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专题18 开普勒定律 万有引力定律及其应用
【考情分析】
考情分析 考题统计
熟练理解并掌握开普勒三大定律的概念，融汇贯通所涉及到的题型；熟练掌握万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算星球表面的重力加速度等问题；关注当下热点，尤其是涉及到中国的航天航空事业，它是每年高考常考的热点。 2024·辽宁·高考物理试题2024·江苏·高考物理试题2024·甘肃·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·江西·高考物理试题2024·北京·高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 开普勒定律
1. 两种学说
（1）地心说：认为地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月球及其他天体都绕地球运动
（2）日心说：认为太阳是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动
2. 开普勒行星运动定律
定律 内容 图示 说明
开普勒第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 行星运动的轨道必有近日点和远日点
开普勒第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运动的速度比较快，而离太阳较远时速度较慢
开普勒第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同
考法2 万有引力定律
1．万有引力定律
（1）公式：F＝G
（2）适用条件
①适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算；
②当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
2．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω
3．星体表面上的重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
（2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，
所以＝.
考法3 天体的质量和密度的计算
1. 自力更生法
利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R
（1）由=mg得天体的质量M＝
（1）天体密度
（1）黄金带换算：
1. 借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
（1）由G＝mr得天体的质量M＝
（1）若已知天体的半径R，则天体的密度
若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。
【题型过关练】
考法1 开普勒定律
1．2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，为椭圆轨道长轴，为椭圆轨道短轴。某时刻嫦娥六号位于点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的　　
A．点 B．点 C．之间 D．之间
【答案】
【解答】解：根据开普勒第二定律得近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧上的平均速度小于在弧上的平均速度，弧的长度为环月椭圆轨道周长的一半，即嫦娥六号在弧上的运行时间大于半个周期，故再经过二分之一周期它将位于轨道的之间。故错误，正确。
故选：。
2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是　　
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【答案】
【解答】解：由开普勒第三定律，有 可知轨道半径较大的行星，其周期也长。
设地球绕太阳运行的周期为，地球外另一行星的周期为，两次冲日时间间隔为，则，解得：，可知海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，木星相邻两次冲日的时间间隔最长，故正确，错误。
故选：。
3．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是　　
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
【答案】
【解答】解：根据题意由图可知，金星绕太阳的轨道半径较小，由于每隔1.6年金星离地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多转一圈，则每隔0.8年金星比地球多转半圈，即每隔0.8年太阳、地球、金星在一条直线上，则在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上，故正确，错误；
设金星的公转周期为，地球的公转周期为，则有：
又因为：年，年
代入解得：
根据万有引力提供向心力有：
解得：
则地球和金星绕太阳公转的半径之比为：
代入解得：
故错误。
故选：。
4．北京时间2023年9月21日15时48分，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期约为90分钟，则其公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：空间站的周期：，地球同步卫星的周期，根据开普勒第三定律可得：
解得空间站的公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为：，故错误，故正确。
故选：。
5．我国酒泉卫星发射中心在2022年将“夸父一号”卫星送入半径为的晨昏轨道；2023年又将“星池一号星”送入半径为的晨昏轨道，“夸父一号”与“星池一号星”在绕地球运行中，周期之比为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由开普勒第三定律
得周期之比为
故正确，错误。
故选：。
考法2 万有引力定律
6．2022年4月5日凌晨，火星与土星在太空上演“星星相吸”的天文好戏。即地球、火星和土星排成近似一条直线，如图所示。则　　
A．明年4月5日凌晨会再次上演此“星星相吸”现象
B．三颗行星中地球绕太阳运动的速度最大
C．三颗行星的运行周期分别与其轨道半径的比值相等
D．三颗行星与太阳的连线在相同时间扫过的面积相等
【答案】
