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专题五　综合与实践
题型1　几何图形等分问题探究
类型1　等分三角形面积
【原创】(1)如图1,过△ABC的顶点A作一条直线,等分这个三角形的面积,并说明理由.
图1
(2)如图2,若D为△ABC边AC上任意一点,过点D作一条直线,等分这个三角形的面积,并说明理由.
图2
　　过三角形上任意一点等分该图形面积的两个关键步骤
(1)过哪一点就以哪一点为顶点构造三角形;
(2)构造三角形的过程中通过构造平行线的方式,借助“同底等高”进行面积转化.
类型2　等分四边形面积
【原创好题】如图,M为平行四边形ABCD内任意一点,过点M作一条直线,将平行四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.
解题指南　
1.问题探究
(1)请在图1中作出两条直线,使它们将圆的面积四等分.
(2)如图2,M是正方形ABCD内一定点,请在图2中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.
图1　　　　图2
问题解决
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分 若存在,求出BQ的长;若不存在,请说明理由.
图3
如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,S△ADC>S△ABC,过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线 若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,请说明理由.
解题指南　第一步,连接AC,将四边形ABCD看作两个三角形的组合.
第二步,将四边形转换为三角形,进行面积分割,具体操作步骤如下:
①过点B作AC的平行线,与DC的延长线交于点E,连接AE,根据“同底等高”可以得到S△ABC=S△AEC;②等面积转换:S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
第三步,将四边形ABCD的面积转化为△AED的面积之后,寻找中点平分即可.
2.【原创好题】如图,若P为四边形ABCD边AD上的任意一点(不与点A,D重合),过点P作一条直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.
　　以特殊四边形为背景的面积平分问题的三点注意事项
　　(1)平分面积本质就是抓住图形的“中心对称性”;
(2)过任意一点平分特殊四边形面积时,只需找出该四边形的对称中心;
(3)连接任意点与对称中心的直线则平分特殊四边形,其证明思路就是运用全等进行等面积转换.
类型3　面积、周长等分问题
【原创】如图,△ABC的面积为16,周长为20,sin B=,能否在AB上找一点E,在BC上找一点F,使得线段EF既平分△ABC的面积,又平分△ABC的周长 若存在,请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由.
(2024·交大附中模拟)【问题引出】
(1)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=8,若D为AC边上一点,BD平分△ABC的面积,则BD的长为 .
【问题延伸】
(2)如图2,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点D在BC边上,且BD=1,若P为AC边上一点,DP平分△ABC的面积,求AP的长.
【问题拓展】
(3)如图3,四边形OABC在平面直角坐标系中,点A,B在第一象限,点C在x轴上,已知∠AOC=60°,∠OAB=150°.∠ABC=120°.OA=2,OC=10.若P为OC边上一点.且BP平分四边形OABC的面积,求点P的坐标.
(2024·铁一中模拟节选)拓展应用:如图,某公园的一块空地由三条道路围成,即线段AB,BC,.已知AB=160 m,BC=120 m,∠ABC=90°,的圆心在AB边上,现规划在空地上种植草坪,并从的中点P修一条直路PM(点M在AB上).是否存在PM,使PM平分该空地的面积 若存在,求出此时AM的长;若不存在,请说明理由.
　　等分周长、面积问题的解题思路与步骤
整体思路:先假设,再计算,后验证,若方程有解,则成立;若方程无解,则不成立.
(1)借助平分周长,设出未知数x,用含有x的式子表示出“半周长”;
(2)借助平分面积,用含有x的式子表示出“半面积”图形的面积关系式,此时一定要注意“高”的表示,可借助三角函数、相似三角形等知识进行代数式表示;
(3)构造方程求解即可.
题型2　借助函数思想解决几何问题
类型1　与线段相关问题
函数思想解决几何问题.
第一步:利用动点引入参数.
第二步:用参数表示相关线段长度.
第三步:利用几何方法构建代数关系(勾股定理、相似、三角函数),表示目标线段.
第四步:利用函数性质求最值(注意参数的取值范围)
【原创】如图,在平面直角坐标中,点A(6,0),以OA为边作四边形OABC,AB=BC,在边OA上有一点M,且点M到四边形OABC的四个顶点距离相等.设AB=m,四边形OABC的周长为n,请写出n与m之间的函数关系式,并探究n是否存在最大值
解题指南　1.连接MC,MB,引出“辅助圆”.
2.连接AC与BM交于点D,并过点M作MN⊥AB,借助圆的相关性质及相似三角形找出DM与m的关系.
3.运用OC与DM的关系求出m与n的关系式,并借助二次函数求最值.
如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(1,0),C(4,0),D为线段BC上的动点,以AD为边向右侧作正方形ADEF,连接CF,交DE于点求,求CP的最大值.
类型2　与面积相关问题
(2024·新城区期中节选)某公园内有一块梯形空地ABCD,如图所示,现计划在该空地中种植花草,已知AD∥BC,点E,F,P分别在边AB,CD,BC上,点A到BC的距离为20 m,AD=15 m,∠ABC=45°,∠DCB=75°,PF=PC,EP⊥BC.根据设计要求,需要在△EFP区域内种植120元/m2的花卉,其余区域内种植草坪,为提高花卉区域的观赏范围,需将△EFP的面积设计得尽可能大.试问△EFP的面积是否存在最大值 若存在,求此时种植花卉的总费用;若不存在,请说明理由.(参考数据:tan 75°≈4)
解题指南　(1)过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC于点N,设BP=x.
(2)说明∠EPF=60°,过点E作EG⊥PF于点G,由△EBP与△EPF的特殊性质说明EP与PF的数量关系.
(3)借助三角形面积公式用含有x的式子表示出△EFP的面积,最后由二次函数的性质可得最值.
问题解决
某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图,现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800米,BC=1 200米,CD=600米,AE=900米.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小,请问是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN 若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由.
如图,某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮,其中∠A=∠B=90°,AD=8 dm,AB=20 dm,BC=24 dm.为节约资源,现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG(阴影部分)备用,点E,F,G分别在AB,CD,BC上.设矩形铁皮的边FG=x(dm),矩形BEFG的面积为S,求出S与x之间的函数关系式,并求矩形BEFG面积的最大值.
解题指南　(1)过点D作DH⊥BC,与EF交于点M,用含x的式子表示出DM的长度.
(2)利用△DMF与△DHC相似,找出EF与x之间的函数关系式.
(3)利用矩形面积公式列出S与x之间的二次函数关系式,并求最值.
王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60 cm的正方形板子;另一块是上底为30 cm,下底为120 cm,高为60 cm的直角梯形板子(如图1).王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCFE(如图2).由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以B为一个顶点.
(1)求FC的长.
(2)利用图2求出当矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(单位:cm)为多少时,矩形的面积y(单位:cm2)最大,最大面积是多少
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长.
图1　　　　　　图2
　　内接矩形求面积问题的核心思路口诀
遇见平行想相似,
相似比例要运用,
对应边高也成比,
函数关系来构造,
最值增减性来套.
题型3　构造辅助圆解决实际问题
类型1　探究特殊角存在问题
【原创】已知线段AB=a,根据要求作点M的轨迹,使得∠AMB满足相对应的角.
(1)当∠AMB=30°时,找出点M的弧形轨迹,并求出点M轨迹所对应的圆的半径.
(2)当∠AMB=45°时,找出点M的弧形轨迹,并求出点M轨迹所对应的圆的半径.
解题指南　(1)任意作出一个∠AMB,使得∠AMB满足对应的度数.
(2)作△AMB的外接圆,即为点M满足的轨迹.
(3)确定其圆心为O,连接OA,OB,结合△OAB的形状特征,进行半径计算.
如图,某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米.为了能够监控到礼堂的内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°.请你通过所学知识进行分析,在墙面CD区域内是否存在满足要求的点M 若存在,画出点M的示意图,并求出MC的长度;若不存在,请说明理由.
　　探究特殊角顶点轨迹的步骤
(1)找准特殊角所对的边;
(2)以此边为突破口,通过构造特殊三角形(如等腰直角三角形,等边三角形);
(3)作三角形的外接圆,或者通过以特殊三角形中特殊角的顶点为圆心,三角形的腰长为半径构造圆;
(4)利用圆周角定理及其推论找出特殊角,进而根据所作圆推断出特殊角顶点的轨迹弧即可.
类型2　利用圆的定义构造辅助圆求距离最值问题
如图,A为圆外一点,在圆上找一点P,使得PA最小.
圆的定义:平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.
构造思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是圆或圆弧.
【原创好题】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,E,F分别是AC和BD上的动点,且EF=6,P为EF的中点.已知AC=16,BD=12,连接BP,CP,求△BPC面积的最大值与最小值.
解题指南　探究△BPC面积的最值时,先找出点P的运动轨迹,具体操作步骤如下:
(1)在菱形ABCD中,对角线AC,BD的关系为垂直,即∠AOB=90°.
(2)在△EOF中,P为EF的中点,且EF的长度一定,连接OP,则OP=EF,由于点P随着EF的运动而运动,且点P到点O的距离始终为定值,则点P的轨迹为以O为圆心,以3为半径的圆.
(3)探究△BPC面积的最值时,只需考虑点P所在的圆上的点到BC的距离的最值即可.
如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=6,点E,F分别在边BC,CD上,且线段EF=2,G是EF的中点,连接BG并延长交CD于点H,过点G作CD的平行线交BD于点I,连接HI,则△BHI的面积是否存在最小值 若存在,求出△BHI面积的最小值;若不存在,请说明理由.
　　构造辅助圆求距离最值问题的思路与方法
(1)利用圆的定义构造辅助圆思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则该动点轨迹是圆或圆弧;
(2)点、圆距离最值:如图1,Q是☉O上的一个动点,则圆外一点P到圆上的最小距离是PQ1,最大距离是PQ2,其中P,O,Q1,Q2四点共线;
(3)线、圆距离最值:如图2,P为☉O上的任意一点,直线l为☉O外一条直线,过点P作PQ⊥l于点Q,则PQ的最大值为P1Q,PQ的最小值为P2Q.
　
图1　　　　　　　图2
类型3　利用“定边定角”探究几何最值问题
解题原理:定边所对角为定角等价于同弧(等弧)所对圆周角相等.
AB为定值,∠P为定角,则点P的轨迹是一个圆弧.
第一步,找三角形外接圆,确定圆心位置.
常见特殊角找圆心:比如30°,45°,60°,120°.
第二步,确定最值类型,以圆心为参照,解决最值相关问题.
方向一:过圆心作垂直(面积相关).
方向二:连圆心(线段相关).
