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提分微专题2　全等三角形的四大模型
模型1平移型
把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形,图1,图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型三角形全等的试题中,常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1,若BE=CF,则BE+EC=CF+CE,即BC=EF;如图2,若BE=CF,则BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B,若DE=3,则BC= .
2.如图,B,E,C,F四点在同一条直线上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判断线段AC,DF的关系并证明.
模型2翻折轴对称型
将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称为翻折型全等三角形.此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等.
3.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)不添加辅助线,找出图中其他的全等三角形.
(2)求证:CF=EF.
模型3旋转型
将三角形绕公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时,如图1,涉及对顶角相等;如图2,涉及等角加(减)等角的条件.
4.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE,求证:△ABC≌△DEC.
5.如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE,求证:AD=AE.
模型4一线三等角型
如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC,则△ADB≌△CEA.
如图2,∠BAC=∠BDF=∠CEF,AB=AC,则△ADB≌△CEA.
特殊的三垂直情况:
如图3,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥AC,则△ADB≌△CEA.
6.如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别为AB,BC,AC上的点,∠DEF=60°,BD=CE,求证:BE=CF.
参考答案
1.3
2.解析:AC=DF且AC∥DF.
证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF,∠ACB=∠F,
∴AC∥DF,
∴AC=DF且AC∥DF.
3.解析:(1)题图中其他的全等三角形为△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.
(2)证明:∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,
即∠CAD=∠EAB,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS),
∴CF=EF.
4.证明:∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠ABC.
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
5.证明:∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AD=AE.
6.证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=60°.
∵∠CED=∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∴∠CEF=∠BDE.
又∵BD=CE,
∴△DBE≌△ECF(ASA),
∴BE=CF.

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