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(共26张PPT)
第七章平行线的证明
7.5.1三角形的内角和定理（1）
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．
2. 会运用三角形内角和定理进行计算.
情景导入
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
探索新知
三角形的内角和定理的证明
一
我们知道，三角形内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？
曾利用撕纸验证三角形三个内角的和为1800.
探索新知
图1
图2
A
B
C
C
B
A
B
C
A
B
A
探索新知
图4
图3
A
B
C
B
A
B
C
探索新知
通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了几个三角形的内角和等于180°，但这些三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
根据前面给出的基本事实和定理去证明
探索新知
方法一：
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
试证明：
A
B
C
三角形内角和等于180°
规范作图
D
E
A
C
B
2
1
3
辅助线通常画成虚线.
添加辅助线
三角形内角和
转化
平角/同旁内角
思路总结
探索新知
证明：过点A作DE∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
∵∠2+∠1+∠3=1800（平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
D
E
A
C
B
2
1
3
探索新知
方法二：
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
试证明：
三角形内角和等于180°
A
B
C
A
B
E
D
A
C
B
1
2
3
探索新知
E
D
A
C
B
1
2
3
证明：延长BC 到D，过点C 作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
探索新知
(1)
A
B
C
P
Q
R
T
S
N
(3)
A
B
C
P
Q
R
M
T
S
N
(2)
A
B
C
P
Q
R
M
更多证法
总结归纳
探索新知
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
探索新知
证明命题的一般步骤:
1.理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
2.根据题意,画出图形;
3.结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
4.分析题意,探索证明思路;
5.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
6.检查表达过程是否正确,完善.
总结归纳
探索新知
例1.如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
探索新知
A
B
D
C
解：
在△ABC中，
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）.
∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
当堂检测
1．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（　B　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
当堂检测
2．如图，该图形中x的值是（　A　）
A．60
B．65
C．70
D．75
A
当堂检测
3.如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的度数为（　B　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
当堂检测
4.如图，将 沿 折叠，使 ，点 的
对应点为点 .若 ， ，则
的度数是( )
D
A. B.
C. D.
当堂检测
5.将含 角的一个直角三角板和一把直尺如图放置,若
,则 _ _____.

6.在 中, , ,
则 的度数为_ ____.

当堂检测
7.如图,三条直线两两相交于 , , 三点 ,
,则 的度数为_ ____.

8.如图,在 中， , 的平分线 , 相
交于点 , , , _ _____.

当堂检测
9．在△ABC中，∠A＋35°＝∠B，∠C＝∠B－25°，
求△ABC的各个内角的度数．
解：∵∠A＋35°＝∠B(已知)，
∴∠A＝∠B－35°(等式的性质)．
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)．
∵∠C＝∠B－25°(已知)，
∴∠B－35°＋∠B＋∠B－25°＝180°(等式的性质)．
∴∠B＝80°(等式的性质)．
∴∠A＝80°－35°＝45°，∠C＝80°－25°＝55°(等式的性质)．
当堂检测
10.在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2.
求∠A，∠B和∠C的度数．
解：设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝2x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴4x＋3x＋2x＝180°.
解得x＝20°.
∴∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°.
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
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