资源简介

绝宙★启用前
齐鲁名校大联考
2025届山东省高三第三次学业水平联合检测
数学.
本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用梭皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
下
帮 3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
我
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1 .已知N = ： 一则5=
A 3 , 1. 3 1. L 1,3. ^13.
瓦-2+r B. -J* C. -7+yi D. --i
2 .已知集合 A4=(—l,0,l,2,3) ,N = jx |coa 芋=o),则 MPIN =
A. <0,2} B. (-1,1,3} C. {-1,1} D. {1,2,3)
教 3 .已知e1，ez是两个相互垂直的单位向量，且向量a=2e|-?2,6=61+02,则la—bl =
A. 75 B. 2 C. 73 D. 1
4 .已知函数/(工)=5后(3工-90(0〈「<”)的图像关于点(5,0)对称,则p=
a 5n □ n n 2k n
A G B- I C T D- 3
5 .已知球的半径和圆锥的底面半径相等,且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为4兀,
则圆锥的高为
A 1 B. 42 C. 73 D. 2
6 .巳知双曲线C：］- =l(a>0,b>0)的右焦点为F,点8(0,46).若以坐标原点为圆
a bl
甸 心,a为半径的圆恰好与直线BF相切，则C的离心率为
A. 2j2 B. 75 C. 2 D. J2
敷学试题 第1页(共4页)
K
7 .已知函数/（工）=&工,一】11工（0>0）在区间（1,2）单调，则。的取值范围是
A. U（l>+°°） B.（0,/]U[/,+8）
c （r1） D- [ 41
8 .已知抛物线C,/=4x的焦点为F,过点（点,。）的直线与C交于M,N两点，则当2|MF| +
1NFI取得最小值时,AF/WN的面积为
A. 1 B. 42 C. 2 D. #4-1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 .已知函数f （工）的定义域为R,且/⑴=0,若fQy）=”（工），则
A. /（0）=0 B.八工）是奇函数
C. 〃工）是增函数 D. /（h）+/（2h）=/（3h）
10 .椭圆曲线在密码学中有重要的应用，已知椭圆曲线E={（H,y）|/=J+aH+b,4小 十
27占2r0},则
A. E关于坐标原点对称
B. E关于工轴对称
C.当a = 3,6=3时,E与工轴只有一个公共点
D.当a = -4,b = 2时,E与工轴有两个公共点
11.已知 nWN，,ei=J,ei.=2&.+i，a.=2"sin内,6.=2"tan %，则
妨 an+\-bn+\ 1 bib/“b”F
C. r—"<7 D, --------
aK—b 4 a.ifiz-a. 2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。
12 .记S0是等比数列匕」的前n项和，若az = 2，aj = l,则S&=.
13 .已知四楼台ABCD-ABiCiDi的上、下底面都是正方形，体积为19.若AB=3,AtB| =2,
则四棱台ABCD-AiBCiDi的高为，四棱锥BlADDiA1的体积为..
14 .记M为％+6|/&—&|,|&一《:|,|6一"|中最大的数.若。+ 422,则M的最小
值为.
数学试题 第2页（共4页）
四、解答题:本题共S小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13 分)
记AABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,6,c ,巳知c=2asin Ccos(B +C).
(1)求4彳
(2)若b=2短、AABC的面积为3,求a.
16 . (15 分)
如图，在三楼柱ABC-ABiG中,D,E分别为AB,CCi的中点.
(1)证明：CD 〃平面A】BE；
⑵若侧面A4】GC_L底面ABC,底面ABC是等边三角形，侧面AAQQ是菱形，且
NA]AC=60°,求直线DE与侧面BCGBi所成角的正弦值.
17 . (15 分)
已知椭圆C§+*l(a>6>0)的左、右焦点分别为F,，B ,A为第一象限内C上的
一点，直线AF 与C的另一个交点为B,且|AB| = |AF]|.
