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考点20 卫星变轨 多星模型
【考情分析】
考情分析 考题统计
能熟练掌握万有引力定律，掌握卫星变轨过程中各种运动参量的变化；熟记双星模型，掌握双星模型的特点；掌握并理解三星或多星模型做圆周运动的向心力来源并求各种的运动参量。 2024·辽宁·高考物理试题2024·江苏·高考物理试题2024甘肃·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·江西·高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题2023·全国·高考物理试题2023·北京·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 航天器的变轨问题
1. 卫星轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
（1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做速圆周运动，速率为v1；
（2）变轨时在 P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II；
（3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。
2. 卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 向心运动
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然变小
F万与Fn的关系 （万有引力不足提供所需要的向心力） （万有引力大于提供所需要的向心力）
变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
3. 对接问题
在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。
考法2 宇宙中的双星和多星模型
1．双星模型
（1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
INCLUDEPICTURE "E:\\林文文\\2017\\一轮\\人教 物理\\4-4-16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\大一轮全国\\4-4-16.TIF" \* MERGEFORMATINET
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
INCLUDEPICTURE "E:\\林文文\\2017\\一轮\\人教 物理\\4-4-17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\大一轮全国\\4-4-17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\林文文\\2017\\一轮\\人教 物理\\4-4-18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\大一轮全国\\4-4-18.TIF" \* MERGEFORMATINET
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【题型过关练】
题型一 航天器的变轨问题
1．2022年1月22日，我国实践21号卫星将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道“上。拖拽时，航天器先在点加速进入转移轨道，而后在点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器　　
A．在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期
B．在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度
C．在转移轨道上经过点的速度大于在墓地轨道上经过点的速度
D．在同步轨道上经过点的加速度大于在转移轨道上经过点的加速度
2．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
3．如图所示，人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行，人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行，其中椭圆轨道上的点为远地点，点为近地点，设地球表面重力加速度为，地球半径为，两轨道相切于点，下列说法正确的是　　
A．卫星2在点的速度小于在卫星2在点的速度
B．卫星1在点的加速度等于卫星2在点的加速度
C．卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
D．卫星1在轨道Ⅰ上通过点的动能大于在卫星2在轨道Ⅱ上通过点的动能
4．2024年3月25日0时46分，鹊桥二号中继星完成112小时奔月飞行，在距月面约440公里处开始近月制动，约19分钟后进入环月圆轨道。之后调整轨道高度和倾角，进入24小时周期的大椭圆“使命轨道”。以下为鹊桥二号运行过程示意简图，下列说法正确的是　　
A．鹊桥二号中继星发射速度需大于第三宇宙速度
B．鹊桥二号离开地面的升空过程，卫星内部测量仪器处于失重状态
C．为使鹊桥二号从环月圆轨道进入“使命轨道”，应向前喷气制动
D．在使命轨道运行时，鹊桥二号与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等
5．2024年5月3日嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，由此开启世界首次月背“挖宝”之旅。如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化示意图，首先从地球表面发射探测器至地月转移轨道，探测器在点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在点变轨后沿圆形轨道②运动，下列说法正确的是　　
A．飞船在轨道①上经过点时应该加速才能进入轨道②
B．飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C．飞船在轨道①上经过点时的加速度与在轨道②上经过点时的加速度相同
D．飞船在轨道①上的周期小于轨道②上的周期
6．两颗人造卫星绕地球运动。如图所示，卫星1轨道为圆、卫星2轨道为椭圆，、两点为椭圆轨道长轴两端，点为两轨道交点。已知圆的半径与椭圆的半长轴相等，椭圆的面积计算公式为，公式中、分别为椭圆的半长轴和半短轴，则下列说法正确的是　　
