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1.2 锐角三角函数的计算 同步分层练习讲义
知识点1．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点2．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
题型强化
题型一．锐角三角函数的增减性
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1．（2023 舟山开学）下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
【分析】熟知三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键．
【解答】解：因为当为锐角时，
的值随的增大而增大，的值随的增大而减小，
所以．
又因为，，且，
所以．
所以．
故选：．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值，熟知锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2022 拱墅区模拟）如图所示的网格是正方形网格，　　．（填“”，“ ”或“”
【分析】解法一：取点、，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据，，来作判断；
解法二：作辅助线，构建三角形及高线，先利用面积法求高线，再分别求、的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
【解答】解：解法一：在上取一点，在网格上取点，构建为等腰直角三角形，
；
解法二：连接，，过作于，
，
，
，
中，，
中，，
正弦值随着角度的增大而增大，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
3．已知，凸边形是非零自然数）各内角都是的整数倍，又关于的方程：
均有实根，求这凸边形各内角的度数．
【分析】首先根据的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根
的情况进行分析．
【解答】解：各内角只能是，，，，，
正弦值只能取，，1，
若，
，，
方程①的判别式△，
方程①无实根，与已知矛盾，
故，
同理，，
若，则，，
方程①的判别式△，方程①无实根，与已知矛盾，
，同理，，
综上，，，
这样，其余个内角之和为，这些角均不大于，
，
故，又为正整数，
，即多边形为凸六边形，且，
，，，
．
【点评】此题综合运用了特殊角的锐角三角函数值以及一元二次方程根的情况进行分析．
题型二、特殊三角形的三角函数
4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂、求一个数的立方根、特殊三角形的三角函数、无理数
【分析】本题考查零指数幂，特殊角的三角函数值，开方运算，无理数的识别，先化简各数，再根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：在中，是无理数的是：；
故选D．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）计算： ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的．
根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
6．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）计算：；
（2）化简： ．
【答案】（1）；（2）
【知识点】特殊三角形的三角函数、分式化简求值、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的约分．
（1）根据乘方的意义、负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）按照同分母分式相减法则进行计算，然后把分母分解因式，进行约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
题型三、特殊角三角函数值的混合运算
7．（23-24九年级下·浙江·自主招生）的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键．
先用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算 ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
9．（2024·浙江杭州·三模）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】实数的混合运算、整式四则混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，平方差公式，单项式乘多项式，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
题型四、用计算器求锐角三角函数值
10．（2022九年级下·浙江·专题练习）右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用计算器求锐角三角函数值
【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可．
【详解】
解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：A．
【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用．
11．（九年级下·浙江·课后作业）要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为 .（用计算器计算，精确到1″）．
【答案】22°9′12″
【知识点】用计算器求锐角三角函数值
【分析】首先求得GF的长，然后在直角△AGF中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：EG=CD-AB=150-124=26（cm），
则GF=83-EG=83-26=57（cm），
则在直角△AGF中，tanα== ，由计算机可得：α=22°9′12″
故答案为22°9′12″.
【点睛】本题考查三角函数的定义，解题关键是理解定义，求得GF的长．
12．（2022九年级下·浙江·专题练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0.7314
(2)0.2164
(3)0.9041
(4)
【知识点】求一个数的近似数、用计算器求锐角三角函数值
【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．
题型五、已知角度比较三角函数值的大小
13．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小
【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可．
【详解】解：∵，
又，余弦值随着角度的增大而减小，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出．
14．（2021·浙江杭州·二模）比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接 ．
【答案】sin30°＜cos30°
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小
【分析】将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．
【详解】解：∵cos30°=sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
∴sin30°＜sin60°，
故答案为：sin30°＜cos30°．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键．
15．（浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________；
（2）猜想：___________；
（3）根据上述猜想结果，解决下面的问题：
若，且，求值．
【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3）
【知识点】利用同角三角函数关系求值、已知角度比较三角函数值的大小
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
（2）由（1）中的结论，即可猜想出；
（3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果．
【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1；
sin245°+cos245°==1；
sin260°+cos260°==1；
（2）由（1）可得：
；
（3）∵，，
且，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
题型六．计算器—三角函数
16．在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序
正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：如图，在中，，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
17．（嘉兴）计算：．
温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！
方式一：（用计算器计算）计算的结果是　　．
按键顺序为：
方式二：（不用计算器计算）
【分析】选择不用计算器计算，简便且节约时间．
【解答】方式一：（用计算器计算）
计算的结果是．
按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）
方式二：（不用计算器计算）
原式
．
【点评】主要考查特殊三角函数值和二次根式的运算，比较容易．
分层练习
一、单选题
1．4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．下列三角函数中，结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可得到答案．
【详解】解：A.，不符合题意，选项错误；
B.，不符合题意，选项错误；
C.，不符合题意，选项错误；
D.，符合题意，选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
3．在中，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
【点睛】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.