(D 证明：|BFJ=2|AFJ；
(2)若IAF/ =1, |BFz | =2,求直线AFj被C截得的弦长.
数学试题第3页(共4页)
18 . （17 分）
已知函数/（H）= e，-sin工一。工，
（D求曲线y=/Gr）在点（0./（0））处的切线方程I
（2）若工=0不是八h）的极值点，求at
（3）证明，当时,存在唯一正数工。,使得点（h0,/（h。））关于点（0,1）的对称点也在
曲线y=/Q）上.
19 .（17分）
设集合X. = （l,2,…，” ）（n）5,且“ 叶），匕=3，，历，々）,若匕=*.,且匕中的
3个元素不能构成等差数列，则称Y,是X.的一个三元非对称子集.
（D写出所有X,的三元非对称子集；
⑵设匕,Y2，…,是Xe的10个互不相同的三元非对称子集，且。「V6, Vc, G = 1,
,求 \ai-2b, +c（ |的最小值和最大值j
1-1
（3）从所有X.的三元非对称子集中任取一个集合，记该集合满足其中一个元素恰好等
13 1 2
于另两个元素之和的概率为尸.，证明伞一方）P “一卜一为p”+w工■+=？
\ It / \ c / 71 1 7c O
数学试题第4页（共4页）
2025届山东省高三第三次学业水平联合检测 数学
香杳等案及as祈
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一、选择题 7. B【解析】由已知得，Gc)=2ax —工，当a>0
1. c【解析】因为z = 4- -T-. = 4— X
1 1 — 1 r
《，故/(工)在区间
1 + i . . 1 + i 1 _ 3 . ,ep. 时，令/'(%) =0,得工 Na
(l-i)(l + i)- 1 2 — 2 2 所以
上单调递减,在区间(忌，+8)
上
2. B【解析】因为N = Hb=2)fe+l,Aez}, 单调递增,所以若“了)在区间(1,2)上单调，则且
M — { — 1,0,1,2,3},所以 M D N = { - 19 需满1 足或焉即或心
1,3}. 2a
3. A【解析】法一：由题意得a—b=ei—所 所以a的取值范围是(0塌 Uj[,+8).
以|a—b产=|也产-4次 「+ 4 | ”产=5,则
\a-b | =展. 8. A【解析】当直线过点(北\0)且垂直于支轴
法二:因为外，外是两个相互垂直的单位向量， 时,不妨设M (施'，2北')，N (戏2%)，则
且向量a = 2ci—。2,6=七+62,所以不妨设 |MF| = |NF|=V^ + 1,所以 2\MF\ + \NF\ =
外=(1,0), 2 =(0，1)，则 a = (29 — 1) 9 b =
3也+3；当直线过点(方;0)且不垂直于无轴时，
(1,1),故 a 一b=(1, — 2),则 |g—b | =展.
7t 设直线方程为y=8z一也')(&N0),M(zi,
4. D【解析】根据题意得3X^—牛= kx(k G iy2=ix,
IT ,l),NGc2，y2),联立 | 得氏女2一
z)，即(p=~^—.因为。<个<冗,所以 [ =4(h —72),O
7T 2(北'/+2)纪+2/=0,则叫巧=2.由抛物线的
定义得 2|MF| + |NF|=2Gci+1)+h2+1 =
5. C【解析】设球的半径和圆锥的底面半径为 2a; 1 +工2 +3)2 /2Hl12 +3 = 7,当且仅当判=
r ，则球的表面积为4irr2 =4tt,解得r = l.设圆 1,且 =2时，等号成立.又3原" + 3A7,所以
锥的母线长为Z,高为九，因为圆锥的侧面展开 2IMF I + I NF |的最小值为7,此时不妨设
图是半圆，所以戒=2疗,故Z = 2r = 2,所以h =
M(1,2),N (2, —2 虑')，则 轴，故
一一=衣.
