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专题三 平面向量
【题型分析】
考情分析：
1.平面向量的线性运算常与平面向量数量积结合命题.
2.平面向量数量积的运算及其应用是高考的热点，主要以小题的形式考查.
题型1 平面向量的线性运算
例1　(1)(2022年新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则=(　　).
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)(2024年天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.
方法总结：
1.利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(3)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.
(4)=λ+μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
2.解决向量问题的两个常见思路
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则、三角形中位线定理及相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
1.已知等边△ABC的边长为1，D，E分别为AB，BC的中点，若=3，则=(　　).
A.+ B.+
C.+ D.+
2.在△ABC中，已知=3，P为线段AD的中点，若=λ+μ，则+=　　　　.
题型2 平面向量数量积的运算
例2　(1)(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|=(　　).
A. B. C. D.1
(2)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，||=6，||=3，=2，=，则·=(　　).
A.-9 B. C.9 D.18
方法总结：
1.平面向量数量积的两种运算方法
(1)定义法：当向量的模和夹角已知时，可利用定义法a·b=|a||b|cos求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题.
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
2.灵活运用平面向量数量积的几何意义
根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos=(夹角公式)，a⊥b a·b=0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
3.计算向量的模的方法
(1)当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式.
(2)利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算.
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等公式求解.
1.(原创)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段AB上，且满足AD=CD=BC=2，则·=(　　).
A.-1- 　　　B.-1+ C. 　　　D.
2.(原创)在矩形ABCD中，AC=m，平面内一动点P满足AP=n，则·的取值范围为　　　　.
【真题改编】
1.(2024年新高考全国Ⅰ卷，T3改编)已知向量a=(1，1)，b=(2，x)，c=(0，1)，若a∥b，则c·(b-4c)=(　　).
A.1 B.-1 C.-2 D.2
2.(2024年全国甲卷，理科T9改编)已知向量a=(x+1，x)，b=(x-1，3x)，则(　　).
A.“a⊥b”的充分条件是“x=2”
B.“a⊥b”的必要条件是“x=-”
C.“a∥b”的充分条件是“x=0”
D.“a∥b”的必要条件是“x=-2”
3.(2023年全国甲卷，文科T3改编)已知a+b=(5，3)，a-b=(1，-1)，则cos=(　　).
A. B. C. D.
4.(2023年全国甲卷，理科T4改编)已知向量a，b，c满足|a+b|=|a-b|=|c|，|a|=|b|，且cos=cos<0，若a·c=-1，则|a|=(　　).
A.4 B.2 C. D.1
5.(2024年新高考全国Ⅱ卷，T3改编)已知非零向量a，b满足|a|=2，|a+4b|=2，且(a-λb)⊥b，则a在b上的投影向量为(　　).
A.b B.-b
C.2b D.-2b
6.(2023年新高考全国Ⅱ卷，T13改编)已知向量a，b满足|2a+b|=|2a-b|，|a+2b|=|4a-b|，则=　　　　.
【最新模拟】
(总分：83分　单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分)
1.在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M是BC的中点，则=(　　).
A.- B.+
C.+ D.+
2.已知G是△ABC的重心，M是线段AC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=(　　).
A. B. C.- D.-
3.已知单位向量a，b满足|a-b|=1，则a在b方向上的投影向量为(　　).
A.b B.b C.a D.-a
4.已知向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，则“m=-”是“a与b共线”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知向量a，b满足|a-b|=，|a+b|=|2a-b|，则|b|=(　　).
A.1 B. C.2 D.
6.已知O为坐标原点，平面向量=(1，1)，B(-2，2)，则向量与夹角的余弦值为(　　).
A. B. C. D.
7.已知G是△ABC的重心，O，P是△ABC所在平面内的两个不同的点，且满足=++，则(　　).
A.O，P，G三点共线
B.=2
C.2=++
D.点P在△ABC的内部
8.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于点F，若将=a，=b作为平面向量的一组基底，则向量可表示为　　　　.(用a，b表示)
9.已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，P为直线x-y+2=0上任意一点，则·的最小值是　　　　.
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成)，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图，这是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，P是△DEF内部(包括边界)的动点，则(　　).
A.=-
B.·=
C.若P为EF的中点，则在上的投影向量为-
D.|+|的最大值为
11.已知等边△ABC的边长为2，=2，=，BD与CE交于点F，则(　　).