4．在△ABC中，，则△ABC为（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据绝对值的非负性得出tanA-3=0，2cosB-，再根据特殊角的三角函数值得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：由题意得：tanA-3=0，2cosB-，
得：tanA= ，cosB= ，
得
则
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
5．如图，中，为边的中点，，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、斜边的中线等于斜边的一半、判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】根据直角三角形的性质求出的长，进而利用勾股定理的逆定理证明，解直角三角形求出，则，进一步证明是等边三角形，得到，则，可得．
【详解】解：∵为边的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理，证明，解直角三角形求出是解题的关键．
6．若α是锐角，sinαcosα=p，则sinα＋cosα的值是（ ）
A．1＋2p B． C．1－2p D．
【答案】B
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【详解】解：由sinα+cosα平方，得
(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2p．
∵α是锐角，
∴sinα+cosα>0，
∴sinα+cosα=，
故选：B.
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD于点F，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE==；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
8．如图，在中，为直径，点分别为的中点，都垂直，且分别交于点，现有下列结论：①；②；③；④四边形为正方形，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，如图所示，连接，设圆的半径长是，则．先证明得到，即可判断①；解，得到，同理，，则，即可判断②；由圆周角定理得到，则，即可判断③；由，即可判断④．
【详解】解：如图所示，连接，
设圆的半径长是，则．
∵，，
∴
在直角和直角中，
，
∴，
∴，故①正确；
在中，，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴四边形不是正方形，故④错误．
∴正确的是：①②③．
故选：A．
9．已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】过点D作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，可证，利用三角函数，比例式计算即可．
本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的余弦函数，熟练掌握正方形的判定和性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】过点D作于点M，作于点N，
∵,
∴四边形是矩形，
∵平分,
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
故选B．
10．如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角函数综合、根据正方形的性质求线段长
【分析】过点A作于点F，交于点G，利用正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离．
熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点F，交于点G，
∵，
∴，
∵相邻两条平行直线间的距离都是2，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离．
熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
二、填空题
11．计算＝ ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】先化简和代入特殊角的三角函数值，再约分和进行乘法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的化简和熟记特殊角
的三角函数值是解题的关键．
12．计算： ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】根据二次根式的乘除法则以及特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算以及特殊角的三角函数值，熟悉实数的运算法则是解题关键．
13．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小
【分析】正弦函数值小于1，而tan50°＞tan45°，故tan50°＞1即可比较二者大小．
【详解】解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，
∴tan50°＞1，
又sin80°＜1，
∴sin80°＜tan50°；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了锐角三角函数,正弦函数值,正切函数值,熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′）
【答案】 13 22°36′ 67°24′
【知识点】给出三角函数值，用计算器求锐角度数、求角的正弦值、用勾股定理解三角形
【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴由勾股定理可知： ，
∴，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是 ．
【答案】（﹣1，0）或（3，0）
【分析】依题意得，即，可得一次函数解析式为，所以，，由tan∠ABO＝2得到且可解得或，进而求得结论．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
即，
∴一次函数解析式为，
∴一次函数与x轴、y轴的交点坐标为（，0）、（0，），
∴，，
∵,
∴且，
解得，或，
当时，OA=1，此时点A在x轴负半轴上，所以点A坐标为（﹣1，0），
当时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），
∴点的坐标是或
故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解决本题时要注意点A的坐标有两种情况，不要漏解．
16．如图，为等边三角形，，点，分别在边，上，，连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质
【分析】如图，取的中点，连接， ，过点作于点．先求出，由三角形中位线性质可求，∥．，∥，由是等边三角形，可求，利用三角函数可求，，由勾股定理可求即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接， ，过点作于点．