【原创好题】如图,在△ABC中,顶角∠A=α,BC=a,则△ABC的最大面积为多少
解题指南　第一步,作△ABC的外接圆,并记圆心为点O;
第二步,过圆心O作BC的垂线,该垂线与交于点A',则A'B=A'C;
第三步,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,连接OA,根据点到直线的距离最短可以得到A'D=OA'+OD=OA+OD≥AE;
第四步,结合圆心角与圆周角的关系可知,∠BOC=2∠BA'C=2∠BAC,∠BOC=2∠BOD=2∠COD;
第五步,根据垂径定理可知,BD=CD=BC=a,结合直角三角形的边角关系可知,在Rt△BOD中,OD==,OB==;
第六步,根据三角形面积公式计算.
【原创好题】(1)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=a,则Rt△ABC的最大周长为多少
(2)如图2,在△ABC中,∠A=2α,BC=a,则△ABC的最大周长为多少
　　图1 　　　　　图2
如图,在△ABC中,∠BAC=60°,BC边上的中线AD=6,求△ABC面积的最大值.
解题指南　(1)延长AD至点T,使得AD=DT,又BD=CD,证得四边形ABTC是平行四边形.
(2)由AC∥BT,∠BAC=60°,得∠ABT=120°.
(3)由AT=12,∠ABT=120°,即AT为定长,∠ABT为定值,得点B的轨迹为圆.
(4)利用定边定角求最值.
如图,在等边△ABC中,AB=6,M,N分别为BC,AC上的动点,且BM=CN,连接AM和BN交于点P,求出△APB面积的最大值,并说明理由.
园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏.如图,在平行四边形ABCD中,E为AD边上一点,且DE=3AE,∠BEC=60°,AB=6米.为了种植更多的鲜花,要求四边形ABCD的面积尽可能大.请问四边形ABCD的面积是否存在最大值 如果存在,求出四边形ABCD面积的最大值;如果不存在,请说明理由.
(2024·西安莲湖区模拟)如图,有一个矩形水池ABCD,BC=30 m,AB=20 m.设计者想把水池分为四部分,分别是△AED,△CED,△BEC,△AEB,G为BC上的任意一点,点E在AG上,且BF⊥AG,BF=2EF,若△CED区域养鱼,其他区域养虾.已知养鱼的费用为1 000元/m2,养虾的费用为800元/m2,请问花费的最少费用是多少
类型4　利用“定高定角”探究几何最值问题
在解决某类面积最值问题时,通过旋转、平移等变换将问题转换为某三角形面积最小,可以发现三角形中:有定角和定角所对边上的高为定值时,可考虑引入圆,找三角形的外接圆,利用半径+边心距的距离与高之间的关系可求出半径最小,如图,∠BAC=45°,由AO+OE≥AD,得R+≥AD,可求得半径最小,通过三角形三边关系可求底边最小.
解决问题:求边最小,面积最小,周长最小.
【原创好题】如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠BAC=α,AD=h,探究△ABC面积的最小值.
解题指南　(1)S△ABC=BC·AD,其中AD为定值,要探究△ABC面积的最小值,只需探究BC的最小值.
(2)作△ABC的外接圆O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC,根据圆周角与圆心角的关系可以得到∠BOE=∠COE=∠BOC,∠BAC=∠BOC.
(3)设圆O的半径为R,则在Rt△BOE中,OE=R·cos α,BE=R·sin α,此时BC=2BE=2R·sin α.
(4)根据垂线段最短可知,OA+OE≥AD,进而有R+R·cos α≥h,解得R≥.
(5)根据半径R的最小值,得出BC的最小值,最后计算△ABC面积的最小值即可.
(2024·铁一中模拟节选)如图,矩形ABCD是某农业观光园的部分平面示意图,AB=50,AD=80,AB边上的点E为休息区,且AE=20,三条观光小路EG,EF,FG(小路宽度不计,F在AD边上,G在BC边上)拟将这个园区分成四个区域,用来种植不同的蔬菜,根据实际需要,∠FEG=60°,并且要求△EFG的面积尽可能小,是否存在满足条件的△EFG 若存在,求出△EFG的面积的最小值;若不存在,请说明理由.
1.如图,正方形ABCD是绿地公园的一块空地,其边长为100米.公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地,准备将空地中的四边形BEDF部分作为儿童活动区,并用围栏挡起来,只留三个出入口,即点D,点E,点F,而且根据实际需要,要使得∠EDF=45°,并将儿童活动区(即四边形BEDF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地,儿童活动区之外的部分种植花草.请问是否存在一种设计方案,使得儿童活动区的面积最大 若存在,请求出儿童活动区面积的最大值;若不存在,请说明理由.
2.某观光景区准备在景区内设计修建一个全民健身区.如图,△ABC为全民健身区的大致示意图,并将全民健身区分成△BED,△DFC和四边形AEDF三部分,其中在△BED和△DFC两区修建室外大型器材健身区,在四边形AEDF区域修建室内健身休闲区.根据设计要求,∠BAC=60°,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且DE=DF,∠EDF=120°,四边形AEDF的面积为200平方米.为了节约修建成本,全民健身区△ABC的面积是否存在最小值 若存在,请求出△ABC面积的最小值;若不存在,请说明理由.
类型5　探究最大张角问题
在某动点问题中,且动点在直线上运动时,从动点上观测某定长线段的角度会发生变化,因此存在角度最大问题,或三角函数值最值问题,可考虑引入圆,利用当△ABP的外接圆与动点所在直线相切时,切点处观测的角度最大,最大张角分为三类:①平行类;②垂直类→陕西15年25题;③斜交类.
问题解决:角度最大,余弦值最小,正弦值最大.
【原创好题】问题提出
(1)如图1,在☉O中,直线l过☉O,P1,P2,P3分别为直线l上三点,P2为l与☉O的交点,AB为☉O的弦,求证:∠AP1B<∠AP2B<∠AP3B.
问题探究
(2)如图2,若AB是☉O中的定弦,直线l是☉O的切线,求证:切点P是直线l上满足∠APB度数最大的唯一点.
图1
图2
解题指南　在角度比较过程中,要注意寻找“中间角”当作媒介进行比较.
第(1)问中,以圆周角∠AP2B当作媒介进行比较,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及圆周定理可以得知∠AP3B>∠AP2B,∠AP2B>∠AP1B.
第(2)问中,在直线l上任取一点P',然后对比切点P与弦AB所形成的角即可,这一过程也是利用圆周角作为“中间角”进行比对的.
问题发现
(1)如图1,点A和点B均在☉O上,且∠AOB=90°,点P和点Q均在射线AM上,若∠APB=45°,则点P与☉O的位置关系是　　　　;若∠AQB<45°,则点Q与☉O的位置关系是　　　　.
问题解决
如图2,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC,∠DAB=135°,且AB=1,AD=2,P是BC边上任意一点.
(2)当∠APD=45°时,求BP的长.
(3)是否存在点P,使得∠APD最大 若存在,请说明理由,并求出BP的长;若不存在,也请说明理由.
解题指南　(1)根据圆周角与圆心角的关系即可判断.
(2)构造斜边为AD的等腰直角三角形AOD,以O为圆心,OA为半径作☉O交BC于点P,P',易知∠APD=∠AP'D=45°.求出BP'和BP的长即可解决问题.
(3)作线段AD的垂直平分线,交AD于点E,交BC于点F,点O在EF上,以OA的长为半径作☉O,当☉O与BC相切于点P时,∠APD最大,求出此时BP的值即可.
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小 若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.
2.如图,这是矩形足球场的示意图,其中宽AB=66米,球门EF=8米,且EB=FA.P,Q分别为BC,AD上的点,BP=7米,∠BPQ=135°.一位左前锋球员从点P处带球,沿PQ方向跑动,球员在PQ上的何处才能使射门角度(∠EMF)最大 求出此时PM的长.
　　探究几何最值问题的方法
探究几何最值问题时,通常可采用比较的方式,即说明一个几何量是最大或者是最小时,可随机找出一个与其相关的几何量进行对比.其方式如下:
类型6　利用切线性质探究最值问题
【原创好题】如图,在矩形EBCF中,点A在边EF上运动,∠BAC=α,BC=a,则当点A运动到何处时,矩形EBCF的面积最大 并求出其最大面积.
解题指南　(1)如图1,过点A作AD⊥BC,并作出△ABC的外接圆☉O,根据∠BAC=α,BC=a,由“定边对定角”可知,点A的轨迹为.
图1　　　　　　　　图2
(2)如图2,要求矩形EBCF面积的最大值,本质是探究BE或CF的最大值,当A为的中点(即EF的中点)时,AD最大,即矩形EBCF的宽最大,此时矩形 EBCF的面积最大.
【原创好题】如图,有一片平面示意图为矩形ABCD的试验田,点N在AD上,点M在CD上,连接MN,NB,MB,△ABN,△DMN,△BMC,△BMN为该试验田所划分的四个区域.经过实地考察得知AB=3NA=60 m,∠NMB=45°.请你根据以上信息分析试验田所在矩形ABCD是否存在最大面积.若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.
　　借助相切情况探究面积或者线段最值的本质要抓住的几个“题眼”
(1)当探究线段的最值时,观察这条线段的顶点是否为某个角度数一定的角的顶点,此时可以借助该点的运动轨迹(多为圆弧)抓住相切条件.
(2)探究面积最值时,无论是四边形还是三角形,都要抓住“定边对定角”的条件,找出弧线形运动轨迹,要使面积最大,那么对应的图形的高一定最大,而借助圆与直线的位置关系,只有相切满足题目条件.
题型4　与图形变换结合的问题探究
类型1　“将军饮马”求最值——单动点问题
(2024·西工大模拟节选)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,D是边AC的中点.以点A为圆心,2为半径在△ABC内部画弧,若P是上述弧上的动点,Q是边BC上的动点,求PQ+QD的最小值.
解题指南　(1)作点D关于BC的对称点D',将问题转化为点D'到圆弧上的最短距离.
(2)连接AD',AD'与圆弧的交点P即为所找点,以AD'为斜边构造直角△AD'E.
(3)借助三角形的相似关系与勾股定理计算PQ+QD的最小值.
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为多少
　　单动点的“将军饮马”问题模型解读
模型分析:如图1,点A,点B为直线l同侧的两个定点,在直线l上找一点P,使得PA+PB最小.
图1　　　　　　　　图2
　　思路:如图2,点P满足PA+PB最小.
类型2　“将军饮马”求最值——双动点问题
如图,∠AOB=60°,P是∠AOB内一定点,且OP=2.若M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是多少
解题指南　(1)作出点P关于OA,OB的对称点F,E,连接EN,MF,根据对称性可知PN=EN,PM=MF;
(2)C△PMN=PN+PM+MN=EN+MF+MN≥EF;
(3)将△PMN的周长转为线段长后,结合对称性可知,OP=OE=OF,∠EOF=2∠AOB=120°,最后借助含有特殊角的等腰三角形性质计算结果即可.
