α+β)=2cos αcos β，
又sin(α+β)=m，所以m=2cos αcos β，
故cos αcos β=.
3.C
【解析】函数y=u(x)满足ux+=u(x)，则函数y=u(x)是周期为的周期函数.
当x∈0，时，u(x)=则u(x)max =1，作出函数y=lg x与y=u(x)的图象，如图所示：
由于10<，当x>10时，lg x>1，函数y=u(x)与函数y=lg x的图象没有公共点，
所以由图可知，函数y=u(x)与函数y=lg x的图象共有11个交点.
4.AB
【解析】对于A，根据周期公式知，f(x)，g(x)的最小正周期均为π，故A正确；
对于B，显然f(x)min=g(x)min=-1，故B正确；
对于C，当2x+∈(-π+2kπ，2kπ)，k∈Z时，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为-+kπ，-+kπ，k∈Z，当2x+∈-+2kπ，+2kπ，k∈Z时，g(x)单调递增，即g(x)的单调递增区间为-+kπ，+kπ，k∈Z，故两个函数的单调递增区间不同，故C错误；
对于D，f(x)图象的对称中心满足2x+=kπ+，k∈Z，即x=+，k∈Z，所以f(x)的图象的对称中心为+，0，k∈Z，
g(x)图象的对称中心满足2x+=kπ，k∈Z，即x=-，k∈Z，所以g(x)的图象的对称中心为-，0，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称中心不同，故D错误.故选AB.
5.-1
【解析】f(x)=sin x-cos x+m=2sinx-+m，当x∈[0，π]时，x-∈-，，
则当x-=，即x=时，f(x)取得最大值，f(x)max =2+m，所以2+m=1，解得m=-1.
6.1+
【解析】因为tan α+tan β=+==4，sin(α+β)=，
所以cos αcos β=>0，故α，β∈0，或α，β∈，π，
又sin(α+β)=>0，所以α+β∈(0，π)，故可得α，β∈0，，
所以cos(α+β)=±=±，
即cos αcos β-sin αsin β=±，得sin αsin β= =.
因为α，β∈0，，所以sin αsin β>0，即sin αsin β=，
所以tan αtan β==×=1+.
1.B
【解析】因为角α的终边与单位圆的交点为P，-，所以cos α=，
所以sinα-=-cos α=-.
2.B
【解析】因为=，
所以=，所以tan α=1-，
所以tanα+==2-1.故选B.
3.C
【解析】由题图可得，A=2，T=--=，则T=π=，即ω=±2.
观察各选项可知，本题考虑ω=2即可，则y=2sin(2x+φ)，把点，2的坐标代入y=2sin(2x+φ)中，可得sin+φ=1，故+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，
所以y=2sin2x++2kπ=2sin2x+.
4.D
【解析】依题意得，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin2x+.
当x∈-，m时，2x+∈-，2m+，显然sin-=sin =-，sin =1，且正弦函数y=sin x在，上单调递减.
由f(x)在区间-，m上的值域为-，1，
得≤2m+≤，解得≤m≤，
所以实数m的取值范围是，.
5.A
【解析】由题图可知，=4，即T=8=，解得ω=.由题意知cos-3×+φ=，即cos-+φ=1，解得φ=+2kπ，k∈Z，因为-π<φ<π，所以φ=.
因为=(-3，)，=(1，-)，且∠MON=θ，
所以cos θ===-，因为0≤θ≤π，所以θ=.
所以sin(θ+φ)=sin+=sin cos +cos sin =×-+-×=-.
6.ACD
【解析】由题意得f(x)=sin(2ωx+φ)，由题图可得f(0)=，所以sin φ=，又0<φ<，所以φ=.
由“五点法”可得ω×+=，解得ω=1，所以f(x)=sin2x+.
由以上可得A正确，B错误.fx+=sin2x++=cos 2x，C正确.当x∈0，，即2x+∈，时，sin2x+∈-，1，所以f(x)在区间0，上的最小值为-，D正确.
7.-
【解析】由题意知β=α+π+2kπ，k∈Z，从而cos β=cos(α+π+2kπ)=-cos α，
因为α∈，，所以cos α的取值范围是，，cos β的取值范围是-，-，
当且仅当α=，即β=π+2kπ，k∈Z时，cos β取得最小值，最小值为-.
8.(答案不唯一)　(答案不唯一)
【解析】因为角α，β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=+2kπ，k∈Z，则α=-β+2kπ，k∈Z.
因为sin(α-β)=，所以sin -β+2kπ-β=sin-2β+2kπ=cos 2β=，
所以2β=+2kπ或2β=-+2kπ，k∈Z，解得β=+kπ或β=-+kπ，k∈Z，取k=0，β的一个值可以为，α的一个值可以为.