在中， ，分别是，的中点．且，
，∥．
在中， F，分别是，的中点．且，
，∥．
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查三角形中位线，等边三角形性质，平行线性质，特殊角锐角三角函数值，勾股定理，掌握上述知识，合理添加辅助线是解题关键．
三、解答题
17．计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2
【答案】2
【知识点】特殊三角形的三角函数、实数的混合运算
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值以及实数的运算法则即可求出答案．
【详解】原式＝3﹣4﹣1+4
＝2
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．
18．计算下列各题．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)4
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．
（1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1）计算：．
（2）如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好与甲影子在同一条直线上，已知甲身高米，乙身高米，甲的影长是6米，求甲、乙两同学相距是多少米．
【答案】（1）；（2）甲、乙两同学相距是1米
【知识点】特殊三角形的三角函数、相似三角形实际应用、二次根式的加减运算、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，求特殊角三角形函数值，二次根式的加减计算，负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再去绝对值和化简二次根式，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可得到答案；
（2）设两个同学相距x米，则米，证明，则，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）设两个同学相距x米，则米，
由题意得，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴甲、乙两同学相距是1米．
20．如图，在菱形中，分别过点B，D作菱形对角线的垂线交，的延长线于点E，F，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】特殊三角形的三角函数、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）通过菱形的特征，结合已知条件，证明四边形BEFD是平行四边形，进而证明是矩形．
（2）由菱形的特征，求得其对角线BD的长、找到相应的特殊角，进而利用特殊角的三角函数值求得矩形的边长，进而得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
由得：．
矩形的周长为．
【点睛】本题考查菱形的特征、平行四边形的判定、矩形的判定、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π）
【答案】
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、求弧长、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程，解得，再解直角三角形得到，则，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
∴公路的转弯处的长为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形，正确求出是解题的关键．
22．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到）
(1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？
(2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)，
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）过点作于点，易证得，因而升高量，利用含度角的直角三角形的性质可求得，进而可求得升高量；
（2）过点作于点，由升降范围可求得，利用锐角三角函数可求得的大小，进而可求得点滑动的距离．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，
，
升高量，
，
在中，，
升高量，
答：这款电脑桌升高了；
（2）解：如图，过点作于点，
它的升降范围是，
，
在中，，
，
，
由（1）得：，
点滑动的距离为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
23．如图，是的直径，点在上．
(1)请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．（如需画草图，请使用图2）
(3)在（1）中所作的图形中，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用
（1）以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，规范画出即可．
（2）根据证明即可．
（3）过点A作于点H，根据得到，利用等腰三角形的三线合一性质，得到，，得到，根据
，，得，根据，得到，继而利用，求得的长．
【详解】（1）以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，直尺画图如下：
．
（2）设与得交点为点E，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
（3）过点A作于点H，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．如图，在矩形ABCD中，，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接ME．
如图1，若，过点M作交线段BC于点G，连接EG，判断的形状，并说明理由；
如图2，若，延长EM交线段CD的延长线于点F，过点M作交线段BC的延长线于点G
直接写出线段AE长度的取值范围：
判断的形状，并说明理由．
【答案】是等腰直角三角形（2）①是等边三角形
【知识点】四边形其他综合问题、由三角函数值求锐角
【分析】过点G作于H，通过条件可以证明≌，得出，进而得出结论．
当点G、C重合时，根据四边形是矩形，得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，代入数据求得；当、重合时，最长为，从而求出AE的取值范围．
过点G作交AD延长线于点H，证明∽，可以得出，从而求出，就可以求出，再通过条件证明≌，得出，由题知，得出，从而就可以得出结论．
【详解】是等腰直角三角形．
，
证明如下：过点G作于H，如图1
，
四边形ABGH是矩形．
．
，M是AD的中点，
，
，
．
．
，
．
在与中
，
≌．
．
是等腰直角三角形．
当C、G重合时，如图2，
四边形ABCD是矩形，
，
．
，
．
，
，
∽
，
，
，
当、重合时，最长为.
