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专题三　圆的证明与计算
题型1　以圆的性质为背景的证明与计算
圆的证明与计算每年解答题考查1道,分值为8分.主要结合的知识点:①相似三角形;②锐角三角函数;③全等三角形;④特殊四边形的判定.
1.如图,AB是☉O的直径,以AB为腰作等腰△ABC,底边BC交☉O于点D,连接AD,延长CA交☉O于点E,连接BE,DE.
(1)求证:∠CAD=∠BED.
(2)若BD=20,tan∠BDE=,求☉O的半径.
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ADC=90°.连接BD,作CF⊥BD,分别交BD,☉O于点E,F,连接BF,交AC于点M,AB=BC.
(1)求证:BF∥CD.
(2)当AD+CD=5时,求线段BD的长.
题型2　以切线性质为背景的证明与计算
3.(2024·交大附中模拟)如图,☉O是△ABC的外接圆,AC是☉O的直径,D是OA的中点.DE⊥AC交CB的延长线于点E,交AB于点F,G是DE上的一点,且BG与☉O相切于点B.
(1)求证:∠GBF=∠C.
(2)若tan∠CED=,AD=4,求FG的长.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以CD为直径作☉O,与AC,BC分别交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G.
(1)求证:FG⊥AB.
(2)若☉O的半径是,cos∠ACD=,求FG的长.
5.如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证:DB=DE.
(2)若AB=12,BD=5,求AC的长.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E.
(1)求证:EC=ED.
(2)若DC=DE=6,求图中阴影部分的面积.
7.(2024·新城区模拟)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,D为☉O上一点,过点D作☉O的切线分别交AB,AC的延长线于点E,F,且BC∥EF,连接AD.
(1)求证:∠BAD=∠CAD.
(2)若AB=3,AC=3,求CF的长.
8.如图,在△ABC中,AC=BC,☉O是△ABC的外接圆,过点B作☉O的切线BD,连接AD交BC于点E,交☉O于点F,连接BF.
(1)求证:∠FBD=∠FAB.
(2)若AE⊥BC,AC=6,=,求DF的长.
题型3　切线的判定及其应用
9.(2024·西工大附中模拟)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求证:EF与☉O相切.
(2)若BF=,sin∠AFE=,求BC的长.
10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,点O在BC上,以点O为圆心,OB为半径的圆恰好经过点D,交AB于点E.
(1)求证:AC是☉O的切线.
(2)若OB=5,CD=4,求AE的长.
11.如图,C是以AB为直径的☉O上的一点,过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D,取AD的中点E,连接EC并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是☉O的切线.
(2)若CF=12,BF=8,求tan D的值.
12.(2024·铁一中模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点,连接CD,∠A=2∠BCD.
(1)求证:AB为☉O的切线.
(2)若tan A=,☉O的半径为2,求AB的长.
参考答案
1.解析:(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD,BD=CD.
∵∠BED=∠BAD,∴∠CAD=∠BED.
(2)∵∠BDE=∠BAE,
∴tan∠BDE=tan∠BAE=.
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∴=.
设AE=7x,则BE=24x,
∴AB==25x,
∴AC=AB=25x,∴CE=AC+AE=32x.
∵BD=CD,BD=20,∴BC=2BD=40.
在Rt△BCE中,BC2=CE2+BE2,
∴402=(32x)2+(24x)2,解得x=1(负值已舍去),
∴AB=25,∴☉O的半径为.
2.解析:(1)证明:∵AB=BC,
∴=.
∵∠ADC=90°,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∵CF⊥BD,∴∠DEC=90°,
∴∠DCF=45°.
又∵∠F=∠BDC=45°,
∴∠F=∠DCF=45°,
∴BF∥CD.
(2)如图,延长AD至点N,使得DN=DC,连接NC.
∵∠ADC=90°,DN=DC,
∴∠N=∠DCN=45°,
∴sin N==.
∵AD+CD=5,
∴AD+DN=AN=5.
