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专题17 平抛运动、圆周运动热点问题分析
【考情分析】
考情分析 考题统计
熟练掌握物体在水平面内的受力情况，分析摩擦力的变化过程，寻找解决临界问题的方法；熟练掌握物体在做圆周运动时的弹力变化情况，不论时绳模型、杆模型还是接触类模型，体会其受力的变化过程，寻找解决问题的办法；分清楚在竖直面内的轻绳模型和情感模型的区别，熟悉常见的几种模型的变化，熟练判别模型的种类；理解和掌握平抛运动和圆周运动的基本规律和特点，并能将不同的知识熟练运用。 2024·安徽· 高考物理试题2024·福建·高考物理试题2024·海南·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·全国·新课标高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题2023·全国·高考物理试题2023·江苏·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 水平面内圆周运动问题的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
（1）压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
考法2 竖直面内圆周运动的临界问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
考法3 平抛、圆周运动的综合问题
1. 题目特点
此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关系进行求解.
1. 解答突破
（1）分析临界点:对于物体在临界点相关多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口
（1）分析每个运动过程的运动性质
①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直面内的变速圆周运动,机械能是否子恒
②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度的力是哪一个。
【题型过关练】
题型一 水平面内圆周运动问题的临界问题
1．如图所示，甲、乙两个相同的物体放在一水平匀速转动的圆盘上，均相对圆盘静止，对于甲、乙两物体，下列说法正确的是　　
A．线速度相同 B．向心力相同 C．角速度相同 D．周期不相同
【答案】
【解答】解：甲、乙两个相同的物体放在一水平匀速转动的圆盘上，均相对圆盘静止，对于甲、乙两物体属于同轴传动，则角速度相同，故正确；
根据可知，两物体角速度相同，但半径不等，则甲、乙两个物体线速度不同，故错误；
根据可知，两物体质量、角速度均相同，但半径不等，则甲、乙两个物体向心力不同，故错误；
根据可知，两物体角速度相同，则甲、乙两个物体周期相同，故错误。
故选：。
2．如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定球和球，、两球的质量都为，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为，则球在最高点时　　
A．球的速度为零
B．球的速度为
C．水平转轴对杆的作用力大小为，方向竖直向上
D．水平转轴对杆的作用力大小为，方向竖直向上
【答案】
【解答】解：、球运动到最高点时，球对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律得：，解得：，由于、两球的角速度相等，由公式，可得球的速度大小为，故错误；
、球到最高点时，对杆无弹力，此时球受重力和杆拉力的合力提供向心力，对球，根据牛顿第二定律得：，解得，方向竖直向上，根据力的作用是相互的，球对杆的弹力为，方向竖直向下，由于是轻杆，杆所受的合力为零，根据平衡条件，可得水平转轴对杆的作用力大小为，方向竖直向上，故错误，正确。
故选：。
3．如图1所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是　　
A．根据图线可以得出小球的质量
B．根据图线可以得出重力加速度
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
【答案】
【解答】解：、根据牛顿第二定律和向心力的计算公式，得到图像的表达式为：，变形为：
根据图像的斜率可得：
根据图像的横轴截距可得：
解得：，，故正确，错误；
、根据斜率，可知不变，减小，斜率减小，故错误；
、横轴截距，可知变大，不变，所以会变大，可得图线与横轴交点的位置向右移动，故错误。
故选：。
4．如图所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆锥形桶壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动。演员和摩托车总质量为，先后在和两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则　　
A．处的线速度大于处的线速度
B．处的角速度小于处的角速度
C．处对筒壁的压力大于处对筒壁的压力
D．处对筒壁的压力等于处对筒壁的压力
【答案】
