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第2节　与圆有关的位置关系
(6年6考,8分)
　　中考每年必考内容,题型为解答题.主要考查与切线性质有关的证明与计算,如今与其他知识点结合,综合考查.比如相似三角形,全等三角形,锐角三角函数,勾股定理,四边形等.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1与圆有关的位置关系　轮考
点与圆的位置关系(设圆
的半径为r,平面内任一
点到圆心的距离为d)
直线与圆的位置关系(设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d) 位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d④ r d⑤ r d⑥ r
示意图
公共点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点
知识点2切线　常考
切线的性质:圆的切线⑦ 于过切点的半径(或直径)
切线的判定
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑧ ,这一点和圆心的连线⑨ 两条切线的夹角.如图,过☉O外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=⑩ ,PO平分∠APB
知识点3三角形的内心　轮考
【真题精粹·重变式】
考向1与切线性质有关的证明与计算　6年6考
1.(2022·陕西24题8分)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P.
(1)求证:∠CAB=∠APB.
(2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.
2.(2024·陕西24题8分)如图,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在直线l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:∠BAF=∠CDB.
(2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.
考向2与切线判定有关的证明与计算
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的外接圆,点D在☉O上,且=,过点D作CB的垂线,与CB的延长线相交于点E,并与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:DF是☉O的切线.
(2)若☉O的半径R=5,AC=8,求DF的长.
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BAD=∠C,点D在BC边上,以AD为直径的☉O交AB于点E,交AC于点F.
(1)求证:BC是☉O的切线.
(2)已知AB=6,AC=8,求AF的长.
【核心突破·拓思维】
题型1切线的性质及其应用
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E,连接AD.
(1)求证:AE=DE.
(2)若AB=10,BD=6,求AC的长.
1.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,D为BC的中点,连接AD与☉O交于点E,连接CE并延长,与☉O交于点F,且CF经过圆心O.
(1)求证:E为CF的中点.
(2)若AD=6,求☉O的半径.
如图,四边形ABDC内接于☉O,AD平分∠BAC,延长AC交☉O的切线DE于点E.
(1)求证:BC∥DE.
(2)连接DC,若cos∠BAD=,DC=10,求点C到DE的距离.
2.如图,在△AOB中,☉O与AB相切于点D,延长AO交☉O于点C,连接CD,过点A作AF⊥BO,交BO的延长线于点H,交☉O于点F,∠B=∠C.
求证:(1)AF∥CD.
(2)AH2=OH·BH.
题型2切线的判定及其应用
如图,在△ABC中,∠A=45°,以AB为直径的☉O经过AC的中点D,E为☉O上的一点,连接DE,BE,DE与AB交于点F.
(1)求证:BC为☉O的切线.
(2)若F为OA的中点,☉O的半径为2,求BE的长.
3.如图,AB为☉O的直径,☉O过AC的中点D,DE⊥BC于点E.
(1)求证:DE为☉O的切线.
(2)若DE=2,tan C=,求☉O的直径.
　　(1)切线性质的运用口诀:“见切点,连半径,得垂直,得等腰”.在运用切线的性质时,当连接半径之后,会得到垂直条件,进而会出现直角三角形,同时圆的半径均为等线段,则会出现等腰三角形.利用等腰三角形和直角三角形的性质,可完成等角转换.
　　(2)切线的判定:判定直线是不是圆的切线时,从以下两个维度入手. ①连半径,证垂直.通过连接半径,得到等线段,寻找等腰三角形进行等角转换(互余导角),以此来证明垂直; ②作垂直,证半径.通过作垂直,寻找全等三角形,利用全等三角形的性质来证明所作垂线段为半径.
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<　⑦垂直　⑧相等　⑨平分　⑩PB　与三角形各边相切的圆　三角形内切圆的圆心　各边　三条角平分线
真题精粹·重变式
1.解析:(1)证明:∵AM是☉O的切线,∴∠BAM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠CEA=90°,∴AM∥CD,
∴∠CDB=∠APB.
∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.
(2)如图,连接AD.
∵AB为☉O的直径,
∴∠CDB+∠ADC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CAB+∠C=90°.
∵∠CDB=∠CAB,
∴∠ADC=∠C,
∴AD=AC=8.
∵AB=10,
∴BD==6.
∵∠ADB=∠PAB,∠ABD=∠PBA,
∴△ADB∽△PAB,
∴=,
∴PB===,
∴PD=-6=.
2.解析:(1)证明:∵直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,
∴AB⊥CD,∴∠BAC=∠BAD=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°.
∵∠BAF+∠ABD=90°,∠CDB+∠ABD=90°,
∴∠BAF=∠CDB.
(2)在Rt△ABD中,
∵AB=2r=12,AD=9,
∴BD==15.
在Rt△ABC中,
∵AB=12,AC=12,
∴BC==12.
∵∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD,
∴△BAF∽△BDA,
∴BF∶BA=BA∶BD,即BF∶12=12∶15,
解得BF=.
∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,
∴∠BEF=∠CDB.