A．卫星2的周期等于卫星1的周期
B．卫星2的周期大于卫星1的周期
C．卫星1在点的加速度大于卫星2在点的加速度
D．相等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积等于卫星2与地心连线扫过的面积
题型二 宇宙中的双星和多星模型
7．“双星”一词是由弗里德里希赫歇尔在1802年所创。根据他的定义，“双星”是由两个星体根据万有引力定律组成的一个系统，故宇宙中的两颗相距较近、质量较大的天体称为“双星”。它们以两者连线的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引在一起。如图，已知一双星系统中、两星的距离为，、均绕点做匀速圆周运动，、质量之和为，、间距离为，且大于、间的距离，则下列说法中正确的是　　
A．星的质量为
B．星的质量为
C．星与星的线速度相同
D．星的线速度小于星的线速度
8．所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星。这两颗星各自以一定的速率绕某一中心转动才不致由于万有引力而吸在一起。已知它们的质量分别为和，相距为，万有引力恒量为，下列说法不正确是　　
A．它们的轨道半径之比
B．线速度大小之比
C．转动中心的位置距为
D．它们转动的角速度为
9．洛希极限是指在双星系统中，在两天体质量能保持稳定的情况下，它们之间的最近距离。如果两个天体之间的距离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在质量较大的天体引力下被撕碎。洛希极限的计算公式为，、分别为质量较大和较小的天体质量，为质量较大的天体的半径。如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在彼此间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。简化为如图乙所示，测得、两恒星间的距离为，、两恒星的半径分别为、，恒星做圆周运动的向心加速度是恒星的倍，该双星系统的洛希极限为　　
A． B． C． D．
10．如图（a）所示，可以认为地月系统是月球绕地球做匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为；如图（b）所示，也可以认为地月系统是一个双星系统，在相互之间的万有引力作用下绕连线上的点做匀速圆周运动，月球绕点运动的周期为。若地球、月球质量分别为、，两球心相距为，万有引力常量为，下列说法正确的是　　
A．图（a）中若把部分月壤运回到地球，则最终月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小
B．图（a）中，地球密度为
C．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕点运动的周期
D．地月双星轨道中点到地心距离为
11．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则　　
A．金星绕太阳转动的线速度小于地球绕太阳的线速度
B．在16年内太阳、地球、金星有20次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
12．如图所示，科学家设想在拉格朗日点建立一空间站，且空间站绕地球做圆周运动的周期与月球公转周期相同。则　　
A．空间站的加速度小于月球的加速度
B．空间站的线速度等于月球的线速度
C．空间站的向心力大于月球的向心力
D．空间站和月球均只受地球的万有引力
【真题演练】
一．选择题（共3小题）
1．（2024 安徽）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为，周期约为。则鹊桥二号在捕获轨道运行时　　
A．周期约为
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
2．（2024 湖北）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
3．（2024 重庆）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设、两个天体的质量均为，相距为，其连线的中点为，另一天体（图中未画出）质量为，若处于、连线的垂直平分线上某特殊位置，、、可视为绕点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为。则　　
A．的线速度大小为的倍
B．的向心加速度大小为的一半
C．在一个周期内的路程为
D．的角速度大小为
二．多选题（共1小题）
4．（2023 福建）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日点附近，点的位置如图所示。在点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为和，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为，万有引力常数为，点到地心的距离记为，在点的航天器绕点转动的角速度大小记为。下列关系式正确的是　　
可能用到的近似
A． B．
C． D．
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考点20 卫星变轨 多星模型
【考情分析】
考情分析 考题统计
能熟练掌握万有引力定律，掌握卫星变轨过程中各种运动参量的变化；熟记双星模型，掌握双星模型的特点；掌握并理解三星或多星模型做圆周运动的向心力来源并求各种的运动参量。 2024·辽宁·高考物理试题2024·江苏·高考物理试题2024甘肃·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·江西·高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题2023·全国·高考物理试题2023·北京·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 航天器的变轨问题
1. 卫星轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
（1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做速圆周运动，速率为v1；
（2）变轨时在 P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II；
（3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。
2. 卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 向心运动