【解答】解：、对、两处演员和摩托车进行受力分析，如图
根据竖直方向平衡，则有；
可得、两处两支持力大小
根据牛顿第三定律，可知处对筒壁的压力一定等于处对筒壁的压力，故错误，正确；
．根据力的合成，知在、两处两合力大小也相等。根据
得；
知半径越大，线速度越大，角速度越小，所以处的线速度大于处的线速度，处的角速度小于处的角速度，故正确。
故选：。
5．如图所示，质量为的小球用长为的细线悬于固定点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角是，重力加速度为。不计空气阻力，求：
（1）细线对小球的拉力大小；
（2）小球做圆周运动的周期；
（3）若保持轨迹圆的圆心到悬点的距离不变，改变绳长，小球运动周期是否变化。
【答案】（1）细线对小球的拉力大小为；
（2）小球做圆周运动的周期为；
（3）小球运动周期不变。
【解答】解：（1）小球做圆周运动时受力分析如图
此时小球受到的拉力与重力的合力沿水平方向，则竖直方向有
得
（2）此时小球受到的拉力与重力的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，可得
解得
周期
（3）根据上述有
根据几何关系有
解得
可知，若保持轨迹圆的圆心到悬点的距离不变，增大绳长，小球做匀速圆周运动的角速度不会发生改变，所以周期不变。
答：（1）细线对小球的拉力大小为；
（2）小球做圆周运动的周期为；
（3）小球运动周期不变。
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
6．如图所示在足够大的转盘中心固定一个小物块，距离中心为处放置小物块，，质量均为，与转盘之间的动摩擦因数为，现在用原长为、劲度系数弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
（1）若弹簧处于原长，缓慢增加转盘转动的角速度，求即将打滑时的；
（2）若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，求满足条件的转动半径的大小范围；
（3）若小物块解除固定状态，和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。
【答案】（1）若弹簧处于原长，缓慢增加转盘转动的角速度，即将打滑时的为；
（2）若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，满足条件的转动半径的大小范围为
（3）若小物块解除固定状态，和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证不打滑，满足条件的转盘角速度的大小范围为。
【解答】解：（1）设盘的角速度为时，物块将开始滑动，则
解得
（2）放置在离中心距离不同的位置上弹力不同，由临界条件可得
由胡克定律可知
解得
故满足条件的转动半径的大小范围
（3）若小物块解除固定状态，则物块刚好滑动时弹簧拉力为，则对有
解得
由胡克定律可知
可得
对受力分析，为了保证不打滑，则有
可得
答：（1）若弹簧处于原长，缓慢增加转盘转动的角速度，即将打滑时的为；
（2）若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，满足条件的转动半径的大小范围为
（3）若小物块解除固定状态，和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证不打滑，满足条件的转盘角速度的大小范围为。
7．在一次抗洪救灾工作中，一架直升机用长的轻质悬索（重力可忽略不计）系住一质量的救援物资，直升机和救援物资一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在离水平地面的空中悬停寻找最近的安全目标时，致使救援物资在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成角（不计空气阻力，，，取。求：
（1）悬索对救援物资的拉力大小；
（2）救援物资做圆周运动的角速度大小；
（3）若悬索在此时断裂，求救援物资在水平地面上的落点与悬点的水平距离（计算结果允许用根式表示）。
【答案】（1）悬索对救援物资的拉力大小为；
（2）救援物资做圆周运动的角速度大小为；
（3）若悬索在此时断裂，救援物资在水平地面上的落点与悬点的水平距离为。
【解答】解：（1）救援物资竖直方向由受力平衡可得
解得悬索对救援物资的拉力大小为
（2）由拉力在水平方向的分力提供向心力，则有
解得救援物资做圆周运动的角速度大小为
（3）绳断瞬间物资的高度为
绳断后物资做平抛运动，竖直方向有
解得
水平速度为
水平位移为
则落点与悬点的水平距离为
联立代入数据解得
答：（1）悬索对救援物资的拉力大小为；
（2）救援物资做圆周运动的角速度大小为；
（3）若悬索在此时断裂，救援物资在水平地面上的落点与悬点的水平距离为。
8．如图所示，一质量为的小球，用长为的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。取，求：
（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力多大？
（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过多大？