∵∠EBF=∠DBC,
∴△BEF∽△BDC,
∴EF∶DC=BF∶BC,即EF∶21=∶12,
解得EF=,即EF的长为.
3.解析:(1)证明:如图,连接DO并延长,与AC相交于点P.
∵=,
∴DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∵DE⊥BC,
∴∠CED=90°.
∵∠C=90°,
∴∠ODF=90°,
∴DF是☉O的切线.
(2)∵∠C=90°,
∴AB=2R=10.
在Rt△ABC中,BC==6.
∵∠DPC+∠C=180°,
∴PD∥CE,
∴∠CBA=∠DOF.
∵∠C=∠ODF,
∴△ABC∽△FOD,
∴=,即=,
∴DF=.
4.解析:(1)证明:∵∠BAC=90°,
∴∠DAC+∠BAD=90°.
∵∠BAD=∠C,∴∠DAC+∠C=90°,
∴∠ADC=90°.
又∵AD是☉O的直径,
∴BC是☉O的切线.
(2)如图,连接DF.
在Rt△ABC中,
AB=6,AC=8,
∴BC==10.
∵S△ABC=AB·AC=BC·AD,
∴×6×8=×10×AD,
解得AD=.
∵AD是☉O的直径,
∴∠AFD=90°,
∴∠AFD=∠ADC.
又∵∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD,
∴=,即=,∴AF=.
核心突破·拓思维
例1　解析:(1)证明:如图,连接OD.
∵∠BAC=90°,DE是☉O的切线,
∴∠OAD+∠DAE=90°,OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAE=∠ADE,
∴AE=DE.
(2)∵AB是☉O的直径,
∴AD⊥BC,∠B+∠BAD=90°.
∵AB=10,BD=6,
∴AD==8.
在△ABC和△DBA中,
∵∠BAC=∠BDA=90°,∠CBA=∠ABD,
∴△ABC∽△DBA,
∴=,即=,
∴AC=.
变式设问　1.解析:
(1)证明:如图,连接BF.
∵在☉O中,∠A=∠F,∠F=∠OBF,
∴∠A=∠OBF,
∴AD∥BF.
∵D为BC的中点,
∴E为CF的中点.
(2)设☉O的半径为r,由(1)可知,EF=CE=2r,
∴OC=OE+EC=3r.
∵BC为☉O的切线,∴∠ABC=90°.
在Rt△OBC中,OC=3r,OB=r,
∴BC==2r,
∴BD=CD=BC=r.
在Rt△ABD中,AB=2r,AD=6,且AD2=AB2+BD2,
∴62=4r2+2r2,解得r=.
∴☉O的半径为.
例2　解析:(1)证明:如图,过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴=,
∴BD=CD.
∵DH⊥BC,
∴DH是BC的中垂线,
∴DH必经过圆心点O.
∵DE是☉O的切线,
∴DH⊥DE,
∴BC∥DE.
(2)如图,过点C作CG⊥DE于点G.
由(1)知BC∥DE,
∴∠BCD=∠CDE.
∵=,
∴∠BAD=∠BCD,
∴∠CDE=∠BAD.
∵DC=10,cos∠BAD=,
∴在Rt△CDG中,cos∠CDE===,
∴DG=6,
∴CG===8,即点C到DE的距离为8.
变式设问　2.证明:(1)如图,连接OD.
∵☉O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∴∠B+∠BOD=90°.
∵∠B=∠C,
∴∠C+∠BOD=90°.
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠C,
∴∠ODC+∠BOD=90°,
∴∠DMO=180°-(∠ODC+∠BOD)=90°,
∴DC⊥BH.
∵AF⊥BH,∴DC∥AF.
(2)∵DC∥AF,
∴∠OAH=∠C.
∵∠B=∠C,
∴∠OAH=∠B.
∵∠AHO=∠BHA,
∴△AHO∽△BHA,
∴AH∶BH=OH∶AH,
∴AH2=OH·BH.
例3　解析:(1)证明:如图,连接OD.
∵OA=OD,∠A=45°,
∴∠ADO=∠A=45°,
∴∠AOD=90°.
∵D是AC的中点,
∴AD=CD.
又∵OA=OB,
∴OD∥BC,
∴∠ABC=∠AOD=90°,
∴BC是☉O的切线.
(2)由(1)可得∠AOD=90°.
∵☉O的半径为2,F为OA的中点,
∴OF=1,BF=3,AD==2,
∴DF===.
∵=,
∴∠E=∠A.
∵∠AFD=∠EFB,
∴△AFD∽△EFB,
∴=,即=,
解得BE=.
变式设问　3.解析:(1)证明:如图,连接OD.
∵D为AC的中点,O为AB的中点,
∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥BC.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°,
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴OD⊥DE于点D,
∴DE为☉O的切线.
(2)如图,连接DB.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC,
∴∠CDB=90°.
∵D为AC的中点,
∴AB=BC.
在Rt△DEC中,
∵DE=2,tan C=,∴EC==4,
由勾股定理得DC=2,
在Rt△DCB中,BD=DC·tan C=,
由勾股定理得BC=5,
∴AB=BC=5,∴☉O的直径为5.

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