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2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习
——分式方程及其应用 学生版
知识清单梳理
知识点一　分式方程及其解法
1.分式方程的概念：分母中含 的方程叫作分式方程.
2.分式方程的解法
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概念.
（1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
（2）分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
知识点二　分式方程的实际应用
3.一般步骤：（1）审；（2）设未知数；（3）找等量关系；（4）列分式方程；（5）解分式方程；（6）检验（一验是否为分式方程的根，二验是否满足实际问题）；（7）答.
4.常见类型及关系式
（1）购买问题：数量＝；
（2）工程问题：工作效率＝ ，工作时间＝；
（3）销售问题：折扣＝ ，标价＝；
（4）行程问题：时间＝.
高频考点过关
考点一　解分式方程
1.（2024济南）若分式的值为0，则实数x的值为 .
2.（2022济南）代数式与代数式的值相等，则x＝ .
3.（2023莱芜一模）代数式的值比代数式的值大4，则x＝ .
4.代数式与代数式 3－2x的和为 4，则 x ＝ .
考点二　分式方程解的应用
5.（2024高新二模）若关于x的分式方程－＝有增根，则m的值为（　 　）
A.1　　 B.－4 C.－5　 D.－3
6.（2022槐荫二模）若关于 x 的方程＋＝2 的解为正数，则 m 的取值范围是（　 　）
A.m ＜ 6　　 B.m ＞ 6
C.m ＞ 6且m ≠ 8　 D.m ＜ 6且m ≠0
考点三　分式方程的实际应用
7.（2023商河一模）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 1 200 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多 10 本，设文学类图书平均每本书的价格是 x 元，则下列方程正确的是（　 　）
A. －＝10
B. －＝10
C. －＝1.2
D. －＝1.2
8.一艘轮船顺水航行60 km所用的时间与逆水航行40 km所用时间相同，若水流速度为3 km/h，则轮船在静水中的速度为 km/h.
9.（2024长清二模）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
达标演练检测
1.若x＝3是分式方程－＝0的根，则a的值是（　 　）
A.5　　 B.－5　 C.3　 D.－3
2.若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是（　 　）
A.m＞－
B.m＜
C.m＞－且m≠0
D.m＜且m≠
3.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　 　）
A.－＝0.4
B.－＝0.4
C.－＝0.4
D.－＝0.4
4.（2022天桥区三模）若与互为相反数，则 x 的值为 .
5.（2023槐荫一模）分式方程＋＝4的解是 .
6.（2023历城二模）已知代数式与代数的值相等，则x＝ .
7.某工程队修建一条长1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50％，结果提前4天完成任务.
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米.
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
8.（2023槐荫二模）为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多 2 元，用 100 元可以购买的口罩的数量和用 60 元可以购买的酒精湿巾的数量相同.
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价.
（2）妈妈给了小明 60 元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
9.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3 000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校.乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
（1）求乙骑自行车的速度.
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习
——分式方程及其应用 教师版
知识清单梳理
知识点一　分式方程及其解法
1.分式方程的概念：分母中含　未知数　的方程叫作分式方程.
2.分式方程的解法
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概念.
（1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
（2）分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
知识点二　分式方程的实际应用
3.一般步骤：（1）审；（2）设未知数；（3）找等量关系；（4）列分式方程；（5）解分式方程；（6）检验（一验是否为分式方程的根，二验是否满足实际问题）；（7）答.
4.常见类型及关系式
（1）购买问题：数量＝；
（2）工程问题：工作效率＝　　，工作时间＝；
（3）销售问题：折扣＝　　，标价＝；
（4）行程问题：时间＝.
高频考点过关
考点一　解分式方程
1.（2024济南）若分式的值为0，则实数x的值为　1　.
2.（2022济南）代数式与代数式的值相等，则x＝　7　.
3.（2023莱芜一模）代数式的值比代数式的值大4，则x＝　2　.