【答案】（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为；
（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力为；
（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过。
【解答】解：（1）在最高点，由牛顿第二定律得
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即不可能取负值，亦即
联立得
代入数值得
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为。
（2）小球在最高点的速度为时，有
得
（3）小球在最低点时轻绳张力最大，由牛顿第二定律得
代入得
即小球的速度不能超过。
答：（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为；
（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力为；
（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过。
9．如图所示，光滑的矩形金属框处于竖直平面内，一根长为的轻绳一端固定在点，另一端连接一个质量为的小球，小球穿过竖直边。已知轻绳与竖直方向的夹角为，、足够长，重力加速度为。
（1）若金属框静止不动，求小球对轻绳的拉力大小；
（2）若小球和金属框一起在竖直平面内水平向左做匀加速直线运动，边对小球的作用力恰好为零，求金属框的加速度大小；
（3）若金属框绕边匀速转动，边对小球的作用力恰好为零，求金属框转动的角速度大小。
【答案】（1）若金属框静止不动，小球对轻绳的拉力大小为；
（2）金属框的加速度大小为；
（3）金属框转动的角速度大小为。
【解答】解：（1）当金属框和小球静止不动时，设轻绳对小球的拉力大小，竖直方向根据平衡条件可得：
解得：
由牛顿第三定律可得小球对轻绳的拉力大小：；
（2）当小球和金属框一起向左匀加速运动，小球受到重力和拉力，如图所示：
根据牛顿第二定律可得：
解得：；
（3）当小球绕边做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律可得：
由几何关系得：
解得：。
答：（1）若金属框静止不动，小球对轻绳的拉力大小为；
（2）金属框的加速度大小为；
（3）金属框转动的角速度大小为。
10．如图所示，平台距竖直光滑圆形轨道的点的高度，竖直光滑圆形轨道半径为。有一质量为小球以初速度从平台的边缘点水平飞出，恰好沿圆弧轨道点的切线方向进入圆弧，做圆周运动到达点时速度为。与竖直方向的夹角为（不计空气阻力，。求：
（1）小球在空中飞行的时间；
（2）小球的初速度；
（3）小球对圆弧轨道点的压力。
【答案】（1）小球在空中飞行的时间为；
（2）小球的初速度为；
（3）小球对圆弧轨道点的压力为。
【解答】解：（1）小球从平台的边缘点水平飞出做平抛运动，
在竖直方向做自由落体，根据自由落体公式
代入数据：
解得：．
（2）根据与竖直方向的夹角为，
即平抛运动从到的速度偏转角为，
解得．
（3）根据牛顿第二定律则有
代入数据：
解得：
由牛顿第三定律可知，小球对圆弧轨道的压力为
答：（1）小球在空中飞行的时间为；
（2）小球的初速度为；
（3）小球对圆弧轨道点的压力为。
题型三 平抛、圆周运动的综合问题
1．如图所示装置，从左到右依次是倾斜轨道、关于竖直线对称的圆心角的圆弧轨道、以速度顺时针转动的传送带和足够长的水平轨道。轨道和平滑连接，、间不计空隙。开始时，小物块甲从某处静止释放，经后从点飞出，由点水平进入传送带后与固定在上的另一小物块乙发生碰撞，碰后速度大小不变，方向相反。已知、的水平距离，、竖直距离，传送带长，物块甲，可视为质点，其与传送带间的动摩擦因数，其它各处摩擦不计。取，
（1）求轨道的半径；
（2）若传送带速度，请通过计算判断甲与乙碰撞后，能否向左返回点，若能，请计算物块甲返回点时具有的速度的大小；
（3）要使甲碰撞反弹后，均能从点水平向左飞出，重新从点沿圆弧切线方向进入轨道，求传送带速度应满足的条件。
【答案】（1）轨道的半径；
（2）若传送带速度，通过计算可知甲与乙碰撞后，能向左返回点，物块甲返回点时具有的速度；
（3）传送带速度应满足的条件为。
【解答】解：（1）将到的斜抛运动当作是到的平抛运动来处理。
速度偏向角
位移偏向角
解得
（2）竖直方向
水平方向
物块甲第一次滑上传送带时，在点具有的速度大小为。
物块甲在传送带上具有的加速度
物块甲加速到与传送带共速时所经过的位移
物块甲第一次滑上传送带时，能与传送带达到共速，物块甲运动到点时具有的速度大小为，与乙碰撞后反弹，回到点时，速度的大小，然后物块甲在传送带上向左做匀减速运动。
物块甲向左减速到0时，通过的位移
则物块甲能向左返回点，且从点一直做匀减速运动回到点。
解得
（3）物块甲要重新从点沿切线方向进入圆弧轨道，则物块甲向左返回点时具有的速度大小为
因为物块甲与乙碰撞后反弹，向左一直匀减速运动到点，则
由于物块甲第一次滑上传送带时，在点具有的速度大小也为，则从加速到所需的位移；
则传送带速度
答：（1）轨道的半径；
（2）若传送带速度，通过计算可知甲与乙碰撞后，能向左返回点，物块甲返回点时具有的速度；
（3）传送带速度应满足的条件为。