6. D【解析】设。为坐标原点，|OF1 =c AFMN的面积为1.，圆。
与直线BF相切于点P ,则根据几何关系可知 二、选择题
9. ABD【解析】令y = —1,由题设可知/(—z)=
IOB | | OF | = | OF I | BF | ,即声庆=
a/cZ+2P，故 2/c2=aZ(c2+2/) c2 = —,故”尤)是奇函数.又“工)的定义域为 .又
。2+&2,则 2(c2 ~a2)c2 =a2 (c2 +2c2 ~2a2), R,所以"0) = 0,故A,B正确.不妨取/(x) =
2c" - 5a2c2 + 2a4 = 0, (2c — a2) (c2 — —z,则满足 f(,xy)=yf(x'),S. 故 C即 故
2a*)=0,即 2c*—a =o 或一—2az =0.因为双 错误.令y = 2,则“2了)=2" )；令y = 3,则
“3工)=3/5*故 f ( )+/(2工)=/.(无)+
曲线的离心率e = >l,所以e = ~=42.
a a 2/Gc)=3f(z)=/(3z),故 D 正确.
1
数学 参考答案及解析
10. BC【解析】点（］,6）关于坐标原点的对称 2cos 内十i—l / 1 _
1, 2cos2%+] (cos 内+1+1)<%'人口C°S dn+1 -点为（— 一））,而（一+
6X（ 一］尸+〃（一1）+或所以E不关于坐标 3 cos 汨+2>0 .令于(K)=x3 — 3x2 + 2,则
原点对称，故A错误.点（ ，））关于1轴的对 r(i) = 3i(i —2).当 OCiVl 时，/'(久)<
称点为（2,一）），而（一:y）2=3/2=i3+ai + 0"(力)单调递减，故/ (cos内+i)>/(l) =
6,所以E关于尤轴对称，故B正确.当a = 0,故C正确；因为勾=争野，所
— 3,6 = 3 时，/ =/ 一 31 + 3.令 /（1）= an 2 sin Un cos Un
jc3 —3久 + 3,则 /z（jc） = 3x2 * —3.当久< —1 或 b1b2--bn —— 1 ——
时，/'（1）>0；当一1<3<1 时，/'（ ）< 。1。2 …即 cos cos ",cos 0n
0,所以/（1）在区间（—8,—1）和（1,十8）上 2n sin 6n 2n sin 3n
2" cos d cos / …cossin / sin 2%
单调递增,在区间（一1,1）上单调递减，故/（汽）
的极大值为了（ —1） = 5,极小值为/（1） = 1 .又 2" sin 强'.令 g (久)=sin 久一1,贝!! / (久)=
Li
"—3） = -15<0,故“］）只有一个零点，所
cos z —1<0 ,g (久)单调递减，故当z〉0时，
以E与1轴只有一个公共点，故C正确.当a =
—4,6 = 2 时，/=久3 —4%+ 2.令 g（i）= 3 — g (x)0 时，sin x2"sing<2" 察=2%=三，故 D 正确.
42+2,则g'（K）= 3j —4.当尤〈一或x〉 u Z 4
三、填空题
当时，『（/）〉。；当—羊 〈辞时,
12. 黑【解析】因为｛册｝是等比数列，所以公比
O
a3 1 a2 ax (1 —Q6) 63
q = —2 = 3N ，〃i= —q = 4,S6 =—;。 1- --- q-- =瓦o
（金，+8）上单调递增，在区间（一手, 13. 3 5【解析】如图，设四棱台ABCD-
AiBiGDi的体积为V,上底面的面积为Si,
上单调递减，故g（l）的极大值为 下底面的面积为S2，高为h，根据题意可知裂=
19,51=4为2 = 9,故$九><(4 + 9 + ^1^)=
g（一当 ）〉0,极小值为g （ ） < ° 又
19,解得力=3 V四棱锥%-ADDiAi =V三棱锥B/ADAi +
g（ —3） = —13<0,g（2） = 2>0,故 gGc）有三
/棱锥B/A]DD]，其中 棱锥B/A]DD] = V三棱锥D-A]B]D]=
个零点，所以E与久轴有三个公共点，故D
错误. ;九5盘1%%=§ X 3 X 2 = 2.因为V三棱锥%-ADAi ：
11. BCD【解析】* 2212tan2 内+] V 三棱锥 B]-A]DD] = S AADA1 ： 5 AA1DD1 = A。:
2" tan 3n A[D]=AB : A]B]=3 : 2,所以 V三棱锥B] ADA]=
22n+2 tan2^w^i
2 t―an Un-n+-1 = 2 tan 0n+1(l — tan2^n+1)#
3,故 V四棱锥B]-ADD]A] =5.