【解答】解：．各行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律有，得，，，由图可知三颗行星中地球绕太阳运动的半径最小，速度最大，周期最小；根据开普勒第三定律可知三者运行周期分别与其轨道半径的二分之三次方的比值相等；地球的周期是1年，由于三星绕太阳角速度不等，所以不会出现明年4月5日凌晨即1年后再次上演此“星星相吸”现象；故错误，正确；
．根据开普勒第二定律内容可知，同一行星绕太阳运动过程中，相等时间行星与太阳的连线扫过相等的面积，故错误。
故选：。
7．点和点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达点。已知地球半径为，地表的重力加速度为，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为　　
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为，其中为其质量
D．两飞行器同时到达点
【答案】
【解答】解：、在沿着隧道穿行的飞船中的人与飞船的加速度相同，对飞船没有压力，始终处于完全失重状态，故错误；
、根据和，可得地球密度为，设飞行器沿着隧道穿行，到距离地球球心的距离为时所受的力，解得，因此该飞船做简谐运动，到达地心时速度最大，根据机械能守恒定律有，解得最大速度，故错误；
、利用简谐振动的周期公式
可知沿着隧道穿行的飞行器到达点时恰好运动了半个周期，所用时间为，沿地球表面飞行的速度，从到飞行的时间为
，因此两飞行器同时到达点，故正确。
故选：。
8．半径为、质量分布均匀且为的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为，它们间的万有引力大小为。现在在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据题意，两实心球的万有引力为满足，由于小球密度均匀，被挖去的小球的体积是大球的，则其质量，设想左边仍是实心球，把右边实心球挖掉一个小球，则左边实心球对右边球的万有引力为
左边小球对右边大球的万有引力为
则剩余部分两球的万有引力为△
故错误，正确。
故选：。
9．如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是　　
A．在冬至位置地球所受万有引力最大
B．在立春位置，根据万有引力定律可得
C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03
【答案】
【解答】解：、在冬至位置地球离太阳最近，根据万有引力表达式可知，所受万有引力最大，故正确；
、由于地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，所以在立春位置
故错误；
、根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，故错误；
、根据开普勒第二定律可知，在相同的时间内，扫过的面积相等可得，经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小与距离成反比，所以经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比为
故正确。
故选：。
10．如图所示，从一质量为、半径为的均匀球体的球心处挖出一半径为的小球，将其移至两球面相距处，已知引力常量为，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：大球剩余质量和小球的质量之比为
大球和小球的质量之和为
大球剩余部分和小球的质量分别为
则二者之间的万有引力大小为
，故正确，错误。
故选：。
考法3 天体的质量和密度的计算
11．2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施制动，进入周期为的椭圆环月轨道，近月点距月心，远月点距月心，为椭圆轨道的短轴。已知引力常量，下列说法正确的是　　
A．根据信息可以求出月球的密度
B．“嫦娥六号”的发射速度大于
C．“嫦娥六号”从经到的运动时间为
D．“嫦娥六号”在点和点速度之比为
【答案】
【解答】解：、根据万有引力提供向心力得
由于“嫦娥六号”围绕月球做椭圆运动，不能求出月球的质量，据题中信息也不能求出月球的体积，所以不能求出月球的密度，故错误；
、“嫦娥六号”环绕月球运动，并未脱离地球的束缚，所以其发射速度应大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故错误；
、“嫦娥六号”围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从做减速运动，从做加速运动，在点的速度最大，在的速度最小，则从的运动时间大于半个周期，即大于，故错误；
、取极短时间△，由开普勒第二定律得
△△
则“嫦娥六号”在点和点速度之比为，故正确。
故选：。
12．距离地球大约600光年的行星开普勒很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是　　
A．开普勒的质量是地球质量的5.76倍
B．地球表面重力加速度为开普勒表面重力加速度的2.4倍
C．开普勒的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．开普勒的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍
【答案】
【解答】解：、设地球质量为，半径为，则开普勒的质量为，根据，解得，即则开普勒的质量为地球质量的13.824倍，故错误；
、设地球表面重力加速度为，则开普勒表面重为加速度为，则，，解得，即开普勒表面重为加速度为地球表面重力加速度的2.4倍，故错误；
、设地球的第一宇宙速度为，则开普勒的第一宇宙速度为，根据，得，，代入数据解得，故正确；
、地球公转轨道半径为，则开普勒的公转轨道半径为，根据，解得，其中太阳的质量和恒星的质量相等，解得，故错误。
故选：。
13．我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，由恒星与恒星组成的双星系统绕其连线上的点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星与的距离为，恒星的运行周期为。引力常量为，则恒星与的总质量为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：两恒星绕点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，它们做匀速圆周运动的周期相等，设、做圆周运动的轨道半径分别为、，设两恒星间的距离为，则，由牛顿第二定律得
两式相加得：
恒星与的总质量为：
故正确，错误。
故选：。