(2024·西工大附中模拟节选)如图,矩形ABCD是某在建的公园示意图,其中AB=200 m,BC=400 m.根据实际情况,需要在边DC的中点E处开一个东门,同时根据设计要求,要在以点A为圆心,在公园内以10 m为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门,还要在边BC上选一处点Q,在以Q为圆心,在公园内以10 m为半径的半圆的三等分点的M,N处开两个南门.线段PM,NE是要修的两条道路.为了节约成本,希望PM+NE最小.试求PM+NE最小值及此时BQ的长.
解题指南　(1)由M,N为半圆的三等分点可知MN的距离不变,将点E向左平移MN长的单位得到E',并连接E'M,进而得EN=E'M,从而将问题转化为PM+E'M.
(2)作点A关于直线MN的对称点A',连接A'M,由对称性可将PM+E'M转化为A'M+ME'-AP,由两点之间线段最短,得A'M+ME'-AP=A'E'-AP.
(3)以A'E'为斜边构造直角三角形A'E'L,最后运用勾股定理计算出A'E'即可.
1.如图,∠MON=30°,点A在射线OM上,OA=2,点D在射线ON上,OD=4,C是射线OM上任意一点,B是射线ON上任意一点,则AB+BC+CD的最短长度为多少
2.(2024·师大附中期中节选)如图,某社区广场有一块正方形花园ABCD,其中AB=60 m,E是CD的中点,现要在花园内规划几条小道,经社区广泛收集居民建议,设计方案,修建四条小道AM,MN,NE,EA,其中M,N均在BC上,且N在M的右边,MN=20 m,要使得修建的小道AM+MN+NE+EA的值最小,试求此时CN的长和AM+MN+NE+EA的最小值.
　　双动点的“将军饮马”问题模型解读
(1)模型分析:如图1,P为∠AOB内部一定点,在∠AOB的边OA上找一点E,边OB上找一点F,使得△PEF的周长最小.
图1
图2
思路:如图2,(C△PEF)min=P1P2.
(2)模型分析:如图3,P,Q为∠AOB内部两个定点,在∠AOB的边OA上找一点E,边OB上找一点F,使得四边形PEFQ的周长最小.
图3　　　　　　图4
思路:如图4,(C四边形PEFQ)min=P'Q'+PQ.
(3)已知A,B两点,MN长为定值,求确定M,N位置使得AM+MN+NB值最小
思路:考虑MN长为定值,故只要AM+BN的值最小即可.将AM平移使M,N重合,AM=A'N,将AM+BN转化为A'N+NB.
构造点A'关于MN的对称点A'',连接A''B,可依次确定N,M位置.
类型3　“两动一定”问题的探究
如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点,F是CD边上的一点,且DF=1.若M,N分别是线段AD,AE上的动点,则MN+MF的最小值为多少
解题指南　(1)作点F关于AD的对称点G,过点G作GN⊥AE,且GN与AD交于点M.
(2)借助△ABE∽△MDF∽△MNA,列出对应比例关系式,求出MN与MG即可.
(2024·西工大附中模拟节选)如图,四边形ABCD是一块板材,其中AD∥BC,∠A=90°,AD=20 cm,BC=40 cm,AB=60 cm,工人师傅想用这块板材裁剪出一块四边形OMBN的部件,使得O是CD的中点,点M,N分别在AB,BC上,并要求四边形OMBN部件的面积是四边形ABCD板材面积的,求裁剪长度(OM+ON)的最小值.
　　根据对称变换探究点线最值模型解读
模型分析: 如图1,M为∠AOB内一定点,P为OA上任意一点,Q为OB上任意一点,找出点P与点Q的位置,使得MP+PQ最小.
图1
图2
思路:如图2,(MP+PQ)min=M'Q.
类型4　“胡不归”模型求线段和最值问题
【原创好题】如图,A为射线l的顶点,B为射线l上的一个动点,P为射线l外一定点(位置固定).
(1)当PB+AB最小时,确定点B的位置;
(2)当PB+AB最小时,确定点B的位置;
(3)当PB+AB最小时,确定点B的位置.
解题指南　形式:PA+k·PB的形式,01时,提k后,再按上述步骤操作,将含有系数的线段和最值计算问题转化为点到直线最值问题.
关键突破点:对应动点所在射线旋转30°,对应动点所在射线旋转45°,对应动点所在射线旋转60°.
如图,A,B两地相距600 km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路,点B到AC的距离为360 km.今计划在铁路线AC上修一个中转站M,再在BM间修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍,那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值,求此时AM的长.
　　“胡不归”模型求线段的和最值的两点注意事项
探究“AB+k·CD(0②将系数k转化为1,这里的系数k就是对应变换射线的旋转角α的正弦值,即k=sin α.
类型5　利用旋转解决线段和问题——“费马点”探究
【改编】如图,在锐角△ABC的内部找一点M,连接MA,MB,MC,并使得MA+MB+MC最小.
解题指南　(1)将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△A'BN,进而得△BMN的形状为等边三角形;
(2)由旋转的性质可知△ABM≌△A'BN,即AM=A'N,由此可得MA+MB+MC=A'N+MN+MC≥A'C;
(3)当点M,N在A'C上时,满足MA+MB+MC最小,此时在△ABC内的点M满足∠AMB=∠BMC=∠AMC=120°.
【原创好题】如图,某商业区的平面示意图为矩形ABCD,AD=a,AB=b.其中点A,D为该商业区的两个污水排出口,生活用水供给口Q在BC上,市政部门为了合理控制新建商业区的用水情况,拟在该商业区ABCD内安装一个用水总阀门P,且要求总阀门P到供给口Q和两个出水口A,D所铺设的主管道PQ,PA,PD总和最短.请你根据要求在图中找出点P的位置,并计算出所铺设管道PQ+PA+PD的最短长度.
　　寻找“费马点”求最值思路
将所求最值线段所在三角形向图形外进行旋转
→将共点三线段转化为顺次连接形式
→以旋转所成等边三角形寻找费马点
→通过全等三角形对应边转化线段等量关系
→确定位置并计算
类型6　利用图形间的旋转变换求最值问题
【原创好题】(1)如图1,O为直线l外一定点,A为直线l上的一动点,连接OA,将OA绕点O逆时针旋转至OB,其旋转角∠AOB为定角,则点B的运动轨迹如何
(2)如图2,点A在☉O上运动,将AB绕点A顺时针旋转到AD,其旋转角∠BAD为定角,请说明点D的运动轨迹.
　　
图1　　　　　　　　　图2
(2024·西工大附中模拟节选)如图,四边形ABCD是某市在建的休闲广场,按照设计要求,休闲广场要利用点B,D的两座凉亭,需建在BD的两边,且满足sin∠ABC=,sin∠ADC=,BC=AB,经测量两座凉亭B,D之间的距离为500 m,若计划在建成的休闲广场内的△ACD区域内种植花卉,问能否使得种植花卉的面积最大 若能,求出种植花卉的最大面积;若不能,请说明理由.
解题指南　(1)由BC=AB,这一条件为突破口,将△ABD绕点B进行旋转,并在旋转过程中使得△ABD按照比例缩小,得到△BCE,即构造△BCE∽△BAD.
(2)结合相似三角形的性质得到BE的长度,再由sin∠ABC=sin∠DBE=,sin∠ADC=sin∠BDE=,解出△BDE的边长DE.
(3)由于sin∠ABC与sin∠ADC的关系可知二者互余,再结合旋转性质可知:∠DCE=180°-(∠BAD+∠BCD)=90°.
(4)借助DE为固定边,∠DCE为固定角,求出△DCE的面积最大值.
(5)过点A作AG⊥CD,最后由S△ADC=CD·AG=AD·sin∠ADC·CD,转化为△DCE的面积最大关系计算即可.
1.【一题多解】如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为 .
2.(2024·高新一中开学考节选)如图,这是某公园的一个面积为256π m2的圆形施工区示意图,公园开发部门计划在该施工地内设计一个四边形区域ABCD作为儿童户外拓展中心.按设计要求,A、B、C、D四个点都在圆上,护栏AB=CD=16 m,为了让孩子们有更好的活动体验,四边形ABCD的面积越大越好,请求出四边形ABCD面积的最大值.
3.(1)如图1,将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合(其中∠BAC=∠BA'C'=30°,∠ACB=∠A'C'B=90°),绕点B旋转△C'A'B,当旋转至CC'=4时,求AA'的长.
(2)如图2,O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点,AC=BC=5,OE=2,连接BE,作Rt△BEF,其中∠BEF=90°,tan∠EBF=,连接AF,求四边形ACBF的面积的最大值.
图1
图2
　　利用图形间的旋转变换求最值问题模型总结
(1)如图1,△APQ的形状固定,且A为定点,当点P在直线BC上运动时,点Q的运动轨迹为如图2所示的直线Q1Q2;
图1　　　　　　　图2
(2)如图3,A为定点,点P在圆O上运动,AP=AQ,且AP⊥AQ,则点Q的运动轨迹为如图4所示的☉M;
图3　　　　　　　 图4
(3)如图5,A为定点,点P在圆O上运动,AQ与AP之间的比值为定值,则点Q的运动轨迹为如图6所示的☉M.
图5　　　　　　　图6
类型7　利用构造法解决几何应用问题
有一类线段和求最值问题,主要特征在两个动点(在不同线段上动),且运动过程距离相等或距离成倍数关系,在此类问题中,可利用构造全等或者相似三角形,进行线段的转移及放缩,将两条目标线段进行拼接,从而利用两点之间线段最短进行求值.
题型一:构造全等
如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,E,F为边AC,BC上的两个动点,且CF=AE,连接BE,AF,则BE+AF的最小值为 .
1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的动点,且BE=CF,连接BF,DE,则BF+DE的最小值为 .
2.如图,已知等边△ABC的边长为1,AF为高,D,E分别是AC,AF上的两个动点,且AE=CD,则BD+CE的最小值为 .
题型二:构造相似
【一题多解】如图,在正方形ABCD中,M为AD上一点,且=,E,F分别为BC,CD上的动点,且BE=2DF,若AB=4,求ME+2AF的最小值.
1.如图,在矩形ABCD中,AB=15,AD=20,E,F分别为边BC,BD上的两动点,且DF=2BE,则2AE+AF的最小值为 .
2.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AD=CD=4,E是CD上的一个动点,CE=2BD,则AE+2BC的最小值为 .
题型三:图形拼凑
(2022·陕西中考节选)如图,现有一块△ABC形状板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:
①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;
②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;
③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP,BP,得△ABP.
请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求 请证明你的结论.
解题指南　(1)将△ACD补充为正方形AFDC,然后连接PF,进而说明△APF为等边三角形.
(2)借助补充后的图形中所蕴含特殊角度数即可推算∠BAP的度数是否满足题意.