4.代数式与代数式 3－2x的和为 4，则 x ＝　－1　.
考点二　分式方程解的应用
5.（2024高新二模）若关于x的分式方程－＝有增根，则m的值为（　C　）
A.1　　 B.－4 C.－5　 D.－3
6.（2022槐荫二模）若关于 x 的方程＋＝2 的解为正数，则 m 的取值范围是（　D　）
A.m ＜ 6　　 B.m ＞ 6
C.m ＞ 6且m ≠ 8　 D.m ＜ 6且m ≠0
考点三　分式方程的实际应用
7.（2023商河一模）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 1 200 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多 10 本，设文学类图书平均每本书的价格是 x 元，则下列方程正确的是（　B　）
A. －＝10
B. －＝10
C. －＝1.2
D. －＝1.2
8.一艘轮船顺水航行60 km所用的时间与逆水航行40 km所用时间相同，若水流速度为3 km/h，则轮船在静水中的速度为　15　km/h.
9.（2024长清二模）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x＋2）元，
根据题意，得＝，解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，此时x＋2＝12.
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元.
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200－m）个，根据题意，得
W＝（12－10）m＋（15－12）（200－m）＝2m＋600－3m＝－m＋600，
∴W与m的函数关系式为W＝－m＋600.
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，且购进这两种粽子共200个（两种都有），
∴2（200－m）≤m＜200，解得≤m＜200（m为正整数）.
由①知，W＝－m＋600.
∵－1＜0，∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，
此时200－134＝66，
答：购进甲种粽子134个、乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元.
达标演练检测
1.若x＝3是分式方程－＝0的根，则a的值是（　A　）
A.5　　 B.－5　 C.3　 D.－3
2.若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是（　D　）
A.m＞－
B.m＜
C.m＞－且m≠0
D.m＜且m≠
3.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　A　）
A.－＝0.4
B.－＝0.4
C.－＝0.4
D.－＝0.4
4.（2022天桥区三模）若与互为相反数，则 x 的值为 　－　.
5.（2023槐荫一模）分式方程＋＝4的解是　x＝　.
6.（2023历城二模）已知代数式与代数的值相等，则x＝　10　.
7.某工程队修建一条长1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50％，结果提前4天完成任务.
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米.
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，
由题意，得－＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合实际意义.
答：这个工程队原计划每天修建道路100米.
（2）由题意得，1 200÷100＝12（天）.
又∵1 200÷（12－2）＝120（米），
∴×100％＝20％.
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20％.
8.（2023槐荫二模）为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多 2 元，用 100 元可以购买的口罩的数量和用 60 元可以购买的酒精湿巾的数量相同.
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价.
（2）妈妈给了小明 60 元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
解：（1）设每包酒精湿巾的单价为 x 元，
依题意，得＝，解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解，则 x＋2＝5.
答：每包口罩的单价为 5 元，每包酒精湿巾的单价为 3 元.
（2）设小明购买口罩 m 包，酒精湿巾 n 包，
依题意，得5m＋3n＝60，∴m ＝12－n.
由题意，得m，n 为正整数，且m≠0，n≠0，
∴或或
∴小明有 3 种购买方案：
①购买口罩 9 包，酒精湿巾 5 包；②购买口罩 6 包，酒精湿巾 10 包；③购买口罩 3 包，酒精湿巾 15 包.
9.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3 000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校.乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
（1）求乙骑自行车的速度.
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
解：（1）设乙骑自行车的速度为2x米/分，则甲步行的速度为x米/分，公交车的速度为4x米/分.
由题意列方程为：＋＋2＝，
解得x＝150，经检验：x＝150是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×150＝300.
答：乙骑自行车的速度为300米/分.
（2）∵甲到达学校的时间为
＋＝＋＝8，
∴乙8分钟内骑行的路程为300×8＝2 400（米），
∴乙离学校还有3 000－2 400＝600（米）.
答：乙离学校还有600米.

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