14．按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为（称为斯特藩玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星和绕其圆周运动的行星（忽略其它星体的影响），已知恒星单位面积辐射的功率为，绕圆周运动的距离为、周期为，将视为黑体，的温度恒定为，万有引力常数为，将和视为质量均匀分布的球体，行星的大小远小于其与的距离，由上述物理量和常数表示出的恒星的平均密度为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：设恒星的半径为，质量为，平均密度为，恒星的半径为，质量为，恒星、间的距离为，则，行星绕恒星做匀速圆周运动，周期为由牛顿第二定律：，由于行星的温度恒定，则星行辐射的功率与接收到的功率相等，即
联立知，，故正确，错误。
故选：。
15．我国在太空开发领域走在了世界前列，假设我国航天员乘坐宇宙飞船去探索某未知星球，航天员在星球表面将一物体竖直向上抛出，其运动的速度大小随时间变化的图像如图所示。设地球质量为，地球表面重力加速度为，已知该星球的半径是地球半径的1.5倍，则该星球的质量为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：物体做竖直上抛运动，只受重力的作用，根据图像可知星球表面的重力加速度为
忽略天体自转，物体在天体表面万有引力等于重力
解得
故
可得星球的质量为
，故正确，错误。
故选：。
【真题演练】
一．选择题（共16小题）
1．（2019 江苏）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、，近地点到地心的距离为，地球质量为，引力常量为．则　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解答】解：根据开普勒第二定律有：。
若卫星绕地心做轨道半径为的圆周运动时，线速度大小为，将卫星从半径为的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有：。
故选：。
2．（2024 贵州）土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为、，且，向心加速度大小分别为、，则　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：土星的卫星绕土星做匀速圆周运动，土星对卫星的万有引力提供向心力；
根据牛顿第二定律
向心加速度
因此加速度之比
即，故错误，正确。
故选：。
3．（2024 浙江）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为，小行星甲的远日点到太阳的距离为，小行星乙的近日点到太阳的距离为，则　　
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比
【答案】
【解答】解：根据开普勒第二定律可知，行星在远日点的速度小于近日点的速度，故错误；
设加速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律
得
由于小行星乙在远日点到太阳的距离等于地球到太阳的距离，因此小行星乙在远日点的加速度等于地球公转的加速度，故错误；
小行星甲的半长轴，小行星乙的半长轴
根据开普勒第三定律
代入数据联立解得，故错误；
甲、乙两颗小行星从远日点到近日点时的时间之比，故正确。
故选：。
4．（2024 广西）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中、和处单位质量的海水受月球引力大小在　　
A．处最大 B．处最大
C．处最大 D．、处相等，处最小
【答案】
【解答】解：根据万有引力公式可知，图中处与月球距离最小，单位质量的海水受月球引力最大，故正确，错误；
故选：。
5．（2024 海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为，则月球的平均密度为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：设月球半径为，则卫星高度，根据牛顿第二定律
又
联立解得，故错误，正确。
故选：。
6．（2024 新课标）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　
A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍
【答案】
【解答】解：设日地距离为，则行星的轨道
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
行星绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
联立解得
即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。
综上分析，故错误，正确。
故选：。
7．（2024 选择性）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体的倍。的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：在地球上，忽略地球自转，万有引力等于重力
在某天体表面上，忽略天体自转，万有引力等于重力
解得
在地球上，设弹簧振子的最大加速度为，根据牛顿第二定律
在某天体上，设弹簧振子的最大加速度为，根据牛顿第二定律
即
弹簧振子通过平衡位置时，此时加速度最大，因此
地球的密度
某天体的密度
联立解得
综上分析，故错误，正确。
故选：。
8．（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出　　
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【答案】
【解答】解：、根据开普勒第三定律可得，火星与地球的公转轨道半径之比约为，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，故错误；
、当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故正确；
、根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故错误；
、根据选项可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，已知地球的公转周期为年，则火星的公转周期为：年。
设经过时间出现下一次“火星冲日”，则有：
解得：年
所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故错误。
故选：。
9．（2023 山东）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足。已知地月之间的距离大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设地球半径为，在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力：