某次施工中,工人师傅需要画一个20°的角,但他手里只有一把带刻度的直角尺,工程监理给出了下面简易的作图方法:
①画线段OB=15 cm,再过它的中点C作m⊥OB;
②利用刻度尺在m上寻找点A,使得OA=15 cm,再过点A作l∥OB;
③利用刻度尺过点O作射线,将射线与AC和l的交点分别记为点F、E,调节刻度尺使FE=□ cm时(“□”内的数字被污染无法看清),则∠EOB=20°;
你认为监理给的方法可行吗 如果可行,请写出“□”内的数字,并说明理由;如果不可行,请给出可行的方案.
参考答案
题型1　几何图形等分问题探究
类型1　等分三角形面积
例1　解析:(1)如图1,取边BC上的中点D,连接AD即可.
图1
图2
(2)如图2,连接BD,过点A作BD的平行线,与CB的延长线交于点E,连接DE,
根据“同底等高”可知,S△ABD=S△EBD,
∵S△ABC=S△ABD+S△DBC,S△DEC=S△EBD+S△DBC,
∴S△ABC=S△DEC.
取△DEC的边EC上的中点F,连接DF,
∴S△DFC=S△DEC=S△ABC,
即DF等分△ABC的面积.
类型2　等分四边形面积
例2　解析:
如图,连接AC,BD交于点O,连接MO并延长,分别与AD,BC交于点E,F.
理由:由 ABCD的性质可知,∠EDO=∠FBO,OB=OD,
又由∠EOD=∠FOB,易证△DEO≌△BFO,
∴S△DEO=S△BFO.∵S△ABD=S△BCD=S ABCD,且S△ABD=S四边形ABOE+S△DEO,S四边形ABFE=S四边形ABOE+S△BFO,
∴S△ABD=S四边形ABFE=S ABCD,
∴直线EF将平行四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
变式设问　1.解析:(1)如图1所示.
图1　　　　　 图2　　　　　　 图3　
(2)如图2,连接AC,BD交于点O,作直线OM,分别交AD,BC于点P,Q,过点O作EF⊥OM分别交DC,AB于点F,E,则直线EF,PQ将正方形ABCD的面积四等分.
理由:∵O是正方形ABCD的对称中心,
∴AP=CQ,EB=DF.
在△AOP和△BOE中,
∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,
∴∠AOP=∠BOE.
∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,
∴△AOP≌△BOE(ASA),
∴AP=BE.同理可得AP=BE=CQ=DF,
∴AE=BQ=CF=PD.
设点O到正方形ABCD一边的距离是d,
则(AP+AE)d=(BE+BQ)d=(CQ+CF)d=(PD+DF)d,
∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF,
∴直线EF,OM将正方形ABCD的面积四等分.
(3)存在,当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
理由:如图3,连接BP并延长,交CD的延长线于点E.
∵AB∥CD,
∴∠A=∠EDP.
∵在△ABP和△DEP中,∠A=∠EDP,AP=DP,∠APB=∠DPE,
∴△ABP≌△DEP(ASA),∴BP=EP,AB=DE.
连接CP,
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等,BP=EP,
∴S△BPC=S△EPC.
作PF⊥CD,PG⊥BC,则BC=AB+CD=DE+CD=CE.
由三角形面积公式得PF=PG,
在CB上截取CQ=DE=AB=a,则S△CQP=S△DEP=S△ABP,
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP,
即S四边形ABQP=S四边形CDPQ.
∵BC=AB+CD=a+b,
∴BQ=b,
∴当BQ=b时,直线PQ将S四边形ABCD分成相等的两部分.
例3　解析:能.
证明:如图,连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.
∵BE∥AC,∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高相等,∴S△ABC=S△AEC,
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
又∵S△ACD>S△ABC,
∴面积等分线必与CD相交,取DE的中点F,如图所示,则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.
变式设问　2.解析:如图,连接PB,PC,分别过点A和点D作PB,PC的平行线,并记所作平行线与线段BC两端延长线的交点分别为E,F,构造出△PEF,再取EF的中点Q,连接PQ即可.
理由:∵AE∥PB,DF∥PC,
∴根据“同底等高”可知S△APB=S△EPB,S△DPC=S△FPC.
又∵S△APB+S△DPC+S△PBC=S四边形ABCD,S△EPB+S△FPC+S△PBC=S△PEF,
∴S四边形ABCD=S△PEF.
又∵PQ为△PEF的中线,
∴S△PEQ=S△PFQ=S△PEF.
∵S四边形ABQP=S△PEQ,S四边形PQCD=S△PFQ,
∴S四边形ABQP=S四边形PQCD=S四边形ABCD,
∴PQ平分四边形ABCD的面积.
类型3　面积、周长等分问题
例4　解析:存在.
如图,当EF平分△ABC的周长时,BE+BF=AE+AC+CF=×20=10.
设BF=x,则BE=10-x,
过点E作EG⊥BF,则EG=BE·sin B=(10-x).
当EF平分△ABC的面积时,S△BEF=×16=8,
∴x·(10-x)=8,
解得x1=4,x2=6,
∴线段BF的长度为4或6.
例5　解析:(1)3.
提示:如图1,∵BD平分△ABC的面积,
∴S△ABD=S△CBD,∴AD=CD.
∵AB=BC=5,AC=8,∴AD=CD=4,BD⊥AC,
∴BD===3.
(2)如图2,过点P作PH⊥BC于点H.
∵∠ABC=90°,AB=BC=4,
∴S△ABC=×4×4=8,∠C=45°,AC=4.
∵BD=1,∴CD=3.
∵DP平分△ABC的面积,
∴S△DPC=×DC×PH=4,∴PH=.
∵∠C=45°,PH⊥BC,
∴△PHC是等腰直角三角形,
∴PC=PH=,∴AP=.
(3)如图3,延长OA,CB交于点D,过点P作PH⊥BC于点H.
∵∠OAB=150°,∠ABC=120°,
∴∠DAB=30°,∠ABD=60°,∴∠D=90°.
∵∠AOC=60°,∴∠OCD=30°.
∵OA=2,OC=10,
∴OD=OC=5,DC=OD=5,
∴AD=3,∴DB=,
∴S四边形ABCO=S△ODC-S△ADB=×5×5-×3×=11.
∵BP平分四边形OABC的面积,∴S△BPC=×BC×PH=×(5-)×PH=,
∴PH=,∴PC=2PH=.
∵OC=10,∴OP=,∴点P,0.
变式设问　解析:如图,过点P作PO⊥AC交AC于点H,交AB于点O,作PQ⊥AB于点Q,连接OC.
点O是所在圆的圆心,
∵=,OP⊥AC,
∴AH=HC.
在Rt△ABC中,AC===200.
∵∠AOH=∠POQ,∠AHO=∠PQO,OA=OP,
∴△OAH≌△OPQ(AAS),
∴AH=PQ=100.
∵=,
∴S扇形OAP=S扇形OPC,
∴当S△OPM=S△OCB时,PM平分该空地的面积.
设OA=OC=x,
在Rt△OCB中,∵OC2=BC2+OB2,
∴x2=1202+(160-x)2,解得x=125.
设OM=y,则有×y×100=×35×120,
解得y=21,
∴OM=21,
∴AM=OA+OM=125+21=146(m).
题型2　借助函数思想解决几何问题
类型1　与线段相关问题
例1　解析:
如图,连接MB,MC,根据题意,MO=MA=MB=MC.
故O、A、B、C四点在以M为圆心,OA的长为半径的圆上.
连接AC,与BM交于点D,则BM⊥AC,
由AB=BC,即=,
得∠AMB=∠BMC,∠BAC=∠BMC.
过点M作MN⊥AB,
∴∠AMN=∠BMN=∠AMB,AN=BN,
∴∠BMN=∠BAC,
又∵∠BNM=∠ADB=90°,
∴△ABD∽△MBN,
∴=,即=,整理得BD=m2,故DM=BM-BD=3-m2.
又∵在半圆M中,OA为直径,∠ACO=∠ADM=90°,M为OA的中点,
∴DM是△OAC的中位线,
∴OC=2DM=6-m2,
∴n=OA+AB+BC+CO=-m2+2m+12.
∵n=-(m2-6m+9)+15=-(m-3)2+15,
∴当m=3时,n的最大值为15.
变式设问　解析:如图,作FQ⊥y轴于点Q,
∴∠FQA=∠AOD=90°,
∴∠FAQ+∠AFQ=90°.
∵四边形ADEF是正方形,
∴FA=AD,∠FAD=90°,
∴∠FAQ+∠DAO=90°,
∴∠AFQ=∠DAO.
在△AFQ和△DAO中,
∴△AFQ≌△DAO(AAS),
∴FQ=OA=OC=4.
又∵FQ∥OC,且∠FQO=90°,
∴四边形OCFQ是矩形,
∴∠PCD=∠AOD=90°.
∵∠ADE=90°,
∴△AOD∽△DCP,
∴=.
设OD=x,则CD=4-x(1≤x≤4),
则=,即CP=-x2+x=-(x-2)2+1.
∵-<0,且0≤x≤4,∴当x=2时,CP最大=1.
类型2　与面积相关问题
例2　解析:
存在.理由:如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥BC于点N,
∴AM∥DN,∠AMN=∠DNM=90°.
∵AD∥BC,
∴四边形AMND为矩形,
∴MN=AD=15,AM=DN=20.
在Rt△ABM中,∠ABC=45°,
∴△ABM为等腰直角三角形,
∴AM=BM=20.
在Rt△DNC中,∠C=75°,DN=20,
∴=tan 75°≈4,
∴CN=5,
∴BC=BM+MN+CN=20+15+5=40.
∵EP⊥BC,∠B=45°,
∴△EPB为等腰直角三角形,
∴BP=EP,∠EPB=90°.
∵PC=PF,∠C=75°,
∴∠PFC=∠PCF=75°,
∴∠FPC=30°,
∴∠EPF=180°-∠EPB-∠FPC=60°.
过点E作EG⊥PF于点G,
∴EG=PE·sin 60°=BP·sin 60°.
设BP=x,则FP=CP=40-x,
∴S△PEF=PF·EG=PF·BP·sin 60°=(40-x)x=-x2+10x=-(x-20)2+100,
∴当BP=20 m时,S△PEF有最大值,且最大值为100 m2,
∴种植花卉的总费用约为100×120=12 000(元).
变式设问　解析:存在.如图,分别延长AE与CD,交于点K,则四边形ABCK是矩形,
∴AK=BC=1 200米,AB=CK=800米.
设AN=x米,则PC=x米,BO=2x米,BN=(800-x)米,AM=OC=(1 200-2x)米,
∴MK=AK-AM=1 200-(1 200-2x)=2x米,PK=CK-CP=(800-x)米,
∴S四边形OPMN=S矩形ABCK-S△AMN-S△BON-S△OCP-S△PKM
=800×1 200-x(1 200-2x)-×2x(800-x)-x(1 200-2x)-×2x(800-x)
=4(x-350)2+470 000,
∴当x=350时,S四边形OPMN最小,最小值为470 000平方米,
此时AM=12 00-2x=1 200-2×350=500<900,CP=x=350<600,
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470 000平方米,此时点N到点A的距离为350米.