∵∠DAC=∠DBC,∠N=∠BDC=45°,
∴△NAC∽△DBC,
∴=,
即==,
解得BD=5,
∴线段BD的长为5.
3.解析:
(1)证明:如图,连接OB,则OB=OC,
∴∠C=∠OBC.
∵BG与☉O相切于点B,
∴BG⊥OB.
∵AC是☉O的直径,
∴∠OBG=∠ABC=90°,
∴∠GBF=∠OBC=90°-∠OBF,
∴∠GBF=∠C.
(2)∵D是OA的中点,AD=4,
∴OD=AD=4,∴OC=OA=2AD=8,
∴CD=OD+OC=4+8=12.
∵DE⊥AC,∴∠ADF=∠CDE=90°,
∴=tan∠CED=,
∴ED=CD=×12=16.
∵∠A=∠CED=90°-∠C,
∴=tan A=tan∠CED=,
∴FD=AD=×4=3,
∴EF=ED-FD=16-3=13.
∵∠FBE=∠CDE=90°,
∴∠GFB=∠C=90°-∠E.
由(1)得∠GBF=∠C,
∴∠GFB=∠GBF,∴FG=BG.
∵∠E+∠GFB=90°,∠GBE+∠GBF=90°,
∴∠E=∠GBE,∴EG=BG,
∴FG=EG=EF=×13=,
∴FG的长为.
4.解析:(1)证明:如图,连接OF,DF.
∵∠ACB=90°,AD=DB,
∴DC=DB=DA.
∵CD是☉O的直径,
∴∠CFD=90°,即DF⊥BC,
∴CF=FB.
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF是△CDB的中位线,
∴OF∥BD,
∴∠OFC=∠B.
∵FG是☉O的切线,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴∠FGB=90°,
∴FG⊥AB.
(2)在Rt△ABC中,
∵D是AB的中点,CD=5,
∴AD=BD=5,
∴AB=10.
∵cos∠ACD=cos∠CAD==,
∴AC=10×=6,
∴BC===8.
∵CD是☉O的直径,
∴∠CFD=90°,∴BF=CF=BC=4,
∴DF===3,
∴S△BDF=DF·BF=BD·FG,
∴FG===.
5.解析:(1)证明:∵BD为☉O的切线,
∴OB⊥BD,
∴∠OBD=90°,即∠OBE+∠DBE=90°.
∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=90°.
又∵OA=OB,∴∠A=∠OBE,
∴∠OBE+∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠DBE.
∵∠AEC=∠DEB,
∴∠DEB=∠DBE,
∴DB=DE.
(2)如图,作DF⊥AB于点F.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE=AB=6.
∵DB=DE,DF⊥AB,
∴BF=EF=BE=3,
∴DF==4.
∵EC⊥OA,DF⊥AB,
∴∠ACE=∠DFB=90°.
∵∠AEC=∠DBE,
∴△ACE∽△DFB,
∴=,即=,
解得AC=.
6.解析:(1)证明:如图,连接OD,BD.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°.又∵∠ABC=90°,
∴BC是☉O的切线.
∵DE是☉O的切线,
∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°,
∴∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠CDE=90°,
∴∠C=∠EDC,∴ED=CE.
(2)在Rt△BCD中,
∵DC=DE=BE=CE=6,
∴△CDE是等边三角形,BC=12,
∴∠C=60°.
∵∠ABC=90°,∴∠A=30°,
∴AB=BC=12 ,
∴OA=OD=6 ,
∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠BOD=60°,
∴图中阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形DOB
=6×6 -
=36 -18π.
7.解析:
(1)证明:如图,连接OD.
∵EF是☉O的切线,BC∥EF,
∴∠EDO=∠COD=90°,
∴∠BOD=∠COD=90°,
∴=,∴∠BAD=∠CAD.
(2)如图,连接DO并延长,交AC于点G.
∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°.
∵AB=3,AC=3,
∴BC==6,∴OB=OC=OD=3.
∵∠GOC=∠BAC,∠GCO=∠BCA,
∴△GCO∽△BCA,∴==,
∴==,
∴GO=,GC=2.