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然变小
F万与Fn的关系 （万有引力不足提供所需要的向心力） （万有引力大于提供所需要的向心力）
变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
3. 对接问题
在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。
考法2 宇宙中的双星和多星模型
1．双星模型
（1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
INCLUDEPICTURE "E:\\林文文\\2017\\一轮\\人教 物理\\4-4-16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\大一轮全国\\4-4-16.TIF" \* MERGEFORMATINET
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
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（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【题型过关练】
题型一 航天器的变轨问题
1．2022年1月22日，我国实践21号卫星将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道“上。拖拽时，航天器先在点加速进入转移轨道，而后在点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器　　
A．在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期
B．在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度
C．在转移轨道上经过点的速度大于在墓地轨道上经过点的速度
D．在同步轨道上经过点的加速度大于在转移轨道上经过点的加速度
【答案】
【解答】解：、因同步轨道的半径小于转移轨道的半长轴，所以根据开普勒第三定律可知，航天器在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期，故正确；
、航天器绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有
解得
由于同步轨道的半径小于墓地轨道的半径，所以航天器在同步轨道上运动的角速度大于在墓地轨道上运动的角速度，故错误；
、航天器在点经过加速才能进入墓地轨道，所以在转移轨道上经过点的速度小于在墓地轨道上经过点的速度，故错误；
、根据牛顿第二定律有
可得
由于、、都相等，所以航天器在同步轨道上经过点的加速度等于在转移轨道上经过点的加速度，故错误。
故选：。
2．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】
【解答】解：根据万有引力定律
得
由于空间站变轨前、后在点到地球中心的距离相等，因此空间站变轨前、后在点的加速度相同，故正确；
根据开普勒第三定律
变轨后的半长轴
联立得
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故错误；
空间站变轨前后的运动情况如图所示：
根据运动的合成与分解，空间站在点变轨前的速度小于变轨后的速度，即，故错误；
空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，因此
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系
由于，因此，即
综合分析得
空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故错误。
故选：。
3．如图所示，人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行，人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行，其中椭圆轨道上的点为远地点，点为近地点，设地球表面重力加速度为，地球半径为，两轨道相切于点，下列说法正确的是　　
A．卫星2在点的速度小于在卫星2在点的速度
B．卫星1在点的加速度等于卫星2在点的加速度
C．卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
D．卫星1在轨道Ⅰ上通过点的动能大于在卫星2在轨道Ⅱ上通过点的动能
【答案】
【解答】解：为椭圆轨道Ⅱ近地点，为椭圆轨道Ⅱ的远地点，卫星2从近地点运动到远地点做减速运动，即卫星2在点的速度大于在点的速度，故错误；
根据牛顿第二定律有
解得
可知，卫星1在点的加速度等于卫星2在点的加速度，故正确；
根据开普勒第二定律，卫星1在相同时间内与地球连线扫过的面积相等，且卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等，但两卫星不在同一轨道上，所以在相同时间内与地球连线扫过的面积不相等，故错误；
卫星2在轨道Ⅱ上点需加速才能运动到轨道Ⅰ上，故卫星1在轨道Ⅰ上通过点的速度大于卫星2在轨道Ⅱ上通过点的速度，但因为两卫星的质量关系不知道，故无法判断两卫星通过点的动能大小，故错误。
故选：。
4．2024年3月25日0时46分，鹊桥二号中继星完成112小时奔月飞行，在距月面约440公里处开始近月制动，约19分钟后进入环月圆轨道。之后调整轨道高度和倾角，进入24小时周期的大椭圆“使命轨道”。以下为鹊桥二号运行过程示意简图，下列说法正确的是　　
A．鹊桥二号中继星发射速度需大于第三宇宙速度
B．鹊桥二号离开地面的升空过程，卫星内部测量仪器处于失重状态
C．为使鹊桥二号从环月圆轨道进入“使命轨道”，应向前喷气制动
D．在使命轨道运行时，鹊桥二号与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等
【答案】
【解答】解：、由于鹊桥二号环绕月球运动，未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故错误；
、鹊桥二号离开地面的升空过程，具有向上的加速度，卫星内部测量仪器处于超重状态，故错误；
、从环月圆轨道进入使命轨道，做逐渐靠近圆心的运动，即做向心运动，应减速，故向前喷气制动，故正确；
、由开普勒第二定律可知，鹊桥二号与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，故错误。
故选：。