例3　解析:
如图,过点D作DH⊥BC于点H,交EF于点M,则MH=FG=x,AD=EM=BH=8 dm,DH=AB=20 dm,
∴DM=DH-MH=(20-x)dm,CH=BC-BH=24-8=16(dm).
设EF=y dm,则MF=EF-EM=(y-8)dm,
∵四边形BEFG是矩形,
∴EF∥BC,
∴△DMF∽△DHC,=,即=,
∴y=-x+24,
∴S=xy=x-x+24=-x2+24x=-(x-15)2+180.
当x=15时,矩形BEFG面积最大,最大值为180 dm2.
变式设问　解析:(1)由题意得△DEF∽△CGF,
∴=.
又∵DE=AD-AE=60-30=30,DF=DC-FC=60-FC,CG=120-60=60,
∴=,解得FC=40(cm).
(2)如图,设矩形顶点B所对的顶点为P.
图1
①如图1,当顶点P在AE上时,x=60,y的最大值为60×30=1 800(cm2).
②如图2,当顶点P在EF上时,过点P分别作PN⊥BG于点N,PM⊥AB于点M.
图2
根据题意得△GFC∽△GPN,
∴=,
∴NG=x,∴BN=120-x,
∴y=x120-x=-(x-40)2+2 400.
图3
∵-<0,0≤x≤60,∴当x=40时,y的最大值为2 400 cm2.
③如图3,当顶点P在FC上时,y的最大值为60×40=2 400(cm2).
综上所述,当x=40 cm时,矩形的面积最大,最大面积为2 400 cm2.
(3)由(2)知,要使裁出的矩形为最大的正方形,则顶点B所对的顶点P一定在EF上,且BN=PN.
∵PN=x,BN=120-x,
∴x=120-x,解得x=48,
故面积最大的正方形的边长为48 cm.
题型3　构造辅助圆解决实际问题
类型1　探究特殊角存在问题
例1　解析:(1)
图1
如图1,以AB为边作等边△AOB,再以O为圆心,OA(或OB)的长为半径作☉O,过点O作AB的垂线,与☉O交于点C.
根据圆周角定理可知,∠ACB=∠AOB=30°,在优弧上任取一点M满足∠AMB=30°.
此时点M的轨迹为优弧.
由于△OAB为等边三角形,故点M的轨迹所在圆弧的半径为OA=OB=AB=a.
(2)
图2
如图2,以AB为斜边构造等腰直角△AOB,再以O为圆心,OA(或OB)的长为半径作☉O,此时过点O作AB的垂线,并与☉O交于点C,连接CA,CB.
根据圆周角定理可知,∠ACB=∠AOB=45°,在上任取一点M满足∠AMB=45°.此时点M的轨迹为.
由于△AOB为等腰直角三角形,故☉O的半径为OA=OB=AB=a.
变式设问　解析:存在.如图,以AB为斜边作等腰Rt△AOB,使得∠AOB=90°,再以O为圆心,OA的长为半径作圆,并过点O作AB的垂线,记垂足为E,延长EO与☉O交于点N,连接AN,BN,则根据圆周角与圆心角的关系可知∠ANB=∠AOB=45°.
∵在等腰Rt△AOB中,AB=20,OE⊥AB,
∴根据等腰直角三角形的性质可知,AE=BE=OE=AB=10米,
∴☉O的半径R=AE=10(米),而BC=24米,
∴EN=10+10=10(+1)(米)>24米,则此时∠ANB的顶点N在矩形ABCD边CD的外侧,
∴☉O与CD有交点,故在CD上存在点M,满足∠AMB=45°.
记EN与CD的交点为P,☉O与CD的交点分别为M1,M2,连接OM1,
OP=BC-OE=24-10=14(米),
根据勾股定理可得PM1===2(米),
∴M1C=CP-PM1=10-2=8(米).
同理,M2C=CP+PM2=10+2=12(米).
综上所述,在墙面CD区域内存在两个点M1,M2,满足∠AMB=45°,且MC的长度为8米或12米.
类型2　利用圆的定义构造辅助圆
求距离最值问题
例2　解析:∵AC,BD是菱形ABCD的对角线,且EF是一条定长的动线段,
∴△EOF是以EF为斜边的直角三角形.
又∵P是EF的中点,∴OP=EF=3,
∴动点P的轨迹是以O为圆心,3为半径的圆.
如图,过点O作BC的垂线,垂足为Q,记与☉O的交点为P1,P2.
当点P运动到P1的位置时,△BP1C的面积最大;当点P运动到P2的位置时,△BP2C的面积最小.
∵菱形ABCD的对角线AC=16,BD=12,
∴OB=BD=6,OC=AC=8,故BC=10.
利用等面积法可知OQ=,故P1Q=OP1+OQ=3+=,P2Q=OQ-OP2=-3=,
∴=BC·P1Q=×10×=39,=BC·P2Q=×10×=9,
∴△BPC的最大面积为39,最小面积为9.
变式设问　解析:存在.如图,连接CG,在Rt△CEF中,∵G为斜边EF的中点,∴CG=EF=1,
即当EF运动时,动点G到点C的距离始终不变,故根据圆的定义可知,点G的运动轨迹为☉C弧上.
∵S△BHI=S△HIG+S△BIG=IG·h1+IG·h2=IG·BC=IG,
∴要求△BHI的最小面积,只需求IG的最小长度即可.
又∵在矩形ABCD中,AD=2,AB=6,
∴在Rt△BCD中,tan∠BDC===,
∴∠BDC=30°.
过点G作GP⊥BD于点P,过点C作CP'⊥BD于点P',与☉C交于点G',过点G'作CD的平行线与BD交于点I'.根据等面积法可知,CP'==3.
在Rt△PIG和Rt△P'I'G'中,IG=2GP,I'G'=2G'P'.
∵CG+GP≥CP',
∴CG+GP≥CG'+G'P'.
∵GC=CG'=r,
∴GP≥G'P',
∴IGmin=I'G'=2G'P'=2(CP'-CG')=2×(3-1)=4,
∴(S△BHI)min=4.
类型3　利用“定边定角”探究几何最值问题
例3　解析:
如图,作△ABC的外接圆,并记其圆心为O,连接OA,OB,OC,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点O作BC的垂线,与BC交于点D,与☉O交于点A'.此时根据垂径定理可知,△A'BC为等腰三角形,且满足∠BA'C=∠BAC=α,且(S△ABC)max=S△A'BC.
理由:∵S△ABC=BC·AE,S△A'BC=BC·A'D,
根据垂线段最短可知,A'D=OA'+OD=OA+OD≥AE,
∴S△A'BC≥S△ABC,
∴当点A在优弧BC的中点A'时,△ABC的面积最大.
由题意可知,BD=CD=BC=.
根据圆心角与圆周角的关系可知,∠BOC=2∠BOD=2∠BAC,
∴∠BOD=∠BAC=α.
又∵OD===,
OA'=OB===,
∴A'D=OD+OA'=+,
∴(S△ABC)max=BC·A'D=+.
例4　
图1
解析:(1)如图1,作Rt△ABC的外接☉O,根据圆周角定理的推论可知点O在AB上,且为AB的中点.
∵C△ABC=AB+AC+BC,AB=a,
∴要使△ABC的周长最大,只需AC+BC最大,同理,只要(AC+BC)2最大即可.
∵(AC+BC)2=AC2+2AC·BC+BC2=AB2+2AC·BC=a2+2AC·BC,
∴只要AC·BC最大即可.
又∵S△ABC=AC·BC,即AC·BC=2S△ABC,
∴当S△ABC最大时,满足C△ACB最大,
即当C为的中点时,S△ABC最大,
此时△ABC为等腰直角三角形,
∴(C△ABC)max=a+a.
(2)作△ABC的外接☉O,当点A在优弧BAC的中点A'处时,△ABC的周长最大.
理由:如图2,设A'为优弧BAC的中点,根据圆的性质可知A'B=A'C,以A'为圆心,A'B的长为半径作圆,延长BA'与☉A'交于点D',延长BA与☉A'交于点D,连接CD,CD'.
图2
∵A'B=A'C=A'D',
∴A'B+A'C=A'B+A'D'=BD',∠A'CD'=∠D'.
又∵∠D=∠D',∠BA'C=∠BAC,
∴∠A'CD'=∠ACD,
∴∠ACD=∠D,即AC=AD,
∴AB+AC=AB+AD=BD.
∵BD'≥BD,
∴A'B+A'C≥AB+AC,
∴C△A'BC≥C△ABC,
∴当点A在优弧BAC的中点A'处时,△ABC的周长最大,此时为等腰三角形,
过点A'作A'E⊥BC,交BC于点E.
∵A'B=A'C,A'E⊥BC,
∴BE=CE,A'E平分∠BA'C,
∴∠BA'E=∠BA'C=∠BAC=α,
∴A'B==,
∴(C△ABC)max=a+.
例5　解析:如图,延长AD到点T,使得DT=AD,连接BT,CT.
∵AD=DT,BD=CD,
∴四边形ABTC是平行四边形,
∴AC∥BT,
∴∠ABT+∠BAC=180°.
∵∠BAC=60°,
∴∠ABT=120°.
∵AT=2AD=12,
∴当BA=BT时,△ABT的面积最大,
此时△ABC的面积最大,最大面积=×12×2=12.
变式设问　解析:根据题意可知,△ABM≌△BCN,
∴∠AMB=∠BNC,
∴∠AMC+∠BNC=180°,
∴∠APB=∠MPN=180°-∠ACB=120°.
如图,作△APB的外接圆☉O,则符合条件的所有点P都在弦AB所对的劣弧AB上.
当点P运动到劣弧AB的中点F时,△ABP的面积最大.
过点O作l∥AB,作PH⊥l于点H,交AB于点G,
连接OP,OF,且OF交AB于点Q,则OF⊥AB.
∵OF=OP≥HP,且OQ=HG,
∴QF≥GP.
连接AF,在Rt△AFQ中,FQ=AB·tan 30°=,
∴S△ABF=×6×=3,
∴△APB的最大面积为3.
例6　解析:存在.∵S平行四边形ABCD=2S△EBC,
∴当△EBC的面积最大时,平行四边形ABCD的面积最大,如图,作EJ∥AB交BC于点J,作BT∥EC交EJ的延长线于点T,
∴AB∥EJ∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABJE,四边形CDEJ都是平行四边形,
∴AE=BJ,DE=JC.
∵DE=3AE,∴CJ=3BJ.
∵BT∥EC,
∴==3,
∴∠TBE+∠BEC=180°,△EJC∽△TJB.
∵EJ=AB=6米,∠BEC=60°,
∴∠EBT=120°, TJ=2米,
∴ET=EJ+JT=8(米).
∵当BE=BT时,△BET的面积最大,最大值=×8×=(平方米),
此时△BEC的面积最大,最大值=4S△BEJ=4××=16(平方米),
∴平行四边形ABCD的面积存在最大值,最大值为32平方米.