2．如图1所示，质量的木板静止在光滑水平地面上，质量的小物块静止在的左端，右方竖直平面内有一固定的光滑半圆形轨道，直径竖直，最低点与的上表面等高。时对施加一水平向右的推力，时撤去力，运动一段时间后恰好不从的右端滑落，又过一段时间，从处进入半圆形轨道，且恰好通过点。已知内、的速度—时间图像如图2所示，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取。求（结果保留2位有效数字）
（1）力的大小；
（2）木板的长度以及半圆形道的半径。
【答案】（1）力的大小；
（2）木板的长度为，半圆形道的半径为。
【解答】解：（1）由题图2知：的加速度大小：
的加速度大小：
根据牛顿第二定律，对有：
对有：
联立解得：，
（2）力撤去后到到达点前的过程，根据动量守恒定律有：
其中，由题图可以读出
代入数据解得：
内的位移大小：
其中：
根据功能关系有：
解得：
沿半圆形轨道运动的过程，根据机械能守恒定律有：
恰好通过点，有：
联立解得：
答：（1）力的大小；
（2）木板的长度为，半圆形道的半径为。
3．高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性。如图所示为滑雪轨道一段简化图，运动员经过点时速度水平，经过点恰好沿切线方向进入一段半径为的光滑圆弧轨道，在点调整姿态后飞出，腾空落到倾角为的斜坡轨道上。已知运动员的质量为，、两点的高度差为，水平距离为，、两点在同一水平面上（即运动员经过、两点速度大小相等），不考虑空气阻力，重力加速度为，在处调整姿态只改变速度方向，不改变速度大小，斜坡足够长。求：
（1）运动员经过点的速度大小；
（2）运动员在点时对轨道的压力大小；
（3）运动员调整姿态，使其在斜坡上的落点距点最远，则在点飞出时的速度方向及落点到点的最远距离。
【答案】（1）运动员经过点的速度大小为；
（2）运动员在点时对轨道的压力大小为；
（3）当飞出时的速度与斜面夹角为时，运动员在斜坡上的落点距点最远，最远距离为。
【解答】解：（1）根据平抛运动的特点，由可得，又，得运动员经过点的速度；
（2）运动员在点竖直方向速度，运动员在点速度大小，在点受力分析如下图，
故，即，由牛顿第二定律得，运动员在点所受轨道的支持力，由牛顿第三定律得，运动员在点时对轨道的压力大小为。
（3）设运动员从飞出时的速度方向与斜面的夹角为，则在垂直于斜面方向上，，得，初速度；在平行于斜面方向上，，得，初速度，则运动员从点落到斜坡上的时间，运动员落到斜坡上距点的距离，代入数据并整理可得：，
由数学知识可知，当时，即速度方向与斜面夹斜向上时，，此时最大，最大值为。
答：（1）运动员经过点的速度大小为；（2）运动员在点时对轨道的压力大小为；（3）当飞出时的速度与斜面夹角为时，运动员在斜坡上的落点距点最远，最远距离为。
4．如图所示，质量的小物块静置在粗糙的水平平台的点，在大小为的恒力作用下，从平台的点以的速度水平飞出，恰好从点无碰撞的进入半径为的光滑圆形轨道。已知是圆形轨道的一条直径，从点到轨道的最高点是一个光滑圆管，，小物块与平台的动摩擦因数，取重力加速度。
（1）若平台的长度，求恒力作用的时间；
（2）求两点间的高度差；
（3）若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径的取值范围。
【答案】（1）若平台的长度，则恒力作用的时间为；
（2）两点间的高度差为；
（3）若小物块能够进入圆管，轨道半径的取值范围为。
【解答】解：（1）当小物块在恒力作用下时，根据牛顿第二定律
解得
撤去恒力后，根据牛顿第二定律
解得
设恒力作用的时间为，撤去恒力后在平台上继续运动时间为，则
联立，解得
（2）由于小物块恰好从点无碰撞的进入半径为的光滑圆形轨道，则
所以，小物块从点到点运动过程中，在竖直方向根据速度—位移公式可得
（3）为保证小物块能够进入圆管，则小物块运动到点时不能脱离轨道，则此时根据动能定理
根据牛顿第二定律
代入数据，解得
答：（1）若平台的长度，则恒力作用的时间为；
（2）两点间的高度差为；
（3）若小物块能够进入圆管，轨道半径的取值范围为。
5．如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩（可视为质点）质量为，他在左侧平台上滑行一段距离后平抛，恰能无碰撞地沿圆弧切线从点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道滑动，已知圆弧半径为，圆心为，连线与竖直方向夹角为，平台与点位置的高度差为，连线在水平方向上。取，，。求：
（1）小孩平抛的初速度大小；
（2）小孩运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小。
【答案】（1）小孩平抛的初速度为；
（2）小孩运动到圆弧轨道点时对轨道的压力为
【解答】解：（1）由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到点时速度方向沿点切线方向
则：
又由得：
而：
联立以上各式得：
（2）从到根据动能定理有：
在点受力分析有：
代入数据解得：
根据牛顿第三定律可知小孩运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为
答：（1）小孩平抛的初速度为；
（2）小孩运动到圆弧轨道点时对轨道的压力为
【真题演练】
一．选择题（共1小题）
