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第2节　特殊的平行四边形
(6年6考,6~10分)
　　本节内容每年均会考查.考查矩形的判定及性质.利用菱形的性质求角度、线段比值及关系、线段长.正方形考查的是正方形与圆结合求最值、正方形与平行四边形结合求线段长、正方形与全等三角形的判定及性质结合、正方形中的线段或面积最值、面积等分等.
【回归教材·过基础】
【知识体系】
【知识清单】
知识点1特殊四边形的定义及性质　常考
特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
图形
性质 边 对边① 对边相等且平行 四条边② , 对边③ 四条边相等,对边平行
角 两组对角分别相等 四个角④ (都是直角) 两组对角分别相等 四个角相等(都是直角)
对角线 互相平分 互相平分且相等 互相⑤ , 平分⑥ 互相平分且垂直、相等, 平分一组对角
对 称 性 中心对称图形 既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 既是中心对称图形,也是轴对称图形有4条对称轴
对称中心为对角线交点
周长 C=2(a+b) C=2(a+b) C=4a C=4a
面积 S=ah S=ab S=ah=mn S=a2=m2
知识点2特殊四边形之间的关系　常考
知识点3中点四边形　轮考
温馨提示:(1)判断一个四边形的中点四边形状的关键是判断其两条对角线的位置和数量关系;
(2)中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和;
(3)中点四边形的面积是原四边形面积的一半.
【真题精粹·重变式】
考向1矩形的性质与判定
1.(2022·陕西4题3分)在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,O是矩形的对称中心,点E,F分别在边AD,BC上,连接OE,OF.若AE=BF=2,则 OE+OF 的值为 ( )
A.2 B.5 C. D.2
　　
第2题图　　　　　第3题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过矩形的对称中心O的直线EF分别与AD,BC交于点E,F,且FC=2.若H为OE的中点,连接BH并延长与AD交于点G,则BG的长为 ( )
A.8 B. C.3 D.2
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE交AE于点F,则BF的长为( )
A. B. C. D.
考向2菱形的性质与判定
5.(2023·陕西11题3分)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 .
6.(2020·陕西14题3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
　　
第6题图　　　　　第7题图
7.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,D(P,D两点不重合)两点间的最短距离为 .
8.如图,O为菱形ABCD的对称中心,AB=4,∠BAD=120°.若点E,F分别在AB,BC边上,连接OE,OF,则OE+OF的最小值为 .
9.如图,在菱形ABCD中,E是边AD上一点,延长AB至点F,使得BF=AE,连接BE,CF.求证:BE=CF.
10.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,则菱形ABCD的面积是 .
考向3正方形的性质与判定
11.(2024·陕西7题3分)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H.若AB=6,CE=2,则DH的长为 ( )
A.2 B.3 C. D.
　　
第11题图　　　　　第12题图
12.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理,标志着中国古代的数学成就.如图,这个“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的,其中直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCD的面积为 .
13.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD,CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证:AG=CG.
14.【原创好题】如图,在正方形ABCD 中,分别以BC,CD为斜边,向外侧作等腰直角三角形△BEC和△CFD,连接DE,则sin∠DEF的值为 .
【核心突破·拓思维】
题型1矩形的性质与判定
如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.
题型2菱形的性质与判定
如图,在菱形ABCD中,E是边AB的中点,F是边AD上一点,连接CE,CF,CE⊥AB,CF⊥AD.
(1)求证:CE=CF.
(2)若AE=2,求CE的长.
1.如图,在四边形ABCD中,BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形.
(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC,求∠CED的大小.
　　
图1　　　　　　　　图2
题型3正方形的性质与判定
如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.
(1)求证:△FMN≌△ABE.
(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.
2.如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
参考答案
回归教材·过基础
知识清单
①相等且平行　②相等　③平行　④相等　⑤平分且垂直　⑥一组对角　⑦平行四边形　⑧菱形　⑨矩形　⑩正方形　菱形　矩形　正方形
真题精粹·重变式
1.D　2.D　3.D　4.B　5.62°　6.2　7.2-2
8.2
9.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AD∥BC,
∴∠A=∠CBF.
又∵AE=BF,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴BE=CF.
10.2
11.B　12.49
13.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADF=∠CDE,AD=CD.
∵AE=CF,∴DE=DF,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠DAF=∠DCE.
又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,
∴△AGE≌△CGF(AAS),
∴AG=CG.
14.
核心突破·拓思维
例1　证明:∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,AD=CD.
∵四边形ABED是平行四边形,
∴BE∥AD,BE=AD,
∴BE=CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
∴四边形BECD是矩形.
例2　解析:(1)证明:∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠BEC=∠DFC=90°.∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,BC=CD,
∴△BEC≌△DFC(AAS),
∴CE=CF.
(2)如图,连接AC.
∵E是边AB的中点,CE⊥AB,
∴BC=AC.
又由四边形ABCD为菱形,得BC=AB,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠EAC=60°.
在Rt△AEC中,AE=2,
∴CE=AEtan 60°=2.
变式设问　1.解析:(1)证
图1
明:如图1,设BD与CE相交于点O,∵DC=BC,CE⊥BD,
∴DO=BO.
∵DE∥BC,
∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,
∴△ODE≌△OBC(AAS),∴DE=BC,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∵CE⊥BD,
图2
∴四边形BCDE为菱形.
(2)如图2,由(1)可知,BO=DO,
∴CE垂直平分BD,
∴BE=DE.
∵BO=DO,
∴∠BEO=∠CED.
∵DE垂直平分AC,设AC与DE相交于点G,
∴AE=CE.
∵EG⊥AC,∴∠AEG=∠CED=∠BEO.
∵∠AEG+∠CED+∠BEO=180°,
∴∠CED=60°.
例3　解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AD=DC=CB=AB,∠A=∠D=∠C=90°,BC∥AD,AB∥DC.
∵MF∥AD,∠A=∠D=90°,AB∥DC,
∴四边形ADFM是矩形,
∴AD=MF,∠AMF=∠MFD=90°,
∴∠BMF=∠NFM=90°,∴∠BMO+∠OMF=90°,AB=AD=MF.
∵MN是BE的垂直平分线,
∴MN⊥BE,
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO,
∴∠MBO=∠OMF.
在△FMN和△ABE中,
∴△FMN≌△ABE(ASA).
(2) 如图,连接ME.
∵AB=8,AE=6,
∴在Rt△ABE中,BE===10.
∵△ABE≌△FMN,∴MN=BE=10.
∵MN是BE的垂直平分线,
∴BO=OE=BE=5,BM=ME,
∴AM=AB-BM=8-ME.
在Rt△AME中,AM2+AE2=ME2,
∴(8-ME)2+62=ME2,解得ME=,
∴BM=ME=.
在Rt△BMO中,MO2=BM2-BO2,
∴MO===,
∴ON=MN-MO=10-=.
变式设问　2.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如图,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,AB=3,
∴AC=BD==6,AC⊥BD.
∵BE=DF=2,
∴EF=6-2-2=2,
∴S四边形AECF=S△AEF+S△CEF=EF·AC =×2×6=6.

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