变式设问　解析:∵养鱼1 000元/m2,养虾800元/m2,
∴当△CED面积最小时,花费的费用最少.
∵BF⊥AG,BF=2EF,
∴∠BEF为定值,tan∠BEF=2.
如图,作△AEB的外接圆,圆心为O,连接OA,OB,过点O作OH⊥AB于点M,交CD于点H,交☉O于点E.
∴△OAB为等腰三角形,
∴∠AOB=2∠BEF,
∴∠MOB=∠BEF.
∵AB∥CD,∴OH⊥CD.
设MH交☉O于点E,在☉O上另取一点E',连接OE',E'H',
有OE'+E'H'≥OH=OE+EH,即EH≤E'H',
∴EH最短.
在Rt△OMB中,BM=AB=10,tan∠MOB=tan∠BEF=2,
∴OM=5,OB=5,
∴EH=OH-OE=35-5,
∴EH最小,最小值为35-5.
设△CED的面积为S,花费的费用为W.
则W=1 000S+800(20×30-S)=480 000+200S,
S的最小值=·CD·EH=10(35-5)m2,
W最少=480 000+200S=480 000+2 000×(35-5)=(550 000-10 000)元.
类型4　利用“定高定角”探究几何最值问题
例7　解析:如图1,作△ABC的外接圆☉O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E.
设☉O的半径为R,
根据圆周角与圆心角的关系可知,∠BOC=2∠BAC,
由等腰三角形的性质可知,∠BOC=2∠BOE=2∠COE,
∴∠BOE=∠BAC=α.
在Rt△BOE中,OE=OB·cos∠BOE=R·cos α,BE=OB·sin∠BOE=R·sin α.
又∵S△ABC=BC·AD=·2BE·h=R·sin α·h,
∴要使△ABC的面积最小,只需R最小即可.
而OA+OE≥AD,
∴R+R·cos α≥h,解得R≥.
如图2,当R=时,此时点O在AD上,R最小,
∴(S△ABC)min=.
图1　　　　　　图2
例8　解析:△EFG的面积存在最小值.
理由:如图,延长FE,交CB的延长线于点Q,作△EQG的外接圆O,作OH⊥CQ于点H,作OW⊥AB,交AB的延长线于点W.
设☉O的半径为r,
在矩形ABCD中,AF∥BC,
∴△BEQ∽△AEF,==,故=.
∵∠QEG=180°-∠FEG=180°-60°=120°,
∴∠QOG=120°.
根据题意,OH=OQ=r,GQ=r.
∵∠WBH=∠OWB=∠OHB=90°,
∴四边形BHOW是矩形,
∴BW=OH=r.
∵OE≥EW,
∴r≥30+r,
∴r≥60,
∴GQ最小=60,
∴(S△EGQ)min=GQ·EB=×60×30=900,
∴(S△EFG)min=×900=600.
变式设问　1.解析:存在.如图,延长BC到点H,使得CH=AE,连接DH,
易得△DAE≌△DCH.
作△DFH的外接圆☉O,并设☉O的半径为R,连接OD,OF,OH,过点O作OG⊥CH于点G.
S△DFH=FH·DC=×100·FH=50FH.
由△DAE≌△DCH可知,∠ADE=∠CDH.
又∵∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠FDC=45°,即∠CDH+∠FDC=∠FDH=45°.
根据圆周角与圆心角的关系可知,∠FOH=2∠FDH=90°,
∴∠FOG=∠HOG=∠FOH=45°,
∴OG=FG=HG=R,FH=FG+HG=R,
∴S△DFH=50FH=50R,
而OD+OG≥DC,即R+R≥100,
解得R≥100(2-),
∴当R取最小值,即R=100(2-)时,S△DFH最小,
故(S△DFH)min=50×100×(2-)=10 000×(-1).
∵S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ADE-S△DFC,S△ADE=S△DCH,
∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△DCH-S△DFC=S正方形ABCD-S△DFH,
∴(S四边形BEDF)max=100×100-10 000×(-1)=(20 000-10 000)平方米.
2.解析:存在.如图,作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接AD.
∵∠DMA=∠DNA=90°,
∠MAN=60°,
∴∠MDN=360°-90°-90°-60°=120°.
∵∠EDF=120°,
∴∠MDN=∠EDF=120°.
∵∠EDM+∠MDF=∠MDF+∠FDN,
∴∠EDM=∠FDN.
∵ED=FD,∠DME=∠DNF=90°,
∴△DME≌△DNF(AAS),
∴DM=DN,
∴S四边形AEDF=S四边形AMDN=200平方米.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,DN=DM,
∴AD平分∠MAN,
∴∠DAM=∠DAN=30°.
设AD=2m米,则MD=m米,DN=m米,AM=AN=m,
∴m·m=200,∴m2=200.
∵m>0,∴m=10,∴AD=20米,
∴在△ABC中,AD是角平分线,∠BAC=60°, AD是定值,
∴当AD是△ABC的高时,△ABC的面积最小,
此时BC=2BD=2×=(米),
∴△ABC面积的最小值=××20=(平方米).
类型5　探究最大张角问题
例9　证明:(1)记P1B与☉O的交点为P',连接AP',延长BP3与☉O交于点P,并连接AP,如图1所示.
∵∠AP2B=∠P,∠AP3B>∠P,
∴∠AP3B>∠AP2B.
同理,∠AP2B=∠AP'B>∠AP1B,
∴∠AP1B<∠AP2B<∠AP3B.
　　图1　　　　　　图2
(2)如图2,在直线l上任取一点P',连接P'A,P'B.
记P'A与☉O交于点Q,连接QB,则根据圆周角定理可知∠APB=∠AQB.
∵在△P'BQ中,∠AQB是△P'BQ的外角,
∴根据三角形内外角关系可知∠AQB>∠AP'B,
∴∠APB>∠AP'B,
∴切点P是直线l上满足∠APB度数最大的唯一点.
例10　解析:(1)点P在☉O上;点Q在☉O外.
提示:如图1,
∵∠APB=∠AOB =45°,
∴点P在☉O上.
∵∠APB=∠AQB+∠PBQ,
∴∠APB>∠AQB,
∴∠AQB<45°,
∴点Q在☉O外.
(2)如图2,构造斜边为AD的等腰直角三角形AOD,以O为圆心,OA为半径作☉O交BC于点P、点P',连接OP,OP',AP,DP,AP',DP',延长DO交BC于点H,易知∠APD=∠AP'D=45°.
∵∠DAB=135°,∠DAO=45°,
∴∠OAB=∠B=90°,
∴OA∥BC,
∴∠DOA=∠OHB=90°,
∴四边形ABHO是矩形,
∴AB=OH=1,OA=BH.
∵AD=2,
∴OA=OD=OP=OP'=2.
在Rt△OPH和Rt△OP'H中,
易知HP=HP'==,
∴BH=OA=2,∴BP=2+,
∴BP'=BH-P'H=BH-HP=2-,
∴BP的长为2+或2-.
(3)如图3,作线段AD的垂直平分线,交AD于点E,交BC于点F,点O在EF上,以OA的长为半径作☉O,当☉O与BC相切于点P时,∠APD最大,在BC上任意取一点M,连接MA,MD,MD交☉O于点N,连接AN.
∵∠AND>∠AMD,∠APD=∠AND.
∴∠APD>∠AMD,
连接OP,延长DA交CB的延长线于点G.
∵AB⊥BC,∠DAB=135°.
∴∠G=∠EFG=45°,
∴△ABG,△EFG都是等腰直角三角形.
∵AB=BG=1,
∴AG=.
∵AD=2,OE垂直平分AD,
∴AE=ED=,
∴EG=EF=2,GF=EG=4.
设OP=PF=r,
则OF=r,OE=EF-OF=2-r.
在Rt△AOE中,AE2+OE2=OA2,
∴()2 +(2-r)2=r2,
解得r=4-或4+(舍去),
∴BP=GF-GB-PF=4-1-r=-1.
变式设问　1.解析:存在.
如图,作BC的中垂线PQ,分别与AD,BC交于点P,Q,连接BP,CP,作△PBC的外接圆☉O,根据垂径定理的推论可知PQ与☉O的直径共线,
∵AD∥BC,CD⊥BC,
∴PQ⊥AD,∴AD是☉O的切线.
在AD上除点P外任取一点P',连接P'C,P'B,
记P'B与☉O交于点E,并连接EC.
根据三角形内外角关系可知∠BEC>∠BP'C,
而∠BPC=∠BEC,故∠BPC>∠BP'C,
∴此时∠BPC满足最大角,即cos∠BPC的值满足最小.
又∵∠ABC=60°,AD=8,BC=12,
∴易求PQ=DC=4,BQ=BC=6∴☉O的圆心O在线段BC的上方.
设☉O的半径为R,连接OB,OC,在Rt△OQC中,OQ2+QC2=OC2,
∴(4-R)2+62=R2,解得R=OC=,
∴OQ=.
根据圆心角与圆周角的关系可知∠BPC=∠BOC=∠QOC,
∴cos∠BPC=cos∠QOC==.
2.解析:如
图,以EF为弦作☉O,当☉O与PQ相切,此时切点M满足∠EMF最大.
过点O作BC的平行线,与AB交于点G,与PQ交于点H,过点H作HN⊥BC,连接OE,OM,EM,MF.
∵四边形ABCD为矩形,EF=8,
∴GH⊥AB,且GH平分EF,即GE=EF=4.
又∵∠BPQ=135°,GH∥BC,
∴∠HPN=∠GHP=45°,
∴△HNP为等腰直角三角形.
由EB=FA,EG=FG=4,AB=66可知,
GB=GA=33,故HN=33,PH=33.
由BP=7,可得BN=BP+PN=33+7=40.
∵PQ是☉O的切线,且∠OHM=45°,
∴OM⊥HM,且满足△OMH为等腰直角三角形.
设☉O的半径为R,则OM=HM=R,OH=R,
∴OG=GH-OH=40-R.
在Rt△OGE中,OG2+GE2=OE2,即(40-R)2+42=R2,
解得R1=40-12,R2=40+12(舍去),
∴PM=PH-MH=33-(40-12)=12-7.
类型6　利用切线性质探究最值问题
例11　解析:如图,作△ABC的外接☉O,根据题意可知S矩形EBCF=2S△ABC,
故要使得矩形EBCF的面积最大,只需△ABC的面积最大即可.
过点A作AD⊥BC,连接OA,OB,过点O作OG⊥BC,
∴在Rt△BOG中,∠BOG=∠BOC=∠BAC=α,
故OA=OB===,
OG=OB·cos∠BOG=.
∵OA+OG≥AD,∴ADmax=OA+OG=+=,
∴(S△ABC)max=BC·AD=·a·,
∴当A为EF的中点时,矩形EBCF的面积最大,
此时(S矩形EBCF)max=2S△ABC=.