∵BC∥EF,∴=,∴=,∴CF=6.
8.解析:(1)证明:如图,连接BO,延长BO与☉O交于点G,连接GF.
∵BD是☉O的切线,
∴∠OBD=90°.
∵BG为☉O的直径,
∴∠BFG=90°,
∴∠G+∠GBF=∠GBF+∠DBF=90°,
∴∠FBD=∠G.
∵∠G=∠FAB,∴∠FAB=∠FBD.
(2)∵AC=BC=6,=,
∴CE=2,BE=4.
∵AE⊥BC,
∴AE==4 .
∵∠C=∠BFE,∠CAE=∠FBE,
∴△ACE∽△BFE,∴=,
即=,解得EF=.
设DF=x,
∵DB是☉O的切线,∠FAB=∠FBD,∠D=∠D,
∴△BDF∽△ADB,
∴=,∴BD2=DF·DA.
∵BD2=DE2+BE2=(x+)2+42,
∴(x+)2+42=x(x+4 +),
解得x=3 ,
即DF=3 .
9.解析:
(1)证明:如图,连接OE.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE.
又∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE,
∴∠OEF=∠ACB=90°,即OE⊥EF.
∵OE是半径,∴EF是☉O的切线.
(2)设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+.
在Rt△EOF中,sin∠AFE===,
∴r=4,∴AB=2r=8.
在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,AB=8,
∴AC=×8=,
∴BC==.
10.解析:
图1
(1)证明:如图1,连接OD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵OB=OD,
∴∠DBC=∠BDO,
∴∠ABD=∠BDO,∴AB∥DO,
∴∠ODC=∠A=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴AC是☉O的切线.
(2)如图2,过点O作OG⊥AB,垂足为G,
∴BG=GE,∠BGO=∠AGO=90°.
∵∠A=∠ODA=∠AGO=90°,
∴四边形AGOD是矩形,∴AG=OD=OB=5.
在Rt△ODC中,OD=5,DC=4,
∴OC===.
∵AB∥OD,∴∠ABC=∠DOC.
∵∠BGO=∠ODC=90°,∴△BGO∽△ODC,
图2
∴=,即=,
解得BG=,
∴GE=BG=,
∴AE=AG-GE=5-,
∴AE的长为5-.
11.解析:(1)证明:如图,连接OC,EO.
∵DA是☉O的切线,∴∠A=90°.
∵E为AD的中点,O为AB的中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴OE∥BD,
∴∠AOE=∠ABD,∠EOC=∠OCB.
∵OB=OC,
∴∠ABD=∠OCB,∴∠AOE=∠COE.
在△AOE和△COE中,
∴△AOE≌△COE(SAS),
∴∠A=∠OCE=90°,∴OC⊥EF.
∵OC为☉O的半径,∴EF是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为r,则OC=r,OF=r+8.
在Rt△OCF中,OC2+CF2=OF2,
则r2+122=(r+8)2,解得r=5.
∵∠F=∠F,∠OCF=∠EAF=90°,
∴△OCF∽△EAF,
∴=,即=,
解得AE=.
∵E为AD的中点,∴AD=15,
∴tan D===.
12.解析:
(1)证明:如图,连接OD.
∵☉O经过C,D两点,
∴OC=OD,
∴∠ODC=∠BCD,
∴∠BOD=∠ODC+∠BCD=2∠BCD.
∵∠A=2∠BCD,∴∠BOD=∠A.
在△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥AB.
∵OD为☉O的半径,∴AB为☉O的切线.
(2)由(1)得∠BOD=∠A,∠ODB=90°.
∵tan A=,∴tan∠BOD=.
在Rt△BOD中,tan∠BOD==.
∵☉O的半径为2,∴OD=OC=2,
∴=,∴BD=.
在Rt△BOD中,OD=2,BD=,
∴OB==,
∴BC=OB+OC=+2=.
在Rt△ABC中,tan A==,
∴AC=BC=×=4.
在Rt△ABC中,BC=,AC=4,
∴AB==.

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