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第3节　图形的变换:对称、平移、旋转与位似
(6年6考,3~5分)
　　对称图形的识别在2021年和2023年以选择题的形式考查,分值为3分.利用对称解决线段最短问题,填空题考查2次,属于填空压轴题,分值为3分;解答题考查3次,在最后一题压轴题中考查.2022年考查的是解答题,分值为5分.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1图形的对称　轮考
轴对称图形与中心对称图形
常见的轴对称图形:等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等
常见的中心对称图形:平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的图形:菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
轴对称与中心对称
知识点2图形的折叠　轮考
图形的折叠
知识点3平移与旋转　常考
内容 要素 性质 网格作图步骤
(1)平移方向; (2)平移距离 (1)平移前后对应线段平行(或共线)且⑤ ,对应点所连的线段⑥ ; (2)对应角分别⑦ ,且对应角的两边分别平行(或共线),方向一致; (3)平移变换后的图形与原图形⑧ (1)确定平移方向和平移距离; (2)找原图形关键点; (3)按平移方向和距离平移各关键点; (4)按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点,得到平移后的图形
(1)旋转中心; (2)旋转方向; (3)旋转角度 (1)对应点到旋转中心的距离⑨ ; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑩ ; (3)旋转前后的图形 (1)确定旋转中心、旋转方向及旋转角; (2)找原图形的关键点; (3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点; (4)按原图形顺次连接各关键点旋转后的对应点,得到旋转后的图形
知识点4图形的位似　轮考
图形的位似
【真题精粹·重变式】
考向1对称图形的识别
1.(2023·陕西2题3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
2.(2021·陕西2题3分)下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
　　　　　　
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
考向2图形的平移
3.已知在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(-2,1),B(1,3),将线段AB经过平移后得到线段A'B',若点A的对应点为A'(3,2),则点B的对应点B'的坐标是 .
4.如图,网格上的小正方形边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上.若△DEF是由△ABC向右平移a个单位长度,再向下平移b个单位长度得到的,则的值为 .
5.(2022·陕西19题5分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将△ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点是A'(2,3),点B,C的对应点分别是B',C'.
(1)点A,A'之间的距离是 .
(2)请在图中画出△A'B'C'.
考向3图形的旋转
6.如图,在5×5的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',A,B的对应点分别为A',B',则A,B'之间的距离为 ( )
A.2 B.5 C. D.
　　
第6题图　　　　　第7题图
7.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD',此时A'D'与CD交于点E,则DE的长度为 .
8.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'的度数为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 9.(2024·西工大附中模拟)如图,平面直角坐标系xOy在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A,B,C的坐标分别是A(-1,-2),B(-3,-1),C(-2,2). (1)把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A'B'C',画出△A'B'C',此时点A'的坐标为 .
(2)在(1)的基础上,求点B在旋转的过程中运动的路径长.
考向4图形的折叠
10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AD的中点,将△CDE沿CE翻折得△CME,点M落在四边形ABCE内.N为线段CE上的动点,过点N作NP∥EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为 .
考向5图形的位似
11.如图,△ABC与△DEF关于点O位似,相似比为1∶4,若OA=2,则OD的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
考向6利用对称解决线段最短问题
12.(2019·陕西14题3分)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6,P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为 .
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①180°　②垂直平分　③全等　④相等　⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧全等　⑨相等　⑩旋转角　全等
真题精粹·重变式
1.C　2.B　3.(6,4)　4.
5.解析:(1)4.
提示:∵A(-2,3),A'(2,3),∴点A,A'之间的距离是2-(-2)=4,故答案为4.
(2)如图,△A'B'C'即所求.
6.C　7.2-　8.B
9.解析:(1)如图,△A'B'C'为所求,此时点A'的坐标为(2,-1).
(2)∵OB==,
∴的长==π.
10.　解析:如图,作点P关于CE的对称点P'.
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线,
∴点P'在CD上.
过点M作MF⊥CD于点F,交CE于点G.
∵MN+NP=MN+NP'≥MF,
∴MN+NP的最小值为MF的长.
连接DG,DM,且DM交EC于点O.
由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线.
∵AD=CD=2,DE=1,
∴CE==.
∵CE×DO=CD×DE,
∴DO=,
∴EO==.
∵MF⊥CD,∠EDC=90°,
∴DE∥MF,
∴∠EDO=∠GMO.
∵CE为线段DM的垂直平分线,
∴DO=OM,∠DOE=∠MOG=90°,
∴△DOE≌△MOG(SAS),
∴DE=GM,
∴四边形DEMG为平行四边形.
∵∠MOG=90°,
∴四边形DEMG为菱形,
∴EG=2OE=,GM=DE=1,
∴CG=.
∵DE∥MF,即DE∥GF,
∴△CFG∽△CDE,
∴=,即=,
∴FG=,
∴MF=1+=,
∴MN+NP的最小值为.
11.C　12.2

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