变式设问　解析:存在.理由如下:
如图,作△BMN的外接圆☉O,连接OM,ON,OB,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AD,OG⊥CD.
∵∠A=90°,∴四边形AEOF为矩形,∴∠FOE=90°.
根据圆周角与圆心角的关系可知∠NOB=90°,
∴∠FON+∠NOE=∠EOB+∠NOE=90°,故∠FON=∠EOB.
又∵ON=OB,∴△OFN≌△OEB,即FN=BE,OF=OE,∴矩形AEOF为正方形.
∵在Rt△ABN中,NB==20,
∴在等腰Rt△ONB中,ON=OB=NB=×20=20,即OM=20.
设FN=EB=x,则OE=AF=x+20.
在Rt△OBE中,OE2+BE2=OB2,
即(x+20)2+x2=(20)2,解得x1=20,x2=-40(舍去),故AF=OE=40.
∵OG≤OM,且AD=AF+FD=40+DF=40+OG≤40+OM,
∴ADmax=40+OM=40+20,
∴(S矩形ABCD)max=AD·AB=(40+20)×60=2 400+1 200(m2).
题型4　与图形变换结合的问题探究
类型1　“将军饮马”求最值——单动点问题
例1　解析:
(1)如图,作点D关于BC的对称点D',连接D'Q,AP,过点D'作D'E⊥AB交AB的延长线于点E,
则QD=QD',DK=D'K,
∴PQ+QD=PQ+QD'=AQ-AP+QD'.
当A、P、Q、D'在同一条直线上时,PQ+QD=AD'-AP取得最小值.
∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴AC===10.
∵D是边AC的中点,
∴CD=AC=5.
∵DK∥AB,
∴△CDK∽△CAB,
∴==,即==,
∴DK=3,CK=4,
∴D'K=3,BK=4.
∵∠E=∠EBK=∠BKD'=90°,
∴四边形BED'K是矩形,
∴D'E=BK=4,BE=D'K=3,
∴AE=AB+BE=6+3=9,
∴AD'===.
∵AP=2,
∴PQ+QD的最小值=-2.
变式设问　解析:设△ABP的边AB上的高为h.
∵S△PAB=S矩形ABCD,
∴AB·h=AB·AD,∴h=AD=2,
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上.
如图,作点A关于直线l的对称点E,连接AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,
∴BE===4,
即PA+PB的最小值为4.
类型2　“将军饮马”求最值——双动点问题
例2　解析:
如图,作点P关于OA的对称点F,点P关于OB的对称点E,连接EF,OE,OF,EN,MF.
∵PN=EN,PM=MF,
∴C△PMN=PN+PM+MN=EN+MF+MN≥EF,
则EF即△PMN周长的最小值.
∵∠AOB=60°,
∴∠EOF=120°.
由对称性可知,OF=OP=OE=2,
∴∠OEF=∠OFE=30°,
∴EF=2.
∴△PMN周长的最小值为2.
例3　解析:
如图,连接MQ,NQ,过点Q作QK⊥MN于点K,作点A关于直线MN的对称点A',将E向左平移10 m得到点E',过点E'作E'L∥AB,过点A'作A'L⊥E'L于点L,连接A'M,A'E',E'M.
∵M,N是半圆Q的三等分点,且半径为10 m,
∴△QMN为等边三角形,且MN∥BC,MN=10 m.
∵QK⊥MN,QM=10 m,
∴QK=5 m,
∴随着圆心Q在BC上运动,MN在平行于BC且到BC距离为5的直线上运动.
∵EE'∥MN且EE'=MN=10,
∴四边形EE'MN是平行四边形,
∴NE=ME',
∴PM+NE=PM+ME'=AM-AP+ME'=AM+ME'-10.
∵E是CD的中点,
∴DE=CD=100(m),
∴E'L=AA'-DE=2(AB-QK)-DE=2×(200-5)-100=290(m),
A'L=BC-E'E=400-10=390(m).
在Rt△A'E'L中,A'E'===20(m),
∴PM+NE最小值=A'E'-AP=(20-10)m.
变式设问　1.解析:如图,作点D关于OM的对称点D',点A关于ON的对称点A',连接A'D',与OM,ON的交点就是所求的C,B两点.
此时AB+BC+CD=A'B+BC+CD'=A'D',为最短距离.
连接DD',AA',OA',OD',D'C,A'B.
∵OA=OA',∠AOA'=∠AOB+∠BOA'=2∠AOB=60°,
∴∠OAA'=∠OA'A=60°,
∴△OAA'是等边三角形.
同理,△ODD'也是等边三角形,
∴OD'=OD=4,OA'=OA=2,∠D'OA'=90°,
∴A'D'==2,
∴AB+BC+CD的最短长度为2.
2.解析:
如图,作E关于BC的对称点F,在AD上截取AG=20 m,连接FG交BC于点N,
则FN=EN,
∵AG=MN=20 m,AG∥MN,
∴四边形AMNG是平行四边形,
∴AM=GN,
∴EN+AM=FN+GN=GF.
∵AB=CD=60 m,E为CD的中点,
∴DF=CD+CF=90(m),DG=AD-AG=40(m).
由勾股定理得GF==10(m),
∴EN+AM=10(m),
即EN+AM的最小值为10 m,此时==,∴CN=DG=(m).
∵AE==30(m),MN=20 m,
∴AM+MN+NE+EA的最小值为(10+30+20)m,
故此时CN的长为 m,AM+MN+NE+EA的最小值为(10+30+20)m.
类型3　“两动一定”问题的探究
例4　解析:如图
,作点F关于AD的对称点G,过点G作GN⊥AE于点N,交AD于点M.
此时GN的长等于MN+MF的最小值.
∵△DGM≌△DFM,∴∠DMF=∠GMD.
∵∠GMD=∠AMN,
且∠AMN+∠MAN=∠MAN+∠BAE=90°,
∴∠FMD=∠BAE=∠AMN,
∴△ABE∽△MDF∽△MNA,
∴=,=,=.
∵AB=4,E是BC边的中点,
∴BE=2,AE=2.
∵DF=1,
∴DM==2,
∴AM=AD-DM=2.
∵AN===,
∴MN==.
∵GM==,
∴GN=GM+MN=.
∴MN+MF的最小值为.
变式设问　解析:如图1,过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,连接OB.
∵AD∥BC,∠A=90°,
∴∠B=90°,OE∥BC,OF∥AB,
∴四边形OEBF为矩形.
∵AD∥OE∥BC,
∴=.
又∵O是CD的中点,
∴OD=OC,
∴AE=BE=30 cm,
∴OE=(AD+BC)=30(cm),
∴矩形OEBF为正方形.
在Rt△BOE中,BO===30(cm).
∵S四边形ABCD=×(AD+BC)·AB=1 800(cm),
∴S四边形OMBN=S四边形ABCD=600(cm).
又∵S四边形OMBN=S△BMO+S△BNO=×BM×OE+×BN×OF=15×(BM+BN)=600(cm),
∴BM+BN=40(cm),
∴CN=BM.
如图2,过点C作CG∥OB,取一点G使CG=OB,连接OG,NG,作GP⊥OE于点P,交BC于点Q.
∵CG∥OB,
∴∠GCB=∠CBO=∠MBO=45°.
∵CG=OB,∠GCB=∠MBO,CN=BM,
∴△CNG≌△BMO,
∴CG=OB=30 cm,NG=OM.
∵GP⊥OE,∠GCB=45°,
∴∠CGQ=45°,
∴CQ=QG.
在Rt△CQG中,CG===CQ=30 cm,
∴CQ=GQ=30 cm,
∴EP=BQ=40-30=10 cm,
∴OP=30-10=20 cm.
∵PG=PQ+QG=60 cm,
∴在Rt△OPG中,OG===20 cm.
∵OM+ON=GN+NO≥OG=20 cm,
∴裁剪长度(OM+ON)的最小值为20 cm.
图1　　　图2
类型4　“胡不归”模型求线段和最值问题
例5　解析:(1)如图1,将射线l绕点A逆时针旋转30°得到l',
过点B作BC⊥l',过点P作PC'⊥l',与l交于点B'.
由于∠BAC=30°,故BC=AB,B'C'=AB',
而PB+AB=PB+BC,PB'+AB'=PB'+B'C'=PC',PB+BC≥PC',
∴当点B在点B'的位置时,满足PB+AB最小.
图1　　　　　图2　　　　　图3
(2)如图2,将射线l绕点A逆时针旋转45°得到l',
过点B作BC⊥l',过点P作PC'⊥l',与l交于点B'.
由于∠BAC=45°,故BC=AB,B'C'=AB',
而PB+AB=PB+BC,PB'+AB'=PB'+B'C'=PC',PB+BC≥PC',
∴当点B在点B'的位置时,满足PB+AB最小.
(3)如图3,将射线l绕点A逆时针旋转60°得到l',
过点B作BC⊥l',过点P作PC'⊥l',与l交于点B'.
由于∠BAC=60°,故BC=AB,B'C'=AB',
而PB+AB=PB+BC,PB'+AB'=PB'+B'C'=PC',PB+BC≥PC',
∴当点B在点B'的位置时,满足PB+AB最小.
变式设问　解析:设铁路上的运费为a元/km,公路上的运费为2a元/km,总费用为a·MA+2a·MB=2aMB+MA,要总运费最小,则要MB+MA最小.
如图,作BD⊥AC,垂足为D,在AC异于点B的一侧作∠CAN,∠CAN=30°,作BF⊥AN,垂足为点F,交AC于点M,则点M即所求.
在Rt△ABD中,∵AB=600 km,BD=360 km,
∴AD==480(km).
易知∠MBD=∠MAF=30°,
在Rt△MBD中,∠MBD=30°,BD=360 km,则MB=2MD,
由勾股定理得MD=120 km,
∴AM=AD-MD=(480-120)km.
类型5　利用旋转解决线段和问题——
“费马点”探究
例6　解析:如图,将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△A'BN,连接A'C,MN.
由旋转的性质可知A'N=AM,BN=BM.
∵∠MBN=60°,
∴△BMN为等边三角形,即有BM=MN,
∴MA+MB+MC=A'N+MN+MC≥A'C,
∴当点M,N在A'C上时,满足MA+MB+MC最小.
此时∠BMC=180°-∠BMN=120°,
∠AMB=∠A'NB=180°-∠MNB=120°,
∴∠AMC=360°-120°-120°=120°,
即当在△ABC内的点M满足∠AMB=∠BMC=∠AMC=120°时,MA+MB+MC最小.
变式设问　解析:
如图,将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AP1E,连接ED,从而可得△AED为等边三角形,并作其外接圆,过点P作PQ⊥BC于点Q,过点E作EQ'⊥BC于点Q',并与△ADE的外接圆交于点P',连接P'A,P'D,则此时P'A+P'D+P'Q'最短.