A.=+
B.=
C.·=-2
D.在方向上的投影向量为
12.已知正方形ABCD的边长为1，点P满足=λ(λ>0).当λ=时，·=　　　　；当λ=　　　　时，·取得最大值.
13.(原创)已知向量a=-，2sin-，b=1，cos-，且a⊥b，则sin2α+=(　　).
A.- B. C. D.-
14.(原创)已知O是△ABC所在平面上的一点，且OA=OB=OC，若AB=2，AC=4，则·=　　　　.
15.(原创)已知|a+b|=12，cos=cos=，则|c|的最大值为　　　　.
16.(湘教版必修第二册P65T22改编)在四边形ABCD中，==(1，)，+=，则AD到BC的距离h=　　　　.
参考答案
专题三 平面向量
题型1　平面向量的线性运算
例1　(1)B　(2)　-
【解析】(1)因为BD=2DA，所以=3，所以=+=+3=+3(+)=-2+3=-2m+3n.故选B.
(2)因为CE=DE，所以=，则=+=+，
可得λ=，μ=1，所以λ+μ=.
由题意可知||=||=1，·=0，
因为F为线段BE上的动点，所以可设=k=+k，k∈[0，1]，
则=+=+k=-1+k.
又因为G为AF的中点，所以=+=-+=-1+-1，可得·=-1+k·-1+-1
=-12+k-1=k-2-，
又k∈[0，1]，所以当k=1时，·取得最小值，最小值为-.
跟踪训练
1.B
【解析】如图，因为D，E分别为AB，BC的中点，=3，
所以==，所以=+=(+)+=+.
2.10
【解析】如图，由=3，得=.
因为P为线段AD的中点，所以=+=+.
又=λ+μ，，不共线，所以λ=，μ=，所以+=2+8=10.
题型2　平面向量数量积的运算
例2　(1)B　(2)C
【解析】(1)因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b.
又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以(a+2b)2=1+4a·b+4b2=1+6b2=4，解得|b|=.故选B.
(2)因为=+=+，=-，
所以·=+·(-)
=+·-=12+×6×3×-=9.
跟踪训练
1.A
【解析】由图可得·=·(+)=·+·=||·||cos∠ACB-||·||·cos∠ACD=||·cos∠ABC·||-||2=||2-||2.设AC=x>2，因为AB=AC，AD=CD=BC=2，所以△ABC∽△CBD，则=，解得x=1+或x=1-(舍去)，所以·=-1-.
2.[n2-mn，n2+mn]
【解析】·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·=n2+mncos<，>，
因为-1≤cos<，>≤1，
所以·∈[n2-mn，n2+mn].
1.C
【解析】因为a∥b，所以x=2，所以b-4c=(2，-2)，c·(b-4c)=-2.故选C.
2.C
【解析】若a⊥b，则a·b=0，所以(x+1)·(x-1)+3x2=0，即4x2-1=0，解得x=±.
对于A，充分性不成立，必要性也不成立，故A错误.
对于B，必要性不成立，充分性成立，故B错误.
若a∥b，则3x(x+1)=x(x-1)，解得x=0或x=-2.
对于C，充分性成立，必要性不成立，故C正确.
对于D，必要性不成立，充分性成立，故D错误.故选C.
3.C
【解析】因为a+b=(5，3)，a-b=(1，-1)，所以a=(3，1)，b=(2，2)，
则|a|==，|b|==2，a·b=3×2+1×2=8，
所以cos===.故选C.
4.D
【解析】因为|a+b|=|a-b|，所以a·b=0，由|a|=|b|，cos=cos<0，可知==，由|a|=|b|，|a+b|=|a-b|=|c|，得|a|=|b|=|c|，设|a|=|b|=|c|=m，则a·c=m2×-=-1，所以|a|=m=1.
故选D.
5.D
【解析】因为(a-λb)⊥b，所以a·b=λb2.
又|a|=2，|a+4b|=2，所以|a+4b|2=a2+8a·b+16b2=4+(8λ+16)b2=4，
依题意可知b2=|b|2≠0，则8λ+16=0，
故λ=-2，所以a·b=λb2 |a|·|b|cos=-2|b|2，
即|a|cos=-2|b|，所以a在b上的投影向量为|a|cos·=-2b.故选D.