1．（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为的形支架。一质量为的小球用长为的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为。已知小球运动到最低点时速度大小为，此时地面受到的正压力大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：小球运动到最低点时，对小球进行受力分析，小球受竖直向下的重力和轻绳竖直向上的拉力，根据牛顿第二定律，，对受力分析，受竖直向下的重力、小球对绳子竖直向下的拉力和自身的重力，根据平衡条件，根据牛顿第三定律，地面受到的正压力与地面对的支持力大小相等，故正确，错误。
故选：。
二．解答题（共4小题）
2．（2013 重庆）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动。一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为．重力加速度大小为。
（1）若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求；
（2），且，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【解答】解：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有
，解得
（2）当时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，
根据牛顿第二定律得，。
联立两式解得
当时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，
根据牛顿第二定律得，。
联立两式解得。
答：（1）小物块受到的摩擦力恰好为零时，。
（2）当时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为。
当时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为。
3．（2024 海南）某游乐项目装置简化如图，为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径，滑梯顶点与滑梯末端的高度，静止在光滑水平面上的滑板，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量，一质量为的游客，从点由静止开始下滑，在点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦因数均为，忽略空气阻力，重力加速度，求：
（1）游客滑到点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度。
【答案】（1）游客滑到点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度。
【解答】解：（1）设游客滑到点时速度为，从到过程，根据机械能守恒
解得
在点根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律得游客滑到点时对滑梯的压力的大小为
（2）设游客恰好滑上平台时的速度为，在平台上运动过程由动能定理得
解得
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一直做减速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为和，得
根据运动学规律对游客
解得
该段时间内游客的位移为
解得
滑板的位移为
解得
根据位移关系得滑板的长度为
答：（1）游客滑到点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度。
4．（2023 浙江）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道、螺旋圆形轨道，倾角的直轨道、水平直轨道组成，除段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道、相切于（E）处。凹槽底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁处，摆渡车上表面与直轨道下、平台位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径，点高度为，长度，长度，摆渡车长度、质量。将一质量也为的滑块从倾斜轨道上高度处静止释放，滑块在段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，，
（1）求滑块过点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数；
（3）在（2）的条件下，求滑块从到所用的时间。
【答案】（1）滑块过点的速度大小为，轨道对滑块的作用力大小为；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，则滑块与摆渡车之间的动摩擦因数为0.3；
（3）在（2）的条件下，滑块从到所用的时间为。
【解答】解：（1）滑块从静止释放到点过程中，只有重力做功，根据动能定理可得：
代入数据解得：
滑块过点时，根据牛顿第二定律可得：
代入数据解得：；
