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小题探究1 三角函数的图象与性质
【高考须知】
　　1.此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,常与三角恒等变换交汇命题.
2.主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等或中等偏下.
【教材改编】
1.(人教A版必修第一册P194T4改编)已知在单位圆中,角α的终边与单位圆的交点为P,,则cos=(　　).
A. B. C.- D.-
2.(人教A版必修第一册P207T5改编)函数y=3sin,x∈[0,π]的单调递减区间为(　　).
A. B.
C. D.
3.(人教A版必修第一册P207T5改编)已知函数f(x)=3sin,x∈[0,a](a>0)的图象是中心对称图形,则a的最小值为(　　).
A. B. C. D.π
4.(人教A版必修第一册P241T6改编)某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,则当t=10 s时,A,B两点间的距离为　　　　cm.
5.(人教A版必修第一册P229T10改编)已知=-,则sin=　　　　.
命制点1　三角函数的概念与基本关系
【核心提炼】
　　1.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan αα≠+kπ,k∈Z.
2.诱导公式:在θ=+α,k∈Z的诱导公式中,“奇变偶不变,符号看象限”.
(1)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是(　　).
A.sinα+ B.cosα+
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
(2)(2024·河北高三联考)设-<α<0,若=,则sin α=(　　).
A.- B.- C.- D.-
【易错清零】
　　1.注意角度的范围.
2.在切化弦时,要注意余弦值不为零的隐含条件.
【跟踪训练】
1.已知tan+θ=,那么=(　　).
A. B. C.- D.-
2.设sin 23°=m,则tan 67°=(　　).
A.- B.
C. D.
3.若将顶点在原点,始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过后交单位圆于点P-,y,则cos α的值为(　　).
A. B. C. D.
命制点2　三角函数的图象与性质
【核心提炼】
　　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
(1)单调性:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
(2)对称性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得图象的对称中心,由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得图象的对称轴.
(3)奇偶性:当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
(4)周期性:最小正周期T=.
(1)(2024·九省适应性考试)已知函数f(x)=sin2x++cos2x+,则(　　).
A.函数fx-为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称轴为直线x=kπ,k∈Z
C.f(x)在区间,上单调递增
D.f(x)的最小值为-2
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点.若|AB|=,则f(π)=　　　　.
【易错清零】
　　对于例2(1)中的C选项,在求单调性时,应注意x∈,,2x∈,π的变化;对于例2(2),解题关键是把握A,B两点的横坐标之间的关系.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=Asinωx+(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为,要得到函数g(x)=Acos ωx的图象,只需将f(x)的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin2x-,在下列说法中,正确的有(　　).
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
3.(2023·株洲一模)关于函数f(x)=cos x+asin x(a≠0)有以下四个选项,正确的是(　　).
A.对任意的a,f(x)都不是偶函数
B.存在a,使f(x)是奇函数
C.存在a,使f(x+π)=f(x)
D.若f(x)的图象关于直线x=对称,则a=1
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,E(0,1)是线段MD的中点,且△OME为等腰直角三角形,则f(x)的解析式为f(x)=　　　　.
命制点3　三角恒等变换
【核心提炼】
　　1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
(3)tan(α±β)=.
　　2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
(1)已知α为锐角,sinα+=,那么sin α=　　　　.
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
【易错清零】
　　例3(1)中易忽视α为锐角以及对角变换α=α+-的使用,若不使用角变换,则不易求出sin α,同时易忽视对三角函数值的符号的讨论.
【跟踪训练】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　).
A.-3m B.- C. D.3m
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　).
A. B. C.- D.-
3.在斜三角形ABC中,三个内角分别为A,B,C,若tan A,tan B是方程3x2-6x+1=0的两根,则下列说法正确的是(　　).
A.tan C=3 B.△ABC是钝角三角形
C.sin B4.已知sinα+=--<α<,则cos2α+=　　　　,sin2α+=　　　　.
参考答案
1.D　解析　依题意得sin α=,所以cos=cos=-sin α=-.故选D.
2.C　解析　由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
令k=0,得≤x≤,
所以函数y=3sin在[0,π]上的单调递减区间为.故选C.
3.C　解析　依题意得在x轴正方向上,f(x)最靠近原点的零点为.
因为f(x)的图象的对称中心是其图象与x轴的交点,
所以a的最小值为2×-0=.
当a=,x∈0,时,-x∈,,
所以f=3sin 2+=3sin-2x+=-3sin=-f(x),满足题意.
故选C.
4.5　解析　依题意得,|OA|=|OB|=5 cm,∠AOB=·2π=,取AB的中点C,连接OC(图略),
则|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin =10sin =5(cm).
5.-　解析　因为=-,所以tan θ=-2,
所以sin=(sin 2θ+cos 2θ)
=(2sin θcos θ+cos2θ-sin2θ)
=
=+
=×+
=-.
命制点1　三角函数的概念与基本关系
例1　(1)D　(2)C　解析　(1)角α的终边在第二象限,sinα+=cos α<0,故A不符合题意;cosα+=-sin α<0,故B不符合题意;sin(π+α)=-sin α<0,故C不符合题意;cos(π+α)=-cos α>0,故D符合题意.