月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：
由题意得：
联立解得：
故错误，正确。
故选：。
10．（2023 新课标）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约的物资进入距离地面约（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资　　
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
【答案】
【解答】解：、物资在空间站中的质量与静止在地面上的质量相等，故错误；
、若不考虑地球自转，物资静止在地面时，所受合力为零。物资在空间站中做匀速圆周运动，物资所受的合力为地球对物资的万有引力，则物体在空间站中所受合力比静止在地面上时大，故错误；
、由万有引力公式得：
物资在空间站中离地球球心的距离大于在地面上时离球心的距离，则所受地球引力比静止在地面上时小，故错误；
、地球自转角速度等于同步卫星做匀速圆周运动的角速度，同步卫星和物资均绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：
解得：
由题意可知，空间站运动轨道离地面高度小于地球同步卫星与地面的距离，则空间站做圆周运动的半径小于同步卫星做圆周运动的半径，角速度大于同步卫星的角速度，则空间站做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大，故正确。
故选：。
11．（2023 浙江）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从处行走到处的照片。轨迹段是直线，段是曲线，巡视器质量为，则巡视器　　
A．受到月球的引力为
B．在段运动时一定有加速度
C．段与段的平均速度方向相同
D．从到的位移大小等于轨迹长度
【答案】
【解答】解：、地球表面的重力加速度为，则巡航起在地球表面所受引力为，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，则巡航起受到月球的引力一定不为，故错误；
、巡航器在段运动时做曲线运动，合力一定不为零，一定有加速度，故正确；
、平均速度的方向与位移的方向相同，位移为由初位置指向末位置的有向线段，位移的大小为有向线段的长度，从到的位移大小不等于轨迹长度。位移的方向为由初位置末位置，由图可知，段和段的位移方向不同，则平均速度方向不同，故错误；
故选：。
12．（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径的倍。月球绕地球公转周期为，则　　
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为
C．周期与之比为
D．木星质量与地球质量之比为
【答案】
【解答】解：设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为、、，木卫三周期为，公转轨道半径。
、根据开普勒第三定律可得：，解得：，故错误；
、根据开普勒第三定律可得：，解得：，故错误；
、由于开普勒第三定律适用于同一个中心天体，不能根据开普勒第三定律计算周期与之比；由于木星和地球质量关系不知道，无法计算与之比，故错误；
、对于木卫三，根据万有引力提供向心力，则有：，解得：
对于月球绕地球做匀速圆周运动时，有：，解得：
所以木星质量与地球质量之比为：，故正确。
故选：。
13．（2023 江苏）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是　　
A．质量 B．向心力大小
C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小
【答案】
【解答】解：卫星受到的万有引力提供向心力，则
解得：
卫星的质量与月球的质量不相等，则向心力和万有引力也不相等，因为运行的轨道半径相等，则卫星和月球的向心加速度一定相等，故正确，错误；
故选：。
14．（2023 浙江）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为　　
A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天
【答案】
【解答】解：由开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期的平方的比值都相等，设地球外另一行星的周期为，则有：
则两次冲日时间间隔为，则
可得：
对火星和地球，代入数据得：天
对天王星和地球，代入数据得：天
故正确，错误。
故选：。
15．（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为，地球绕太阳运动的周期为，地球半径是月球半径的倍，则地球与太阳的平均密度之比约为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：对于质量为的卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，设其轨道半径为，根据万有引力提供向心力，则有：，解得
根据密度计算公式可得：，其中
联立解得：
所以有：
即：
其中：，
解得：，故正确、错误。
故选：。
16．（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为的圆周运动，轨道距月球表面的高度为。已知月球半径为，引力常量为，则月球的平均密度为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：月球探测器绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力提供向心力，有：
解得：
月球的体积为
则月球的平均密度
故正确，错误。
故选：。
二．多选题（共1小题）
17．（2024 福建）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号” 　　
A．角速度大小比“哈勃”的小
B．线速度大小比“哈勃”的小
C．运行周期比“哈勃”的小
D．向心加速度大小比“哈勃”的大
【答案】
【解答】解：根据万有引力提供向心力有，可得，，，。“巡天号”的轨道半径比“哈勃”望远镜的小，故“巡天号”的角速度更大、线速度更大、周期更小、向心加速度更大，故错误，正确。
故选：。
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专题18 开普勒定律 万有引力定律及其应用
【考情分析】
考情分析 考题统计