（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为，从静止释放到点过程，根据动能定理可得：
代入数据解得：
摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，假设滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速，以滑块和摆渡车为研究对象，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：
；
代入数据解得：
根据能量守恒定律可得：
解得：
此过程中对摆渡车根据动能定理可得：
代入数据解得摆渡车的位移：
所以假设成立，说明摆渡车达到之前已经共速，动摩擦因数为；
（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，所用时间为，对摆渡车根据动量定理可得：
解得：
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动所用时间为：
代入数据解得：
所以滑块从到所用的时间。
答：（1）滑块过点的速度大小为，轨道对滑块的作用力大小为；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，则滑块与摆渡车之间的动摩擦因数为0.3；
（3）在（2）的条件下，滑块从到所用的时间为。
5．（2022 浙江）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角的光滑直轨道、圆心为的半圆形光滑轨道、圆心为的半圆形光滑细圆管轨道、倾角也为的粗糙直轨道组成，、和为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在点（与点等高），、、、和点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量，轨道和的半径，轨道长度，滑块与轨道间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，，。滑块开始时均从轨道上某点静止释放。
（1）若释放点距点的长度，求滑块到最低点时轨道对其支持力的大小；
（2）设释放点距点的长度为，滑块第一次经点时的速度与之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道的中点，求释放点距点长度的值。
【答案】（1）滑块到最低点时轨道对其支持力的大小为；
（2）滑块第一次经点时的速度与之间的关系式为，其中；
（3）释放点距点长度的值可能为、、。
【解答】解：（1）到点过程，根据动能定理可得：
在点时，根据向心力公式可得：
联立解得：
（2）能过圆管轨道最高点时，则能到点，那么恰好通过最高点时，根据动能定理可得：
，
解得：
因此，要能过点必须满足
在此条件下判断是否可以通过点：
滑块能通过点需满足：，解得：
由点能到圆管轨道最高点需满足：，解得：
可见只要能到达点就一定能通过点。
第一次过点时的速度与之间的关系式，根据动能定理可得：
，
解得：，其中
（3）设摩擦力做功为第一次达到中点的倍，根据动能定理可得：
（根据滑块运动到停下来，其中为奇数），
解得：
当时，；当时，；当时，
答：（1）滑块到最低点时轨道对其支持力的大小为；
（2）滑块第一次经点时的速度与之间的关系式为，其中；
（3）释放点距点长度的值可能为、、。
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专题17 平抛运动、圆周运动热点问题分析
【考情分析】
考情分析 考题统计
熟练掌握物体在水平面内的受力情况，分析摩擦力的变化过程，寻找解决临界问题的方法；熟练掌握物体在做圆周运动时的弹力变化情况，不论时绳模型、杆模型还是接触类模型，体会其受力的变化过程，寻找解决问题的办法；分清楚在竖直面内的轻绳模型和情感模型的区别，熟悉常见的几种模型的变化，熟练判别模型的种类；理解和掌握平抛运动和圆周运动的基本规律和特点，并能将不同的知识熟练运用。 2024·安徽· 高考物理试题2024·福建·高考物理试题2024·海南·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·全国·新课标高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题2023·全国·高考物理试题2023·江苏·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 水平面内圆周运动问题的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
（1）压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
考法2 竖直面内圆周运动的临界问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件 v≥ v≥0
速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
考法3 平抛、圆周运动的综合问题
1. 题目特点
此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关系进行求解.