故选D.
(2)由已知得=,故=.
因为-<α<0,所以sin α≠0,
故=,解得cos α=,
则sin α=-=-.故选C.
跟踪训练
1.D　解析　由题意得==,
则tan θ=-2,
故==-
=-=-=-=-.
故选D.
2.D　解析　∵sin 23°=cos 67°=m.
∴sin 67°=,
∴tan 67°==.
故选D.
3.A　解析　由点P在单位圆上,得-2+y2=1,
解得y=±.
由锐角α∈0,,得α+∈,,则y=,
故cosα+=-,sinα+=,
所以cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+·sin=-×+×=.
故选A.
命制点2　三角函数的图象与性质
例2　(1)AC　(2)-　解析　(1)由辅助角公式得f(x)=sin2x++cos2x+=sin2x++=-sin 2x.
对于A,fx-=-sin2x-=cos 2x,
易知fx-为偶函数,故A正确;
对于B,曲线f(x)=-sin 2x的对称轴为直线2x=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,故B错误;
对于C,由x∈,,可得2x∈,π,易知y=sin 2x在区间,上单调递减,则f(x)=-sin 2x在区间,上单调递增,故C正确;
对于D,f(x)=-sin 2x,且sin 2x∈[-1,1],
所以f(x)∈[-,],故D错误.故选AC.
(2)设Ax1,,Bx2,,
由|AB|=可得x2-x1=.
令ωx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z.由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.
因为f=sin+φ=0,所以+φ=kπ,即φ=-+kπ,k∈Z,所以f(x)=sin4x-+kπ=sin4x-+kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin4x-或f(x)=-sin4x-.
又因为f(0)<0,所以f(x)=sin4x-,
所以f(π)=sin4π-=-.
跟踪训练
1.C　解析　因为函数f(x)=Asinωx+(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为,
所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω=3,
所以函数f(x)=Asin3x+,
为得到g(x)=Acos 3x=Asin3x+的图象,只需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度.
故选C.
2.BC　解析　对于A,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即f(x)的零点.令g(x)=sin2x-=0,解得x=+,k∈Z,即g(x)的零点.显然f(x),g(x)的零点不同,故A错误.
对于B,显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确.
对于C,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确.
对于D,f(x)图象的对称轴为直线2x=kπ+,k∈Z,即直线x=+,k∈Z,g(x)图象的对称轴为直线2x-=kπ+,k∈Z,即直线x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC.
3.AD　解析　因为f(x)=cos x+asin x=sin(x+φ),其中tan φ=,φ∈-,0∪0,.
对于A,要使f(x)为偶函数,则φ=+kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,即对任意的a,f(x)都不是偶函数,故A正确;
对于B,要使f(x)为奇函数,则φ=kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,即不存在a,使f(x)是奇函数,故B错误;
对于C,f(x+π)=sin(x+π+φ)=-·sin(x+φ)≠f(x),故C错误;
对于D,若f(x)的图象关于直线x=对称,则+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,且φ∈-,0∪0,,所以φ=,即tan ==1,所以a=1,故D正确.
故选AD.
4.2sinx+　解析　由E(0,1)是线段MD的中点,可知A=2,根据△OME为等腰直角三角形,可得M(-1,0),D(1,2),∴·=1-(-1),解得ω=,
∴函数f(x)=2sinx+φ,
又由M(-1,0)是f(x)的图象上的点及正弦函数的图象与性质知,×(-1)+φ=0,可得φ=,
∴f(x)=2sinx+.
命制点3　三角恒等变换
例3　(1)　(2)-　解析　(1)因为sinα+=,
所以cosα+=±=±.
当cosα+=时,sin α=sinα+-=sinα+cos -cosα+sin =×-×=<0.因为α为锐角,所以不符合题意,舍去.
当cosα+=-时,sin α=sinα+-=sinα+cos -cosα+sin =×+×=>0,满足题意.
故sin α=.
(2)因为α为第一象限角,β为第三象限角,所以cos α>0,cos β<0.
cos α==,
cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
==
=-.
跟踪训练
1.A　解析　因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m.
又因为tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
所以sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
故选A.
2.B　解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,且cos αsin β=,所以sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故选B.
3.BC　解析　∵tan A,tan B是方程3x2-6x+1=0的两个根,
∴tan A+tan B=2,tan Atan B=,
∴tan(A+B)==3,
∴tan C=-tan(A+B)=-3,∴C是钝角,∴A+B<,可得0同理sin B4.　-　解析　∵sinα+=--<α<,则cos2α+=1-2sin2α+=1-2×=,有sin-2α=cos2α+=,
∴sin2α-=-,
∵-<α<,∴-<α+<,
又sinα+=-<-,∴-<α+<-,
∴-<α<-,-<2α-<-,
∴cos2α-=-,
∴sin2α+=sin2α-+=sin2α-+cos2α-=-.

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