1 —tan26>n+1
故人错误；（十 2 = 1 + cos On
2" sin 内
2cos2 _ 2 _ 2 故 r 下
2n+i sin /+i cos 3n+1 2T+1 tan 6n+1 bn+19
施 几“hi —久+i _2n+1tan /+i — 2nxsin 0n+1
确；做仅 an—bn = Ttan 步 hi—普 sin%"”
2
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9 16. （1）证明：如图，取AiB的中点F,连接
14. y【解析】（i ）若班>0,则|a—川0卜| 十
DF,EF.
| 6 | = I a +6 | ,故 M = max{ \a-\~b\ , \a-b\ , 因为D为AB的中点，
I a — c | 9 | b — d | } = max { |（2 + 6 | , \ a — c|,
所以 DF〃AAi,且 DF = jAA1. （2 分）
Ib-d I }^^-（ \aJrb\Jr\a—c\Jr\b - d\）^
因为E为CCi的中点，所以CE = aAi.
—I （a+6） + （c —a） + （d — 6） I = I c~\-d \
又 CE〃AAi,所以 DF〃CE,且 DF = CE,
9 1 9
了,不妨取Q=b = §,c=d = l,此时M = g. 所以四边形CDFE是平行四边形，
所以 CD//EF. （4 分）
2
（ii）若仍<0,不妨设a<0,b>0,当c时, 又 EFU平面 A]BE,CDU平面 AiBE,
4 2 所以CD〃平面AiBE. （6分）
，只需考虑 b~a= I a—6 I 此时 b9 9 9
3,故 16—a|〉§;当 c〉了时，由 aVO,得
9 9
la―cl>胃，故当 HVO 时,由⑴（ii）
2
可知 Mmin = y.
四、解答题 （2）解:如图，取AC的中点O,连接OB,OAi.
15.解：（1）由已知及正弦定理可得sinC = 2sinA-
因为底面ABC是等边三角形，
sin Ccos（B +C）. （3 分）
所以OBLAC
因为 A+B+C = 7t,
因为侧面AA1CC是菱形，且NAiAC = 60°,
所以 cos（B +C） — —cos A ,
所以 OAiXAC.
即 sin C =—2sin Asin Ceos A. （4 分）
又侧面AAiCC底面ABC,侧面AAiGCn
又 CG（O,tt）,所以 sinC^O,
底面 ABC=AC,OAiU侧面 AA1GC,
则 2sin Acos A = sin 2A = - 1. （5 分）
所以OAi，底面ABC
因为AG（0,兀），
以O为坐标原点，OB,OC,OAi所在直线分
3 7T
所以 2AG（0,2tt）,则 2A = 方u ， 别为1轴2轴、2轴，建立空间直角坐标系，
q Jr 不妨设三棱柱的各棱长为2,
所以A =宁. （6分）
则 B （西,0,0）9C（09l,0）,D^ —, — — 0
] a/2~
（2）由（1）知 S^ABc=~^bcsin A = -bc = 3,
故 bc = 6a.