理由:由于∠AED=60°,根据圆内接四边形的性质可知∠AP'D=120°.
∵EP'⊥AD,∴根据等边三角形的性质可知,∠AP'E=∠DP'E=∠AP'D=60°.在EP'上截取P'P2=AP',故△AP'P2为等边三角形,即AP2=AP'=P2P',
∴∠EAD=∠P2AP'=60°,故∠EAP2=∠DAP',
∴△EAP2≌△DAP',即P2E=P'D,P2A=P'A,
∴P'A+P'D+P'Q'=P2P'+P2E+P'Q'=EQ'.
又根据作图可知,△AP1E≌△APD,即P1E=PD,AP=PP1,∴PA+PD+PQ=P1P+P1E+PQ.
根据点到直线垂线段最短可知,P1P+P1E+PQ≥EQ',
∴当点P在点P'的位置时,所铺设管道P'A+P'D+P'Q'的长度最短.而AD=a,AB=b,
∴EQ'=P'A+P'D+P'Q'=a·sin 60°+b=a+b.
类型6　利用图形间的旋转变换求最值问题
图1
例7　解析:(1)如图1,过点O作OA'⊥l,即当点A运动到点A'时,对应的OA'旋转到OB'的位置,连接BB'交直线l于点C.
根据旋转的性质可知,OA=OB,∠AOA'=∠BOB,OA'=OB',
∴△OAA'≌△OBB',即∠OAA'=∠OBB'.
又∵∠ADO=∠CDB,∴∠AOB=∠ACB,
而∠AOB是一个定角,即∠ACB为定角,故点B的运动轨迹为直线BB'.
(2)如图2,连接BD,BC,将BC绕点C旋转至CE,使得∠BCE=∠BAD,连接BE,DE.
图2
由AB=AD,BC=CE,可得=,且∠DAB=∠ECB,
∴△DAB∽△ECB,故=,∠DBA=∠EBC,
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE∽△ABC,即∠BDE=∠BAC.
又∵∠BAC为定角,△BCE的形状一定,且BE的长一定,∴点D的轨迹为以∠BDE为圆周角的圆.
例8　解析:
如图,作△BCE∽△BAD,且===,作DF⊥BE于点F,作AG⊥CD于点G,
∴∠CBE=∠ABD,∠BEC=∠ADB,BE=BD=400(m),CE=AD,
∴∠DBE=∠ABC,
∴sin∠DBE=sin∠ABC=,
∴sin∠BDF=,
∴DF=BD·sin∠DBE=400(m),
BF=BD·sin∠BDF=300(m),
∴EF=BE-BF=100(m),
∴DE===100(m).
∵AG=AD,即∠BAD+∠BCD=360°-90°=270°,
∴∠BCE+∠BCD=270°,故∠DCE=360°-270°=90°,
∴S△CDE最大值=DE2=×170 000=42 500(m2),
∴====,
∴S△ACD最大值=×42 500=31 875(m2).
变式设问　1.　解析:方法一:如图1,将△EFB绕点E顺时针旋转60°,使EF与EG重合,得到△EGH,连接BH,∴△EFB≌△EGH,∴∠BEH=60°,∴BE=HE=1,∠GHE=∠FBE=90°,
∴△EBH为等边三角形.
延长HG交CD于点N,
过点C作CM⊥HN于点M,由垂线段最短可知,CM即为CG的最小值,过点E作EP⊥CM于点P,则四边形HEPM为矩形,
∴MP=HE=1,∠HEP=90°,∴∠PEC=30°.∵EC=BC-BE=3,
∴CP=EC=,∴CM=MP+CP=1+=,
即CG的最小值为.
方法二:如图2,以CE为边作等边三角形CEH,连接FH,
则△CEG≌△HEF,∴CG=FH,
当FH⊥AB时,FH最小=1+=.
2.解析:
如图,取圆心O,连接OA,OB,OC,OD,
∵☉O的面积为256π m2,
∴πAO2=256π m2,
∴AO=16 m.
∵AB=CD=16 m2,
∴AB=CD=AO=BO=CO=DO,
∴△ABO和△COD是等边三角形,
∴∠AOB=∠COD=60°,S△AOB=S△COD=×162=64(m2),
∴∠AOD+∠BOC=240°.
将△AOD绕点O顺时针旋转到△A'OC的位置,过点O作OH⊥A'B于点H,
∴∠A'OC+∠BOC=240°,
∴∠A'OB=120°.
∵OB=OA',OH⊥A'B,
∴∠OA'B=∠OBA'=30°,
∴OH=OB=8(m),BH=OH=8(m),
∴A'B=16(m),
∵S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△AOD+S△COB,
∴当△AOD的面积与△COB的面积的和有最大值,则四边形ABCD面积有最大值,
即当△A'OC的面积与△COB的面积的和有最大值,则四边形ABCD面积有最大值.
∵△OA'B的面积是定值,
∴当△BCA'的面积有最大值时,△A'OC的面积与△COB的面积的和有最大值,
当C,O,H三点共线时,△BCA'的面积有最大值,
此时S△A'OC+S△COB=×16×(8+16)-×16×8=128(m2),
∴四边形ABCD的最大面积=2×64+128=256(m2).
3.解析:(1)由已知可得BC=BC',BA=BA',∠CBA=∠C'BA'=60°,
∴∠CBA+∠ABC'=∠C'BA'+∠ABC',
即∠CBC'=∠ABA',
∴△CBC'∽△ABA',∴=.
∵=sin∠CAB=,∴=,
∴AA'=2CC'=2×4=8.
(2)如图,作OM⊥AB,使得OM∶OB=3∶4,连接BM,MF,此时OM==.
∵tan∠MBO=tan∠EBF=,
∴∠OBM=∠EBF,
∴∠OBE=∠MBF.
∵OM∶OB∶BM=3∶4∶5,EF∶EB∶BF=3∶4∶5,
∴=,∴△OBE∽△MBF,
∴==.
∵OE=2,∴MF=,
∴点F的运动轨迹是以M为圆心,为半径的圆,
∴当点F在OM的延长线上时,四边形ACBF的面积最大,且四边形ACBF的面积的最大值=S△ABC+S△FAB=AC·BC+AB·(OM+MF)=×5×5+×10×+=.
类型7　利用构造法解决几何应用问题
例9　　解析:如图,作点C关于直线AB的对称点D,连接AD,BD,延长DA到点H,使得AH=AD,连接EH,BH,DE.
∵CA=CB,∠C=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵C,D关于AB对称,
∴DA=DB,∠DAB=∠CAB=45°,∠ABD=∠ABC=45°,
∴∠CAD=∠CBD=∠ADB=∠C=90°,
∴四边形ACBD是矩形.
∵CA=CB,
∴四边形ACBD是正方形.
∵CF=AE,CA=DA,∠C=∠EAD=90°,
∴△ACF≌△DAE(SAS),
∴AF=DE,
∴AF+BE=ED+EB.
∵CA垂直平分线段DH,
∴ED=EH,
∴AF+BE=EB+EH.
∵EB+EH≥BH,
∴AF+BE的最小值为线段BH的长,在Rt△BHD中,BH===,
∴AF+BE的最小值为,
故答案为.
变式设问　1.4　解析:
(1)如图,依托等线段BE=CF(定点B与定点C对应、动点E与动点F对应),构造△ABE≌△BCF,则BF+DE=AE+DE.
(2)作点A关于BC的对称点A',连接DA',则DA'为所求的最小值,最小值为4.
2.　解析:
如图,依托等线段AE=CD(定点A与定点C对应、动点E与动点D对应),构造△CDG≌△AEC,则BD+CE=BD+DG≥BG;易知∠DCG=∠EAC=30°,∠BCG=90°;
又∵CG=AC=1,故BG=,即BD+CE的最小值为.
例10　解析:方法一:代数法
如图1,
作EG⊥AD于点G.
∵=,AD=4,
∴AM=3.
设DF=a,则BE=2a,
∴GM=AM-AG=3-2a.
在Rt△ADF中,
AF==.
在Rt△EGM中,
ME==,
∴ME+2AF=+
=+,
ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中,
点H(2a,0)到定点I(3,4),J(0,8)的距离之和最小.
如图2,作J的对称点K,连接KI,
则KI与x轴的交点是点H,此时ME+2AF最小,
作IT⊥y轴于点T,
∴(ME+2AF)最小=KI===3.
方法二:几何法
如图3,延长AB到点N,使得BN=2AD,连接EN,易证△BEN∽△DFA,∴==2,即EN=2AF,从而ME+2AF=ME+EN;连接MN,
∴ME+EN≥MN,当且仅当M,E,N三点共线时取等号,此时ME+EN的值最小,最小值为MN;如图4,在Rt△AMN中,AM=3,AN=12,∴MN===3,
故(ME+2AF)min=(ME+EN)min=MN=3.
变式设问　1.　解析:方法一:如图1,构造△BEG∽△DFA,则==,故GE=AF,∴2AE+AF=2AE+AF=2(AE+GE)≥2AG,当且仅当A,E,G三点共线时,2AE+AF取最小值,再作GH⊥AB于点H,则BG=AD=10,BH=6,GH=8,故AH=21,在Rt△AHG中,AG===,即2AE+AF的最小值为.
方法二:同理,如图2,构造△DFG∽△BEA,则AG即所求.
2.4　解析:如图1,过点C作CF⊥DC,使得CF=2CD,连接EF,易证△CEF∽△DBC,∴==2,即EF=2BC,从而AE+2BC=AE+EF;连接AF,AE+EF≥AF,当且仅当A,E,F三点共线时取等号,此时AE+AF的值最小,最小值为AF;如图2,过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M,则DM=CF=2CD=8,FM=CD=4,在Rt△AMF中,AF===4,∴(AE+2BC)min=(AE+EF)min=AF=4.
例11　解析:
符合要求.
理由:如图,过点A作CD的平行线,过点D作AC的平行线,两条平行线交于点F.
∵CA=CD,∠DAC=45°,
∴∠ACD=90°,
∴四边形FDCA为正方形.
∵PE是CD的垂直平分线,
∴PE是AF的垂直平分线,
∴PF=PA.
∵AP=AC,
∴PF=PA=AF,
∴△PAF为等边三角形,
∴∠PAF=60°,
∴∠BAP=60°-45°=15°,
∴裁得的△ABP型部件符合要求.
变式设问　解析:
可行,“□”内的数字是30.
理由:在Rt△ACO中,cos∠AOC==,∴∠AOC=60°.
如图,取EF的中点P,连接AP.
∵OB∥直线l,AC⊥OB,
∴AC⊥AE,∠AEF=∠BOE,
∴∠FAE=90°.
∵EP=PF,EF=30,
∴AP=FP=EP=AO=15,
∴∠AEF=∠EAP,∠AOP=∠APO,
∴∠AOP=2∠AEF=2∠BOE,
∴∠BOE=∠AOB=20°.

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