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提分微专题3　 相似三角形的六大模型
模型1 X字型
如图1,若AB∥CD,则△ABE∽△DCE;如图2,若∠A=∠D或∠B=∠C,则△ABE∽△DCE.
1.如图,点E在平行四边形ABCD的边DC上,若DE∶EC=2∶3,则△AFB与△CFE的面积之比为 .
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长.
模型2 A字型
如图1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC;如图2,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ACB.
3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在边AC上,AD=2.若点E在边AB上,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 .
4.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
模型3 子母型
如图,已知∠1=∠2,结论:△ACD ∽△ABC.
我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形,模型中由△ACD ∽△ABC进而可以得到AC2=AD·AB.
5.如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,则AC的长为 .
6.如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.
(1)求证:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
模型4双垂直型
①如图1,在△ABC中,AD为BC边上的高,这个是子母型的特殊情况,则AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD.
②如图2,在△ABC中,若BD,CE分别是AC,AB边上的高,则△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上一点,CD⊥AB.
(1)求证:AC2=AB·AD.
(2)若△ABC为任意三角形,在AB边上(不包括A,B两个顶点)是否仍存在一点D,使AC2=AB·AD 若存在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
8.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,求证:
(1)△ABC∽△ADE.
(2)BC=2DE.
9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB上一点.
(1)如图1,若CD⊥AB,求证:AC2=AD·AB.
(2)如图2,若AC=BC,H为CD上一动点,过点H作EF⊥CD交BC于点E,交AC于点F,若=,求的值.
模型5三垂直型
一线三直角是一种常见的相似模型,指的是由三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.
如图1、图2,△ACD∽△BAE.特殊地,当AB=AC时,△ACD≌△BAE.
三垂直型应用:1.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;2.图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;3.图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;4.图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型.
10.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,MN⊥AM,MN交CD于点N,连接AN.
(1)求证:△ABM∽△MCN.
(2)若AB=6,BM=2,求DN的长.
模型6一线三等角型
已知:在图1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.结论:△ABC∽△CDE.
如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,
又∵∠B=∠ACE,
∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.
图2、图3同理可证△ABC∽△CDE.
在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻看出相应的相似三角形.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.求证:
(1)△ABP∽△PCD.
(2)AB·CD=CP·BP.
12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,M,N分别是BC,AC边上的点(点M不与点B,C重合,点N不与点A,C重合),且∠1=∠B.
(1)求证:∠BAM=∠CMN.
(2)若AB=5,BC=8.
①当BM=时,MN与AB是否平行 若平行,请证明;若不平行,请说明理由.
②当△AMN为等腰三角形时,求BM的长.
参考答案
1.25∶9
2.解析:(1)证明:∵在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠DCF,
∴△ADE∽△FCE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=4,
∴AB=CD=4.
又∵△ADE∽△FCE,
∴=.
∵AD=6,CF=2,
∴=,
∴DE=3.
3.或　解析:当=时,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
此时AE=.
当=时,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ACB.
此时AE=.
综上所述,AE的长为或.
4.解析:(1)证明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
∴∠AEF+∠EAF=90°,∠GAC+∠ACG=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AEF=∠ACG.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴=.
∵AD=BE=4,AE=3,
∴AB=BE+AE=4+3=7,
∴=,
解得AC=,
∴CD=AC-AD=-4=.
5.
6.解析:(1)证明:∵AB=4,BC=8,BD=2,
∴=.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,如图所示,易得∠BAD=∠C,∠B=∠EDC,则△ABD∽△CDE,
∴=,
即=,
解得DE=3.
7.解析:(1)证明:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AB·AD.
(2)存在.
证明:如图,过点C作∠ACD=∠B交AB于点D,
则AC2=AB·AD.
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AB·AD.
8.证明:(1)易得△ABD∽△ACE,
∴=.
又∵∠A=60°,∴∠ABD=30°,
∴==.
又∵∠A为公共角,
∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知,==,
∴BC=2DE.
9.解析:(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠ACB=90°.
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AD·AB.
(2)如图,过点A作AM⊥AC交直线CD于点M,易证△ADM∽△BDC,===tan∠ACD=.
又∵tan∠ACH==,∴CH=2HF.
又∵∠ACH=∠FEC,
∴tan∠FEC=tan∠ACD==,
∴EH=2CH,
∴EH=4HF,
∴=.
10.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,MN⊥AM,
∴∠B=∠C=∠AMN=90°,AB=BC=CD,
∴∠AMB+∠CMN=90°,∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠AMB=∠MNC,
∴△ABM∽△MCN.
(2)由(1)可知△ABM∽△MCN,
∴=.
∵AB=BC=6,BM=2,
∴CM=4,
∴=,
∴CN=,
∴DN=6-=.
11.证明:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
(2)∵△ABP∽△PCD,∴=,
∴AB·CD=CP·BP.
12.解析:(1)证明:∵∠AMB=∠C+∠MAN,∠MNC=∠1+∠MAN,∠B=∠C=∠1,
∴∠AMB=∠MNC,∴∠BAM=∠CMN.
(2)①MN∥AB.
证明:∵===,∠B=∠B,
∴△ABM∽△CBA,
∴∠BAM=∠C=∠1,∴MN∥AB.
②当AM=AN时,∠1=∠MNA,
∴点N与点C重合,∠1=∠B,不合题意,应舍去;
当MA=MN时,△ABM≌△MCN,AB=MC=5,
∴BM=BC-MC=3;
当AN=MN时,∠NAM=∠1=∠B=∠C,
∴△ABC∽△MCA,
∴=,∴MC=,∴BM=BC-MC=.
综上所述,当△AMN是等腰三角形时,BM的长为3或.

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