6 = 2 c = 3. （9 故 CB = （73", — 1,0）, CE = 0, —, g 卜因为 至，所以 分）
由余弦定理得 a2 =b2 +c2 —26ccos A=b2 +
法=（-容2，噂）. （9分）
"7^ = 29,
故。=月, （13分） 设侧面BCCiBi的法向量为《i = （ny,z）,
3
数学 参考答案及解析
（m CB=Q, fi—y =。， 又 |8尸"=253 1=2=|83 1,
贝（ ce=0,W<13，+^=0. 所以B为。的下顶点. （6分）
又由余弦定理可知cos NF1BF2 =
令1 = 1,得）=西，2 = — 1,所以侧面 \BF1\2+\AB\2-\AF1\2 _1
2\BF1\ I AB I -1， （7 分，
BCCiBi的一个法向量为加=（1,四，一1）.
（12 故 I FiF2 I = J2\BF1\2-2\BF1\2Xj = 分）
设直线DE与侧面BCGB1所成的角为即
殍，则玛（-等,0"（等,0）.（8分）
加■庭|
则 sin J = | cos < m , DE > | =
\m\ | DE|
设C的半焦距为C,则。=言,/=旌—，2 =
11* （一停）+痣X2 + （ —1） X-y-1
4— = 1■，所以B（0,一手），C的方程为
yi+3+i x7t+4+t
fx2 3 y2 L 。分）
（14 4 o分）
又值=2瓦4,所以A （遮,卜 （10分）
故直线DE与侧面BCGBi所成角的正弦值
所以直线的方程为）=^卜+学）.
（12 分）
区+火=1
4 十 8 19
联立＜ 得 7/+^/^/ — 24 =
72 / , 273 x
0 （ * ）.
设方程（*）的两个实数根分别为小，曲，则
式1 +久2 = —B，21^2 = -F， （13 分）
故直线AF1被C截得的弦长为J1 + , I小一
]2 I = ，（如 +12）2 —4久1型 —§个 X
|BF1| + |BF2|=2a, （2 分） 0 0
因为 I AM | = I AB | = \AF2 I + \BFZ I ,
（3分）
所以 2\AF2 \ + \BF2 I = |BF1| + |BF| | , 18. （1）解：由已知得/Cr） = e"—cos x — 2ax ,
故 |BF"=2|AF2l. （4 分） （1分）
（2）解:若 IAF2 I =1, IBF2 I =2,贝!JlAFi I = 所以曲线。=/（力）在点（0/（0））处的切线的
I AB I =1 + 2 = 3, 斜率 4=/'（0） = e。-1 = 0,且"0） = 1, （2 分）
所以 \AF1\ + \AF2 I =2a=4,Q=2.（5 分） 所以所求切线方程为）=1. （4分）
4
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⑵解:令 g（z）=/'Cc）,则/（0）=0, 当 1 e （o ,Ii）时,，（8）＜o，p（i）=无'（X）单
g' G ） = e" + sin z — 2a 调递减；在区间（一-，，5）上
当 iG （%一+8）时，“（力）＞0,0（］）=
单调递增. （5分） ，（z）单调递增，
（i ）若。＜春,则g'（o）＞o,所以存在正数》， 所以乃是/G）在区间（0, +8）上的唯一
极小值点，
使得当hG（ 一储户时,单调
故无'（处）〈九'（0）=0.
递增；
又无'（4g）＞09
当:cC （一储0）时，/'（工）V0,/（n）单调
故存在唯一 X2 G （比1 ,4〃），使九'（12）=0.