熟练理解并掌握开普勒三大定律的概念，融汇贯通所涉及到的题型；熟练掌握万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算星球表面的重力加速度等问题；关注当下热点，尤其是涉及到中国的航天航空事业，它是每年高考常考的热点。 2024·辽宁·高考物理试题2024·江苏·高考物理试题2024·甘肃·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·江西·高考物理试题2024·北京·高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 开普勒定律
1. 两种学说
（1）地心说：认为地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月球及其他天体都绕地球运动
（2）日心说：认为太阳是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动
2. 开普勒行星运动定律
定律 内容 图示 说明
开普勒第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 行星运动的轨道必有近日点和远日点
开普勒第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运动的速度比较快，而离太阳较远时速度较慢
开普勒第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同
考法2 万有引力定律
1．万有引力定律
（1）公式：F＝G
（2）适用条件
①适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算；
②当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
2．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
（1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；
（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω
3．星体表面上的重力加速度
（1）在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
（2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，
所以＝.
考法3 天体的质量和密度的计算
1. 自力更生法
利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R
（1）由=mg得天体的质量M＝
（1）天体密度
（1）黄金带换算：
1. 借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
（1）由G＝mr得天体的质量M＝
（1）若已知天体的半径R，则天体的密度
若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。
【题型过关练】
考法1 开普勒定律
1．2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，为椭圆轨道长轴，为椭圆轨道短轴。某时刻嫦娥六号位于点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的　　
A．点 B．点 C．之间 D．之间
2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是　　
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
3．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是　　
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
4．北京时间2023年9月21日15时48分，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期约为90分钟，则其公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为　　
A． B． C． D．
5．我国酒泉卫星发射中心在2022年将“夸父一号”卫星送入半径为的晨昏轨道；2023年又将“星池一号星”送入半径为的晨昏轨道，“夸父一号”与“星池一号星”在绕地球运行中，周期之比为　　
A． B． C． D．
考法2 万有引力定律
6．2022年4月5日凌晨，火星与土星在太空上演“星星相吸”的天文好戏。即地球、火星和土星排成近似一条直线，如图所示。则　　
A．明年4月5日凌晨会再次上演此“星星相吸”现象
B．三颗行星中地球绕太阳运动的速度最大
C．三颗行星的运行周期分别与其轨道半径的比值相等
D．三颗行星与太阳的连线在相同时间扫过的面积相等
7．点和点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达点。已知地球半径为，地表的重力加速度为，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为　　
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为，其中为其质量
D．两飞行器同时到达点
8．半径为、质量分布均匀且为的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为，它们间的万有引力大小为。现在在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为　　
A． B． C． D．
9．如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是　　
A．在冬至位置地球所受万有引力最大
B．在立春位置，根据万有引力定律可得
C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03
10．如图所示，从一质量为、半径为的均匀球体的球心处挖出一半径为的小球，将其移至两球面相距处，已知引力常量为，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为　　
A． B． C． D．
考法3 天体的质量和密度的计算
11．2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施制动，进入周期为的椭圆环月轨道，近月点距月心，远月点距月心，为椭圆轨道的短轴。已知引力常量，下列说法正确的是　　
A．根据信息可以求出月球的密度
B．“嫦娥六号”的发射速度大于
C．“嫦娥六号”从经到的运动时间为
D．“嫦娥六号”在点和点速度之比为