9.BCD
【解析】f(x)的最大值为，A错误；
令ωx+=kπ+，k∈Z，得x=kπ+，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称，B正确；
不等式f(x)>可化为sinωx+>，则2kπ+<ωx+<2kπ+，k∈Z，解得由2kπ-≤ωx+≤2kπ+，k∈Z，解得≤x≤，k∈Z，
因为f(x)在区间-，上单调递增，所以-， -，，
所以解得0<ω≤，D正确.故选BCD.
10.BD
【解析】f(x)=sinx-+cosx-=sinx-+cosx--=2sinx-，
则fx-=2sin(x-π)=-2sin x为奇函数，A错误；
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y=2sin2x-的图象，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x+-=2sin2x+的图象，
g(x)=2sin2x+≥1，即sin2x+≥，
则+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，B正确；
当x∈π，时，2x+∈，，，不是正弦函数的单调递增区间，C错误；
当x∈-，时，2x+∈-，2π，设函数g(x)在-，上的零点为x1，x2，x3，
则2x1+=0，2x2+=π，2x3+=2π，即x1=-，x2=，x3=，所以x1+2x2+x3=-+2×+=，D正确.故选BD.
11.D
【解析】当a=0时，=1，不存在ω使点B为线段AC的黄金分割点，A，C错误；
如图，易知∈(0，+∞)，
则存在一个a0∈(-1，1)，使得=，B错误；
若函数y=sin x的图象与直线y=a(-1将y=sin x的图象变换成y=sin(ωx+φ)的图象后，点A，B，C分别对应到点A'，B'，C'，设点A'，B'，C'的横坐标分别为x1'，x2'，x3'，
则x1'=，x2'=，x3'=，
故===，即ω，φ对比值无影响，D正确.
12.
【解析】由函数f(x)的图象知，f(x)的周期T=2-0=，则ω==.
由f(0)=2sin φ=1，解得sin φ=，而|φ|<，则φ=，
于是f(x)=2sinx+，g(x)=f(x-t)=2sinx+-t.
由函数g(x)为奇函数，得-t=kπ，k∈Z，而t>0，则t=+，k∈N，
所以当k=0时，t最小，tmin=.
13.C
【解析】因为sin x=x-+-+…+(-1)n-1·+…，
所以(sin x)'=cos x=1-+-+…+(-1)n-1·+…，
则cos 2=1-+-+…+(-1)n-1·+…，
又cos 2=sin-2≈-sin 0.43=-sin0.43×°≈-sin 24.6°≈-sin 25°，所以1-+-+…+(-1)n-1·+…≈-sin 25°.
14.ABD
【解析】对于A，由f=-9+m=0，解得m=8，故A正确.
对于B，由A选项知f(x)=-9(|sin x|+|cos x|)+4sin 2x+9，因为f(x+π)=-9[|sin(x+π)|+|cos(x+π)|]+4sin(2x+2π)+9=-9(|sin x|+|cos x|)+4sin 2x+9=f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故B正确.
对于C，若x∈0，，则f(x)=-9(sin x+cos x)+4sin 2x+9，
设sin x+cos x=sinx+=t，
则t∈[1，]，sin 2x=2sin xcos x=t2-1，
设g(t)=4t2-9t+5，t∈[1，]，则其值域为-，13-9，故C错误.
对于D，当x∈0，时，由选项C知，g(t)=4t2-9t+5，t∈[1，]，
令4t2-9t+5=0，得t=1或t=，且1，∈[1，]，
此时x=0或x=或x=x00当x∈，π时，f(x)=-9(sin x-cos x)+4sin 2x+9，
设m=sin x-cos x=sinx-，则m∈(1，]，sin 2x=2sin xcos x=1-m2，
设h(m)=-4m2-9m+13，
令-4m2-9m+13=0，解得m=1或m=-，且1，- (1，]，
故f(x)=0在x∈，π上没有实数解.
综上，f(x)=0在[0，π)上有4个实数解，又因为π是函数f(x)的一个周期，所以原方程实数解的个数为4×2 024+1=8 097，故D正确.
15.，
【解析】由题意知，g(x)=cos2x-=cos2x-，
由2kπ≤2x-≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
令k=-1，得-≤x≤-，令k=0，得≤x≤，又x∈[0，π]，
故函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为，.
16.2 023
【解析】f(x)=+1-=+1-=sin 2x+1-，
因为f(x+π)=sin 2(x+π)+1-=sin 2x+1-=f(x)，所以π为f(x)的一个周期.
令f(x)=sin 2x+1-=0，
则sin22x+2sin 2x=|sin 2x|.
当sin 2x≥0时，sin 2x=0或sin 2x=-1(舍去)，
当sin 2x<0时，sin 2x=0(舍去)或sin 2x=-3(舍去)，
所以f(x)在(0，π]上的零点为和π.
故当x∈(0，1 012π]时，f(x)恰有2×1 012=2 024个零点，
且第2 024个零点为1 012π，
故当x∈(0，1 012π)时，f(x)恰有2 024-1=2 023个零点.

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