6.
【解析】因为|2a+b|=|2a-b|，即(2a+b)2=(2a-b)2，所以a·b=0.
又因为|a+2b|=|4a-b|，即(a+2b)2=(4a-b)2，
所以a2+4a·b+4b2=16a2-8a·b+b2，整理得b2=5a2，所以=.
1.D
【解析】依题意可得=+=+(+)=++=+.
2.C
【解析】==(-)=-=-+，所以λ=-，μ=，λ+μ=-.
3.A
【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|=1，|b|=1.由|a-b|=1得|a-b|2=1，即a2-2a·b+b2=1，所以a·b=，则a在b方向上的投影向量为|a|cos·=·=b.
4.A
【解析】向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，若a与b共线，则m(4m+1)-(2m+3)=0，解得m=-或m=1，所以“m=-”是“a与b共线”的充分不必要条件.
5.D
【解析】由|a-b|=，可得a2-2a·b+b2=3，　①
由|a+b|=|2a-b|，可得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2，
整理得a2-2a·b=0，代入①得b2=3，解得|b|=.
6.C
【解析】由B(-2，2)可得向量=(-2，2)，由=-得=(-3，1)，
则·=(-2)×(-3)+2×1=8，因此cos<，>===.
7.AC
【解析】=++=+++++=3+++，
因为G为△ABC的重心，所以++=0，所以=3，
所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；
++=+++++=(++)+3，
因为=++，所以(++)+3=-+3=2，
即2=++，故C正确；
因为=3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误.
8.b+a
【解析】由AD∥BE，得==2，所以AF=AE，所以==+=b+a.
9.1
【解析】因为·=(+)·(+)=-，所以当OP垂直于直线x-y+2=0时，·的值最小，最小值为()2-12=1.
10.AD
【解析】=++=-++=-，A正确；
如图，建立平面直角坐标系，
则A-，-，B，-，C(1，0)，D，，E-，，F(-1，0)，
可得=，，=(0，)，所以·=，B错误；
由题意可知CE⊥EF，若P为EF的中点，则在上的投影向量为-，C错误；
设P(x，y)，可知-1≤x≤，0≤y≤，
则=，，=(x+1，y)，可得+=x+，y+，
则|+|=，
可知当x=，y=，即点P与点D重合时，|+|的值最大，最大值为，D正确.
11.BCD
【解析】由平面向量线性运算可得=+=+=+(-)=+，A错误；
以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则E(0，0)，A(1，0)，B(-1，0)，C(0，)，D，，
设F(0，y)，y∈(0，)，则=(1，y)，=-，y-，
因为∥，所以y-=-y，解得y=，所以=，B正确；
因为=，，=(0，-)，所以·=×0+×(-)=-2，C正确；
因为=，，=(1，)，所以·=×1+×=，
所以在方向上的投影向量为·=·=，D正确.
12.　
【解析】根据题意，建立以A为原点的平面直角坐标系，如图，
则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，B(1，0)，因为正方形ABCD的边长为1，=λ(λ>0)，
所以当λ=时，==，0，所以点P的坐标为，0，所以=(1，1)，=-，1，
所以·=1×-+1=.
如图，因为=λ(λ>0)，所以P(λ，0)，所以=(λ，-1)，=(1-λ，1)，
所以·=λ(1-λ)-1=-λ2+λ-1=-λ-2-，
所以当λ=时，·取得最大值.
13.D
【解析】由a⊥b可得sin-α=，所以sin2α+=sin2α-+π=-cos2α-=-cos2-α=-1-2sin2-α=-1-2×2=-.故选D.
14.2
【解析】设∠OAC=α，∠OAB=β，因为OA=OB=OC，所以O是△ABC的外心，
所以·=·(-)=·-·
=||cos α·||-||cos β·||
=||2-||2
=×42-×(2)2=2.
15.20
【解析】如图所示，设=a，=b，当△ABC的外接圆直径长为|c|时，|c|最大.
∵cos=，
∴sin=，|c|max===20.
16.
【解析】∵==(1，)，∴四边形ABCD为平行四边形.
又+=，∴AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴||=||=||=2，∴+=(+)==，得||=2，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=，
∴S四边形ABCD=||·||·sin 60°=22×=2，
由题意知S四边形ABCD=BC·h，所以h==.

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