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第1节　与圆有关的概念及其性质
(6年6考,3分)
　　从近6年的考试内容来看,圆周角定理及其推论、圆周角定理及其推论与垂径定理相结合、圆中最值问题是常考内容,难度不大,常以选择题、填空题的形式出现.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1与圆有关的概念及性质　常考
圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合,其中定点为① ,定长为②
确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
圆的对称性 (1)圆是③ 对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴;(2)圆是④ 图形,圆心是对称中心;(3)圆具有旋转不变性对称
有关概念 (如图) 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦(线段AD)
直径 经过圆心的弦叫作直径(线段AB),直径是圆中最长的弦
弦心距 圆心到弦的距离(线段OE的长)
弧 圆上任意两点间的部分叫圆弧:大于半圆的弧叫⑤ (如);小于半圆的弧叫⑥ (如)
等弧 同圆或等圆中,能够互相重合的弧
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOC)
圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角(如∠ADC)
知识点2圆心角、弧、弦及弦心距的关系　常考
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑦ 相等,所对的⑧ 相等,弦的弦心距也相等
常用结论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦及弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等
数学语言 如图,∠AOB=∠COD AB=CD = OE=OF
知识点3垂径定理及其推论　常考
垂径定理 垂直于弦的直径⑨ ,并且平分弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径⑩ 于弦,并且平分弦所对的两条弧
常用结论 弦的 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
根据圆的对称性,如图,有以下五个结论:(1)= ;(2)=;(3)AM= ;(4)AB⊥CD;(5)CD是直径.只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即知二推三
常作辅助线:过圆心作弦的垂线,构造直角三角形,得r2=d2+2
知识点4圆周角定理及其推论　常考
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 如图,∠P=∠AOB
推论 同弧或等弧所对的圆周角 (如图1,∠A=∠B,∠C=∠D,如图2,∠E=∠F) 图1　　　　　图2
半圆(或直径)所对的圆周角是 (如图,∠ACB=90°),90°的圆周角所对的弦是 (如图,∠ACB所对的弦是直径AB)
知识点5圆的内接多边形　轮考
温馨提示:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)
【真题精粹·重变式】
考向1圆周角定理及其推论
1.(2022·陕西7题3分)如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB的度数为 ( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
　　
第1题图　　　　　　第2题图
2.(2024·陕西11题3分)如图,BC是☉O的弦,连接OB,OC,∠A是所对的圆周角,则∠A与∠OBC的和的度数是 .
3.(2020·陕西9题3分)如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的度数为 ( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
考向2垂径定理及其有关的计算
4.如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5,若P是☉O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( )
A.5 B. C.5 D.5
5.(2023·陕西7题3分)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图,是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为 ( )
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
考向3圆内接四边形
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AD=BC,若∠BAC=45°,∠B=75°,则下列等式成立的是 ( )
A.AB=2CD
B.AB=CD
C.AB=CD
D.AB=CD
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①圆心　②半径　③轴　④中心对称　⑤优弧　⑥劣弧
⑦弦　⑧弧　⑨平分弦　⑩垂直　垂直平分线　
BM　一半　相等　直角　直径　内接多边形　三角形外接圆的圆心　三个顶点　三边中垂线的交点　不在同一条直线上的三个点　互补
真题精粹·重变式
1.A　2.90°　3.B　4.D　5.A　6.B

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