5．2024年5月3日嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，由此开启世界首次月背“挖宝”之旅。如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化示意图，首先从地球表面发射探测器至地月转移轨道，探测器在点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在点变轨后沿圆形轨道②运动，下列说法正确的是　　
A．飞船在轨道①上经过点时应该加速才能进入轨道②
B．飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C．飞船在轨道①上经过点时的加速度与在轨道②上经过点时的加速度相同
D．飞船在轨道①上的周期小于轨道②上的周期
【答案】
【解答】解：、飞船由椭圆轨道①上经过点时应减速做近心运动，才能变轨到轨道②，故错误；
、月球的第一宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度，由月球的万有引力提供向心力得
可得
飞船在轨道②上的环绕速度为
其中是飞船距月球表面的高度，可知飞船在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度，故错误；
、设飞船在轨道②上的环绕半径为，由牛顿第二定律得
可得
可知飞船在轨道①上经过点时与在轨道②上经过点时距月心的距离相等，所以飞船在轨道①上经过点时的加速度与在轨道②上经过点时的加速度相同，故正确；
、因轨道①的半长轴大于轨道②的半径，所以由开普勒第三定律可知，飞船在轨道①上的周期大于轨道②上的周期，故错误。
故选：。
6．两颗人造卫星绕地球运动。如图所示，卫星1轨道为圆、卫星2轨道为椭圆，、两点为椭圆轨道长轴两端，点为两轨道交点。已知圆的半径与椭圆的半长轴相等，椭圆的面积计算公式为，公式中、分别为椭圆的半长轴和半短轴，则下列说法正确的是　　
A．卫星2的周期等于卫星1的周期
B．卫星2的周期大于卫星1的周期
C．卫星1在点的加速度大于卫星2在点的加速度
D．相等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积等于卫星2与地心连线扫过的面积
【答案】
【解答】解：、已知圆的半径与椭圆的半长轴相等，根据开普勒第三定律可得，所以卫星2的周期等于卫星1的周期，故正确、错误；
、根据牛顿第二定律可得，解得，所以卫星1在点的加速度等于卫星2在点的加速度，故错误；
、卫星2的周期等于卫星1的周期，椭圆的面积为，而圆的面积为，圆的半径与椭圆的半长轴相等，所以椭圆的面积小于圆的面积，在一个周期内卫星1与地心连线扫过的面积大于卫星2与地心连线扫过的面积，故错误。
故选：。
题型二 宇宙中的双星和多星模型
7．“双星”一词是由弗里德里希赫歇尔在1802年所创。根据他的定义，“双星”是由两个星体根据万有引力定律组成的一个系统，故宇宙中的两颗相距较近、质量较大的天体称为“双星”。它们以两者连线的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引在一起。如图，已知一双星系统中、两星的距离为，、均绕点做匀速圆周运动，、质量之和为，、间距离为，且大于、间的距离，则下列说法中正确的是　　
A．星的质量为
B．星的质量为
C．星与星的线速度相同
D．星的线速度小于星的线速度
【答案】
【解答】解：、、两星均绕点做匀速圆周运动，角速度相同，由两者之间的万有引力提供向心力，则有
由题意有
解得星的质量为，故错误，正确；
、星与星的角速度相同，的轨道半径较大，由可知，星的线速度大于星的线速度，故错误。
故选：。
8．所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星。这两颗星各自以一定的速率绕某一中心转动才不致由于万有引力而吸在一起。已知它们的质量分别为和，相距为，万有引力恒量为，下列说法不正确是　　
A．它们的轨道半径之比
B．线速度大小之比
C．转动中心的位置距为
D．它们转动的角速度为
【答案】
【解答】解：、双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相同，根据万有引力提供向心力得
其中
则和的半径之比为
，
故正确，错误；
、根据，相等，则和的线速度之比为，故正确；
本题选择错误选项，故选：。
9．洛希极限是指在双星系统中，在两天体质量能保持稳定的情况下，它们之间的最近距离。如果两个天体之间的距离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在质量较大的天体引力下被撕碎。洛希极限的计算公式为，、分别为质量较大和较小的天体质量，为质量较大的天体的半径。如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在彼此间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动。简化为如图乙所示，测得、两恒星间的距离为，、两恒星的半径分别为、，恒星做圆周运动的向心加速度是恒星的倍，该双星系统的洛希极限为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：对、两恒星，分别根据万有引力提供向心力有
已知恒星做圆周运动的向心加速度是恒星的倍，可得
恒星的质量较大，所以该双星系统的洛希极限为
，故错误，正确。
故选：。
10．如图（a）所示，可以认为地月系统是月球绕地球做匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为；如图（b）所示，也可以认为地月系统是一个双星系统，在相互之间的万有引力作用下绕连线上的点做匀速圆周运动，月球绕点运动的周期为。若地球、月球质量分别为、，两球心相距为，万有引力常量为，下列说法正确的是　　
A．图（a）中若把部分月壤运回到地球，则最终月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小
B．图（a）中，地球密度为
C．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕点运动的周期
D．地月双星轨道中点到地心距离为
【答案】
【解答】解：图（a）中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为△，则
即此时月球做圆周运动所需的向心力小于月球与地球间的万有引力，月球做向心运动，月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小，故正确。
根据万有引力提供向心力
设地球的半径为，地球的体积为
图（a）中，地球密度为
故错误；
根据万有引力提供向心力
解得图（a）月球绕地球运动的周期为
地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中点到地心距离为，地月双星轨道中点到月球圆心距离为，则
可得
且
解得