12．距离地球大约600光年的行星开普勒很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是　　
A．开普勒的质量是地球质量的5.76倍
B．地球表面重力加速度为开普勒表面重力加速度的2.4倍
C．开普勒的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．开普勒的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍
13．我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，由恒星与恒星组成的双星系统绕其连线上的点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星与的距离为，恒星的运行周期为。引力常量为，则恒星与的总质量为　　
A． B． C． D．
14．按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为（称为斯特藩玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星和绕其圆周运动的行星（忽略其它星体的影响），已知恒星单位面积辐射的功率为，绕圆周运动的距离为、周期为，将视为黑体，的温度恒定为，万有引力常数为，将和视为质量均匀分布的球体，行星的大小远小于其与的距离，由上述物理量和常数表示出的恒星的平均密度为　　
A． B．
C． D．
15．我国在太空开发领域走在了世界前列，假设我国航天员乘坐宇宙飞船去探索某未知星球，航天员在星球表面将一物体竖直向上抛出，其运动的速度大小随时间变化的图像如图所示。设地球质量为，地球表面重力加速度为，已知该星球的半径是地球半径的1.5倍，则该星球的质量为　　
A． B． C． D．
【真题演练】
一．选择题（共16小题）
1．（2019 江苏）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、，近地点到地心的距离为，地球质量为，引力常量为．则　　
A．， B．， C．， D．，
2．（2024 贵州）土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为、，且，向心加速度大小分别为、，则　　
A． B．
C． D．
3．（2024 浙江）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为，小行星甲的远日点到太阳的距离为，小行星乙的近日点到太阳的距离为，则　　
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比
4．（2024 广西）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中、和处单位质量的海水受月球引力大小在　　
A．处最大 B．处最大
C．处最大 D．、处相等，处最小
5．（2024 海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为，则月球的平均密度为　　
A． B．
C． D．
6．（2024 新课标）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　
A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍
7．（2024 选择性）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体的倍。的值为　　
A． B． C． D．
8．（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出　　
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
9．（2023 山东）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足。已知地月之间的距离大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为　　
A． B． C． D．
10．（2023 新课标）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约的物资进入距离地面约（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资　　
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
11．（2023 浙江）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从处行走到处的照片。轨迹段是直线，段是曲线，巡视器质量为，则巡视器　　
A．受到月球的引力为
B．在段运动时一定有加速度
C．段与段的平均速度方向相同
D．从到的位移大小等于轨迹长度
12．（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径的倍。月球绕地球公转周期为，则　　
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为
C．周期与之比为
D．木星质量与地球质量之比为
13．（2023 江苏）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是　　
A．质量 B．向心力大小
C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小
14．（2023 浙江）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为　　
A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天
15．（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为，地球绕太阳运动的周期为，地球半径是月球半径的倍，则地球与太阳的平均密度之比约为　　
A． B．
C． D．
16．（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为的圆周运动，轨道距月球表面的高度为。已知月球半径为，引力常量为，则月球的平均密度为　　
A． B．
C． D．
二．多选题（共1小题）
17．（2024 福建）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号” 　　
A．角速度大小比“哈勃”的小
B．线速度大小比“哈勃”的小
C．运行周期比“哈勃”的小
D．向心加速度大小比“哈勃”的大
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