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1.1 锐角三角函数 同步分层练习讲义
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA．
知识点3．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
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知识点4．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
题型强化
题型一．锐角三角函数的定义
1．（2024 丽水一模）如图，在中，，，，则的值是　　
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：在中，，，，
，
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．
2．（2024 南湖区校级一模）在中，，，则的值为 　　．
【分析】根据勾股定理，可得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案．
【解答】解：设，，由勾股定理，得
，
由三角函数的正弦等于对边比斜边，得
．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（2022 湖州）如图，已知在中，，，．求的长和的值．
【分析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值．
【解答】解：，，，
，
．
答：的长为4，的值为．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
题型二．同角三角函数的关系
4．（2024 宁波模拟）在中，已知，设，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得，，可得，根据三角形三边的关系得，所以，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和三角形三边的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义和三角形三边的关系是关键．
5．（2024 宁波模拟）已知，则　　．
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的意义，设辅助未知数可求出答案．
【解答】解：如图，在中，
由于，
设，则，
由勾股定理得，
，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义以及勾股定理是正确计算的前提．
6．（杭州模拟）下列关系式是否成立，请说明理由．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在中，，．
则，故不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设，则，，
，
，即不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
题型三．互余两角三角函数的关系
7．（2023 杭州一模）在中，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由锐角的正弦、正切定义即可计算．
【解答】解：，，
令，则，
，
．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦、正切定义．
8．（2022 西湖区校级二模）已知中，，，则　　．
【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
【解答】解：如图．
，，
设，则．
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．
9．（吴兴区校级二模）已知，求的值．
【分析】利用及，即可求解．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，解答本题需要掌握：，．
题型四．特殊角的三角函数值
10．（2023春 上城区校级月考）已知是锐角，，则的值为　　
A． B． C． D．无法确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
11．（2024 西湖区校级开学）计算：　　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
【解答】解：．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．（2023 绍兴模拟）（1）计算：；
（2）．
【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方、乘法，最后计算加减．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1解决此题．
【解答】解：（1）
．
（2），
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为1，得．
这个不等式的解为．
【点评】本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式，熟练掌握实数的混合运算法则、特殊角的三角函数值、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求角的正切值
【分析】本题主要考查正切值的计算方法，掌握直角三角形中正切函数的定义是解题的关键．
根据题意作图，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意作图如下，
∴，
故选：．
2．在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的余弦值
【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，AB=，
则cosA=，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的余弦值
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】如图：
，
由勾股定理，得
AC===2，
由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA===，
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．
4．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆米的处，测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知正切值求边长
【分析】直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】∵BC⊥AC，∠A=α，AC=10米，
∴BC=AC tanα=10tanα．
故选A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　）
A．2 B．8 C． D．
【答案】A
【知识点】已知正切值求边长
【详解】试题解析：∵在Rt△ABC中,
∴BC=2.
故选A.
6．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知正切值求边长
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为 （　　）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】B
【知识点】已知正切值求边长
【分析】根据正切的定义得到BC=AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，
∴=2，
∴BC=AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（）2=AC2+（AC）2，
解得，AC=2，
故选B．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、矩形性质理解
【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解： 设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3x，AD∥EC，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
，设CF=n，设EF=m，
∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，
∵△ECD是直角三角形，，
∴△CFE∽△DFC，
∴，
∴，即，
∴，∵，
∴tan∠CAE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ）