可知图（a）月球绕地球运动的周期大于图（b）中月 球绕点运动的周期，故错误。
故选：。
11．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则　　
A．金星绕太阳转动的线速度小于地球绕太阳的线速度
B．在16年内太阳、地球、金星有20次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
【答案】
【解答】解：．根据题意由图可知，金星绕太阳的轨道半径比地球较小，根据万有引力提供向心力有
可得
金星绕太阳转动的线速度较大，故错误；
由于每隔1.6年金星离地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多转1圈，则每隔16年金星比地球多转10圈，即每隔0.8年太阳、地球、金星在一条直线上，则在16年内太阳、地球、金星有20次在一条直线上，故正确；
．设金星的公转周期为，地球的公转周期为，则有
又有年，年，解得
故错误；
．根据开普勒第三定律
解得
故错误。
故选：。
12．如图所示，科学家设想在拉格朗日点建立一空间站，且空间站绕地球做圆周运动的周期与月球公转周期相同。则　　
A．空间站的加速度小于月球的加速度
B．空间站的线速度等于月球的线速度
C．空间站的向心力大于月球的向心力
D．空间站和月球均只受地球的万有引力
【答案】
【解答】解：、空间站绕地球做圆周运动的周期与月球公转周期相同，由可知，两者角速度相同，由可知，空间站的轨道半径小于月球的轨道半径，则空间站的加速度小于月球的加速度，故正确；
、空间站的角速度等于月球的角速度，由可知，空间站的轨道半径小于月球的轨道半径，则空间站的线速度小于月球的线速度，故错误；
、根据可知，空间站的加速度小于月球的加速度，空间站的质量小于月球的质量，则空间站的向心力小于月球的向心力，故错误；
、空间站受到地球和月球的万有引力，月球受地球和空间站的万有引力，故错误。
故选：。
【真题演练】
一．选择题（共3小题）
1．（2024 安徽）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为，周期约为。则鹊桥二号在捕获轨道运行时　　
A．周期约为
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】
【解答】解：设鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道半长轴分别为、，鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道运行的周期分别为、；
根据开普勒第三定律有
代入数据解得，故错误；
鹊桥二号在捕获轨道运行时，根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号与月球的联线在相等的时间内扫过的面积相等，因此鹊桥二号在近月点附近，相等的时间内通过的弧长更长，运行的速度大，在远月点点附近，相等的时间内通过的弧长更短，运行的速度小，因此鹊桥二号在近月点的速度大于远月点的速度，故正确；
根据卫星变轨原理可知，鹊桥二号在捕获轨道近月点需要减速才能进入冻结轨道运行，所以鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，故错误；
在近月点，根据万有引力定律和牛顿第二定律，可得
则有
由此可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，故错误。
故选：。
2．（2024 湖北）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则　　
A．空间站变轨前、后在点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】
【解答】解：根据万有引力定律
得
由于空间站变轨前、后在点到地球中心的距离相等，因此空间站变轨前、后在点的加速度相同，故正确；
根据开普勒第三定律
变轨后的半长轴
联立得
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故错误；
空间站变轨前后的运动情况如图所示：
根据运动的合成与分解，空间站在点变轨前的速度小于变轨后的速度，即，故错误；
空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，因此
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系
由于，因此，即
综合分析得
空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故错误。
故选：。
3．（2024 重庆）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设、两个天体的质量均为，相距为，其连线的中点为，另一天体（图中未画出）质量为，若处于、连线的垂直平分线上某特殊位置，、、可视为绕点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为。则　　
A．的线速度大小为的倍
B．的向心加速度大小为的一半
C．在一个周期内的路程为
D．的角速度大小为
【答案】
【解答】解：由于，因此天体对、天体的万有引力可以忽略不计；
、天体之间的万有引力
设角速度为，对天体，万有引力提供向心力
联立解得
因此，故错误；
设到点的距离为，则之间的距离
、之间的万有引力
天体做匀速圆周运动的向心力
代入数据解得
根据向心力公式
联立上述，解得
根据线速度与角速度的关系，的线速度
、的线速度
因此，即，故正确；
根据向心加速度公式
、的向心加速度之比
因此的向心加速度大小为的倍，故错误；
在一个周期内的路程为，故错误。
故选：。
二．多选题（共1小题）
4．（2023 福建）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日点附近，点的位置如图所示。在点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为和，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为，万有引力常数为，点到地心的距离记为，在点的航天器绕点转动的角速度大小记为。下列关系式正确的是　　
可能用到的近似
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：．根据万有引力提供向心力可知：设点距离太阳为，点距离地球为
对太阳有：
对地球有：
且满足：
联立上式解得：，故错误，正确。
．对处在点的航天器分析，设航天器的质量为，根据万有引力提供向心力有：
结合上述的式子，联立解得：
故正确，错误。
故选：。
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