．
是等边三角形．
证明：过点G作交AD延长线于点H，如图3，
，
四边形ABGH是矩形．
．
，
．
．
，
．
又，
∽．
，
在中，
．
．
在与，
，
≌（ASA）．
．
，
．
是等边三角形．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．1.2 锐角三角函数的计算 同步分层练习讲义
知识点1．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点2．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
题型强化
题型一．锐角三角函数的增减性
中小学教育资源及组卷应用平台
1．（2023 舟山开学）下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
2．（2022 拱墅区模拟）如图所示的网格是正方形网格，　　．（填“”，“ ”或“”
3．已知，凸边形是非零自然数）各内角都是的整数倍，又关于的方程：
均有实根，求这凸边形各内角的度数．
题型二、特殊三角形的三角函数
4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江杭州·模拟预测）计算： ．
6．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）计算：；
（2）化简： ．
题型三、特殊角三角函数值的混合运算
7．（23-24九年级下·浙江·自主招生）的值是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算 ．
9．（2024·浙江杭州·三模）（1）计算：；
（2）化简：．
题型四、用计算器求锐角三角函数值
10．（2022九年级下·浙江·专题练习）右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（九年级下·浙江·课后作业）要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为 .（用计算器计算，精确到1″）．
12．（2022九年级下·浙江·专题练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型五、已知角度比较三角函数值的大小
13．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·浙江杭州·二模）比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接 ．
15．（浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________；
（2）猜想：___________；
（3）根据上述猜想结果，解决下面的问题：
若，且，求值．
题型六．计算器—三角函数
16．在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是　　
A． B．
C． D．
17．（嘉兴）计算：．
温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！
方式一：（用计算器计算）计算的结果是　　．
按键顺序为：
方式二：（不用计算器计算）
分层练习
一、单选题
1．4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列三角函数中，结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，则△ABC为（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
5．如图，中，为边的中点，，，，，则（ ）

A． B． C． D．
6．若α是锐角，sinαcosα=p，则sinα＋cosα的值是（ ）
A．1＋2p B． C．1－2p D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD于点F，则的值为( )
A． B． C． D．
8．如图，在中，为直径，点分别为的中点，都垂直，且分别交于点，现有下列结论：①；②；③；④四边形为正方形，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．计算＝ ．
12．计算： ．
13．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′）
15．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是 ．
16．如图，为等边三角形，，点，分别在边，上，，连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ．
三、解答题
17．计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2
18．计算下列各题．
(1)
(2)
19．（1）计算：．
（2）如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好与甲影子在同一条直线上，已知甲身高米，乙身高米，甲的影长是6米，求甲、乙两同学相距是多少米．
20．如图，在菱形中，分别过点B，D作菱形对角线的垂线交，的延长线于点E，F，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的周长．
21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π）
22．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到）
(1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？
(2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，）
23．如图，是的直径，点在上．
(1)请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．（如需画草图，请使用图2）
(3)在（1）中所作的图形中，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2）
24．如图，在矩形ABCD中，，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接ME．
如图1，若，过点M作交线段BC于点G，连接EG，判断的形状，并说明理由；
如图2，若，延长EM交线段CD的延长线于点F，过点M作交线段BC的延长线于
点G
直接写出线段AE长度的取值范围：
判断的形状，并说明理由．

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