递减；
当比e （o，孙）时,，（力）＜0,九（%）单调递减；
当ze（o”）时,尸包）＞0,“工）单调递增，
当力e （12, + 8）时，无'（z）＞o,九（力）单调
故了=0是f （①）的极值点，
递增，
若同理可得了 = 0也是“交）的极值点. 即以是无（力）在区间（0, +8）上的唯一极小
值点. （16分）
（8分）
又 h （0） =0,无（叫）＜0,九（4a）＞0,
（ii ）若°= ,则当了6（—5,0）时，8'（r）＜
故存在唯一 x0 G （比2,4〃），使后做。）=0,
g'（0）=0,gGr） 命题得证. （17分）单调递减；
19. （1）解：{1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,4,5）,
当 了6（0,5）时，g'（无）＞g'（0） =0 ,g （工）单 {2,3,5},{2,4,5} （3 分）
调递增， （2）解：若72 = 6,贝!）隆 —2d+。」的取值集合
为{1,2,3}. （4 分）
故当 了 e （ —y j 时,f'（x） =gCx'）^g（0）=
在所有X6的三元非对称子集中，14一2仇+
0,f（R）单调递增,z=0不是"r）的极值点. cd的值为1的情况有8个，值为2的情况有
综上,a = . （10分） 4个，值为3的情况有2个， （6分）
所以分\ ai —2bi +ci |的最小值为1 X 8 + 2 X
（3）证明：当a＞ :时，若存在正数了。，使得点 i=i
ii 2 = 12, （7 分）
10
（通"（Z0））关于点（0,1）的对称点也在曲线
tS=i | ai — 2bi +c"的最大值为3义2 + 2X4 +
="力）上，则 /（x0）+/（ —XO）=2, 1X4 = 18. （8 分）
即 e&+e—*o—2axl—2 = 0. （11 分） （3）证明：对于M= {a,6,c）三X“，记满足
令人（/）=e* + e~x — 2ax2 — 2,贝!J 无'（比）= 26=a+c（aV6Vc）的集合M共有wi个，则
ex—e~x—4ax. （12 分） a可在1,2,,6 — 1中取值,c可在6 + 1,6 +
令 p（i）=五'（力），则 —（］）=ex +e-x —4a , 2,…，"中取值，
且（pf （0） =2—4a VO,w'（ln（4a））＞0. n- 1
所以 m = S min{6 — 1 —b}.
令 §（%）="（*）,则当力＞0 时，5'（力）=e” 一 b = 2
e［＞0/'（N）单调递增， 当n为奇数时，机=2 X （1 + 2+…+―2 , +
故存在唯一 xi G （0,ln（4a）），使 g'（ii）=0. n — 1 _ （n — I）2
（14 分） 2 = 45
5
.数学. 参考答案及解析
1 %—2
当〃为偶数时创=2X0 + 2+…+3一 (n—I)2 n
4 3
fl (篦)，且 Pn 》---- 彳----B
n (n - 2) c(〃一1)
4 （10 分）
对于 K = {z ,n}UX",记满足 n=*+_y 的 3l1 =f(\
(驾—1)(2" —1)—九(")’
集合K共有跖个.
当"为奇数时，^="3^X2 + n(n - 2) n — 2
乙 乙 乙 、 . 4 3
当"勿>6）为偶数时,尸"W----
n-1 (〃-1)2 G- n(n - 2)
2 4 4
当"为偶数时,M = Nx2 + x Nx n(n—2) n
3n—4 4 3
9-
"―4 c_"(" -2) Ln
~—厂 on =gl ("),且 p >----3 ； n(n — 2)
、/
1-X2 =一1 (12 分) 4
记同时满足z=x+y和2y=z + z,即y = 3n —10 _(2n-5)(n-2)=g2M， (16 分)
2H且z = 3 了的集合共有赖个，则
故("—5)p” 一("—9) 1P n+l &
ki—kz n~l
为24，故P ，其中一g〈一右2 4
C —m
max{/\Gz),gi(")} 一 5) min{f2@ + l).
n — 2
3 (14 分)
1
k（">5） P g2(n + l)}=（"一万）力（"）一（〃一万
3
故当 为奇数时， 翻《
（篦一I）2 n — 2 1 2
4 3 3n2 —10n + ll gz (n + 1)= (17 分)
C 5-1)2 (n — 1) (n — 3) (2 篦-1)
6 ,

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