1. 解答突破
（1）分析临界点:对于物体在临界点相关多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口
（1）分析每个运动过程的运动性质
①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直面内的变速圆周运动,机械能是否子恒
②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度的力是哪一个。
【题型过关练】
题型一 水平面内圆周运动问题的临界问题
1．如图所示，甲、乙两个相同的物体放在一水平匀速转动的圆盘上，均相对圆盘静止，对于甲、乙两物体，下列说法正确的是　　
A．线速度相同 B．向心力相同 C．角速度相同 D．周期不相同
2．如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定球和球，、两球的质量都为，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为，则球在最高点时　　
A．球的速度为零
B．球的速度为
C．水平转轴对杆的作用力大小为，方向竖直向上
D．水平转轴对杆的作用力大小为，方向竖直向上
3．如图1所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是　　
A．根据图线可以得出小球的质量
B．根据图线可以得出重力加速度
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
4．如图所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆锥形桶壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动。演员和摩托车总质量为，先后在和两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则　　
A．处的线速度大于处的线速度
B．处的角速度小于处的角速度
C．处对筒壁的压力大于处对筒壁的压力
D．处对筒壁的压力等于处对筒壁的压力
5．如图所示，质量为的小球用长为的细线悬于固定点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角是，重力加速度为。不计空气阻力，求：
（1）细线对小球的拉力大小；
（2）小球做圆周运动的周期；
（3）若保持轨迹圆的圆心到悬点的距离不变，改变绳长，小球运动周期是否变化。
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
6．如图所示在足够大的转盘中心固定一个小物块，距离中心为处放置小物块，，质量均为，与转盘之间的动摩擦因数为，现在用原长为、劲度系数弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
（1）若弹簧处于原长，缓慢增加转盘转动的角速度，求即将打滑时的；
（2）若转盘的角速度，可以放置在离中心距离不同的位置上，且始终不打滑，求满足条件的转动半径的大小范围；
（3）若小物块解除固定状态，和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。
7．在一次抗洪救灾工作中，一架直升机用长的轻质悬索（重力可忽略不计）系住一质量的救援物资，直升机和救援物资一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在离水平地面的空中悬停寻找最近的安全目标时，致使救援物资在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成角（不计空气阻力，，，取。求：
（1）悬索对救援物资的拉力大小；
（2）救援物资做圆周运动的角速度大小；
（3）若悬索在此时断裂，求救援物资在水平地面上的落点与悬点的水平距离（计算结果允许用根式表示）。
8．如图所示，一质量为的小球，用长为的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。取，求：
（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
（2）当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力多大？
（3）若轻绳能承受的最大张力为，小球的速度不能超过多大？
9．如图所示，光滑的矩形金属框处于竖直平面内，一根长为的轻绳一端固定在点，另一端连接一个质量为的小球，小球穿过竖直边。已知轻绳与竖直方向的夹角为，、足够长，重力加速度为。
（1）若金属框静止不动，求小球对轻绳的拉力大小；
（2）若小球和金属框一起在竖直平面内水平向左做匀加速直线运动，边对小球的作用力恰好为零，求金属框的加速度大小；
（3）若金属框绕边匀速转动，边对小球的作用力恰好为零，求金属框转动的角速度大小。
10．如图所示，平台距竖直光滑圆形轨道的点的高度，竖直光滑圆形轨道半径为。有一质量为小球以初速度从平台的边缘点水平飞出，恰好沿圆弧轨道点的切线方向进入圆弧，做圆周运动到达点时速度为。与竖直方向的夹角为（不计空气阻力，。求：
（1）小球在空中飞行的时间；
（2）小球的初速度；
（3）小球对圆弧轨道点的压力。
题型三 平抛、圆周运动的综合问题
1．如图所示装置，从左到右依次是倾斜轨道、关于竖直线对称的圆心角的圆弧轨道、以速度顺时针转动的传送带和足够长的水平轨道。轨道和平滑连接，、间不计空隙。开始时，小物块甲从某处静止释放，经后从点飞出，由点水平进入传送带后与固定在上的另一小物块乙发生碰撞，碰后速度大小不变，方向相反。已知、的水平距离，、竖直距离，传送带长，物块甲，可视为质点，其与传送带间的动摩擦因数，其它各处摩擦不计。取，
（1）求轨道的半径；
（2）若传送带速度，请通过计算判断甲与乙碰撞后，能否向左返回点，若能，请计算物块甲返回点时具有的速度的大小；
（3）要使甲碰撞反弹后，均能从点水平向左飞出，重新从点沿圆弧切线方向进入轨道，求传送带速度应满足的条件。