A．4 B．8 C．-4 D．-8
【答案】D
【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，

∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，
∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵k＜0，
∴k=﹣8．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．
10．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正弦值、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．
【详解】解：如图所示：作直径，
在中，，，
又（圆周角定理），
故选A.
二、填空题
11．在中，是的高线，若，，，则长为 .
【答案】5或3/3或5
【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题
【分析】分两种情况：当高在内部时和当高在外部时，利用勾股定理和三角函数算出和的长，即可得到答案．
【详解】解：当高在内部时，如图所示：
在中，，
在中，，
，
；
当高在外部时，如图所示：
在中，，
在中，，
，
，
综上所述，或3，
故答案为：5或3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，正确运用勾股定理和正切进行计算求出边长，分情况进行讨论是解题的关键．
12．已知在中，，，，那么 .
【答案】6
【知识点】已知正切值求边长
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】∵cotB=，
∴AC= =3BC=6．
故答案是：6．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义进行解答．
【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，b=3a，
∴tanA==.
14．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
【答案】
【知识点】求角的正切值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到，即是直角三角形，过点作交于，如图所示，由矩形的判定与性质得到，在中及在中，有勾股定理得到的长，在中，由正切定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
是的角平分线，
，
在和中，
，
，即是直角三角形，
过点作交于，如图所示：
，
，
，即四边形是矩形，
，
在中，，，则由勾股定理可得，则，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．
15．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ．
【答案】/
【知识点】正切的概念辨析、求角的正切值、余弦的概念辨析、用勾股定理解三角形
【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值．
【详解】解：，，
，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键．
16．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求角的正切值
【分析】连接AF，设AF=CF=5k，BF=3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【详解】解：连接AF．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA=FC，
∵BF：FC=3：5，
∴设BF=3k，CF=AF=5k，
∵∠B=90°，
∴，
∴BC=BF+CF=8k，
∴tan∠ACB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17．计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．
【答案】3
【知识点】特殊角的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算
【分析】按顺序先分别进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°
=4-1+2
=3．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关的运算的运算法则是解题的关键.
18．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值．
【答案】，．
【知识点】求角的正弦值
【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键．
根据正弦的比值关系列式比较即可．
【详解】解：根据勾股定理可得：在中，，
又∵，，
∴，
∴b＝4，
∴，．
19．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求角的正切值、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式.
（1）把 代入解析式，解方程组求出，的值;
（2）先根据（1）中，值求出函数解析式，再把代入解析式求出，再根据直角三角函数求出的值；
【详解】（1）解：由题意可知 ，代入函数解析式得
得
解得 ，
；
（2）解：由（1）得函数解析式为
把代入，
解得
则；
20．如图1，在中，，．如图2，将向上翻折，使点落在上，记为点，折痕为．过点作平行线交延长线于点，连接．
（1）证明：四边形是菱形．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）2
【知识点】求角的正切值、根据菱形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质得到AC=2AB，利用翻折的性质得到AE=AB，DE⊥AC，再证明△AEF△CED，EF=DE，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证得结论；
（2）利用（1）的结论结合三角函数的知识，即可求得DE的长，从而求得DF的长度．
【详解】（1）在中，，．
∴AC=2AB，
由折叠的性质得：∠AED=∠B=90°，AE=AB，
∴AC⊥DF，
∵AC=2AB，
∴CE=AB=AE，
∵AF∥CD，
∴∠FAE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF△CED，
∴EF= ED，
又∵CE =AE，AC⊥DF，
∴四边形是菱形；
（2）由（1）得：AC=2AB=2 AE，
∴AE=3，
由折叠的性质得：∠EAD=∠BAD=(90°-∠ACB)= 30°，
∵，即，
∴DE=，
∴DF= 2DE=2．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角函数的知识、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米）
【答案】44米
【知识点】已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果．
【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H，
∵斜坡米，坡角，
∴米；
∵米，
∴米，
∵根据题意，
∴四边形是矩形，
∴米；
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
故这栋楼的高度为44米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键．
22．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，其顶点称为格点，点、．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得
(2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）． 使得．
(3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上）， 在上取点， 使得
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与网格问题
【分析】（1）找到的格点顶点，即可求解；
（2）根据勾股定理与网格的特点找到格点，使得；
（3）根据网格的特点找到点，使得，则，点即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，找到点，使得，则，点即为所求；
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
【答案】（米）．
【知识点】已知余弦求边长、三线合一
【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到（米，在中，根据三角函数的定义得到（米即可．
【详解】解：过A作于，
，
，
，
，
，
（米），
在中，，
（米），
米，
∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．
（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
(1)求点及点的坐标；
(2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或．
【知识点】已知正切值求边长、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合
【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点．
（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可．
（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，即．
（2）在中，由勾股定理得：
，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：
∴直线的函数解析式为，
∵，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴点F关于y轴的对称点为，
∵反比例函数经过点，
∴．
（3）设直线的解析式为，
将点的坐标代入得，
，解得：
∴直线的解析式为
∵点P在直线上，
∴设点，
∴
下面分三种情况讨论：
①当时,
解得：，
∴
∴点P的坐标为；
②当时,
解得：，
∴,此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当时,
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或或．1.1 锐角三角函数 同步分层练习讲义
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA．
知识点3．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
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知识点4．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
题型强化
题型一．锐角三角函数的定义
1．（2024 丽水一模）如图，在中，，，，则的值是　　
A． B． C． D．
2．（2024 南湖区校级一模）在中，，，则的值为 　　．
3．（2022 湖州）如图，已知在中，，，．求的长和的值．
题型二．同角三角函数的关系
4．（2024 宁波模拟）在中，已知，设，则　　
A． B． C． D．
5．（2024 宁波模拟）已知，则　　．
6．（杭州模拟）下列关系式是否成立，请说明理由．
（1）；
（2）．
题型三．互余两角三角函数的关系
7．（2023 杭州一模）在中，，，则　　
A． B． C． D．
8．（2022 西湖区校级二模）已知中，，，则　　．
9．（吴兴区校级二模）已知，求的值．
题型四．特殊角的三角函数值
10．（2023春 上城区校级月考）已知是锐角，，则的值为　　
A． B． C． D．无法确定
11．（2024 西湖区校级开学）计算：　　．
12．（2023 绍兴模拟）（1）计算：；
（2）．
分层练习
一、单选题
1．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)

A． B． C． D．
4．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆米的处，测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（　　）
A．2 B．8 C． D．
6．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为 （　　）
A．1 B．2 C． D．2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ）

A．4 B．8 C．-4 D．-8
10．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，是的高线，若，，，则长为 .
12．已知在中，，，，那么 .
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．
14．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
15．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ．
16．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．若，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．
18．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值．
19．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
20．如图1，在中，，．如图2，将向上翻折，使点落在上，记为点，折痕为．过点作平行线交延长线于点，连接．
（1）证明：四边形是菱形．
（2）若，求的长度．
21．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米）
22．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，其顶点称为格点，点、．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得
(2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）． 使得．
(3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上）， 在上取点， 使得
23．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且
，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
(1)求点及点的坐标；
(2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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