2．如图1所示，质量的木板静止在光滑水平地面上，质量的小物块静止在的左端，右方竖直平面内有一固定的光滑半圆形轨道，直径竖直，最低点与的上表面等高。时对施加一水平向右的推力，时撤去力，运动一段时间后恰好不从的右端滑落，又过一段时间，从处进入半圆形轨道，且恰好通过点。已知内、的速度—时间图像如图2所示，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取。求（结果保留2位有效数字）
（1）力的大小；
（2）木板的长度以及半圆形道的半径。
3．高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性。如图所示为滑雪轨道一段简化图，运动员经过点时速度水平，经过点恰好沿切线方向进入一段半径为的光滑圆弧轨道，在点调整姿态后飞出，腾空落到倾角为的斜坡轨道上。已知运动员的质量为，、两点的高度差为，水平距离为，、两点在同一水平面上（即运动员经过、两点速度大小相等），不考虑空气阻力，重力加速度为，在处调整姿态只改变速度方向，不改变速度大小，斜坡足够长。求：
（1）运动员经过点的速度大小；
（2）运动员在点时对轨道的压力大小；
（3）运动员调整姿态，使其在斜坡上的落点距点最远，则在点飞出时的速度方向及落点到点的最远距离。
4．如图所示，质量的小物块静置在粗糙的水平平台的点，在大小为的恒力作用下，从平台的点以的速度水平飞出，恰好从点无碰撞的进入半径为的光滑圆形轨道。已知是圆形轨道的一条直径，从点到轨道的最高点是一个光滑圆管，，小物块与平台的动摩擦因数，取重力加速度。
（1）若平台的长度，求恒力作用的时间；
（2）求两点间的高度差；
（3）若小物块能够进入圆管，试分析轨道半径的取值范围。
5．如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩（可视为质点）质量为，他在左侧平台上滑行一段距离后平抛，恰能无碰撞地沿圆弧切线从点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道滑动，已知圆弧半径为，圆心为，连线与竖直方向夹角为，平台与点位置的高度差为，连线在水平方向上。取，，。求：
（1）小孩平抛的初速度大小；
（2）小孩运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小。
【真题演练】
一．选择题（共1小题）
1．（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为的形支架。一质量为的小球用长为的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为。已知小球运动到最低点时速度大小为，此时地面受到的正压力大小为　　
A． B． C． D．
二．解答题（共4小题）
2．（2013 重庆）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动。一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为．重力加速度大小为。
（1）若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求；
（2），且，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
3．（2024 海南）某游乐项目装置简化如图，为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径，滑梯顶点与滑梯末端的高度，静止在光滑水平面上的滑板，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量，一质量为的游客，从点由静止开始下滑，在点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦因数均为，忽略空气阻力，重力加速度，求：
（1）游客滑到点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度。
4．（2023 浙江）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道、螺旋圆形轨道，倾角的直轨道、水平直轨道组成，除段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道、相切于（E）处。凹槽底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁处，摆渡车上表面与直轨道下、平台位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径，点高度为，长度，长度，摆渡车长度、质量。将一质量也为的滑块从倾斜轨道上高度处静止释放，滑块在段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，，
（1）求滑块过点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数；
（3）在（2）的条件下，求滑块从到所用的时间。
5．（2022 浙江）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角的光滑直轨道、圆心为的半圆形光滑轨道、圆心为的半圆形光滑细圆管轨道、倾角也为的粗糙直轨道组成，、和为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在点（与点等高），、、、和点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量，轨道和的半径，轨道长度，滑块与轨道间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，，。滑块开始时均从轨道上某点静止释放。
（1）若释放点距点的长度，求滑块到最低点时轨道对其支持力的大小；
（2）设释放点距点的长度为，滑块第一次经点时的速度与之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道的中点，求释放点距点长度的值。
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