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江苏省如皋中学2025届高三上学期教学质量调研（三）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若集合，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.“数列是等差数列”是“数列为等比数列的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
3.高路公路管理部门在某一测速点，测得辆车辆的速度单位：并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是( )
车速
频数
A. 辆车的车速的中位数小于
B. 辆车中车速低于的车辆所占比例超过
C. 辆车的车速的极差介于至之间
D. 辆车的车速的平均值介于至之间
4.记为等差数列的前项和．已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱台，，，二面角的正切值为，则正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知为抛物线上的一动点，过作轴的垂线，垂足为，点是圆上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是( )
A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为
C. 椭圆的离心率为 D. 的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则中至少有一个为
C.
D. 若，则
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 是的极大值点
C. 在处的切线方程为
D. 在区间上单调递增
11.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由人组成的一支队伍参加一项游戏甲班的队伍由个女生和个男生组成，乙班的队伍由个女生和个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以，分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.设，是双曲线：的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．
14.某校名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号至排列，进行至报数，报到的同学向前一步把向前走一步的位同学从左到右按照序号至排列，进行至报数，报到的同学向前一步把向前走一步的位同学从左到右按照序号至排列，进行至报数，报到的同学向前一步依次类推，直到剩下一位同学为止问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，已知C.
求
若边上的高为且，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
已知在处取得极小值，求的值
对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
记为数列的前项和，且．
证明：数列为等比数列
求数列的前项和
数列的前项和为，且，求证：．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，平面，，，其中，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
若异面直线、所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆过点，且离心率为．
求椭圆的标准方程
已知动圆与椭圆相交于，，，四个不同的点，直线，相交于点，记直线，的斜率分别为，．
比较与的大小不要给出证明
试问是否为定值，如果为定值，求出定值如果不为定值，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：且，
，即，
由正弦定理得，，
因为，
所以，
又在中，，，
则，，
，即，
；
，
在中，作于高，为边上的高，则，
设，，所以，则，，
在中，，
在中，，
且
，
，又，
所以，
．
16.解：因为，定义域为，
所以，
因为在取得极小值，
所以，所以，
检验：，定义域为，
，
单调递减 极小值 单调递增
所以，；
因为对恒成立，
所以令，，
，
，即时，恒成立，在上单调递增，
所以，满足题意；
，即时，，得，
，
单调递减 极小值 单调递增
所以，与题意不符，舍去，
综上所述，的取值范围为
17.证明：，
，
得，，即，
又当时，，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，，
当时，，，
首项为，公比为的等比数列．
解：由得，数列的前项和为，
，
，
，
得，，
，
数列的前项和为．
解：数列前项和为，，，
，
得证．
18.解：取中点，连接、，
在直四棱柱中，因为是中点，则且，
因为是的中点，则且，所以，且，
所以，四边形是平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面．
连接，设，连接，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
所以，异面直线、所成余弦值即直线、所成余弦值，
在直四棱柱中，面，
因为平面，所以，，
在中，，且，则，
因为为的中点，且，
所以，在中，，，则，
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，
所以，平面，
又因为平面，则，
在中，，则，
连接，取其中点，连接、，取的中点，
因为，为的中点，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、，
设平面的法向量，，，
则，取，可得，
易知面的一个法向量，
，
由图可知，二面角为钝角，因此，二面角的余弦值为．

19.解：椭圆过点，且离心率为，设焦距为，
椭圆的标准方程为
．
设，，，
由
得，
不妨设，，，，
，，
，，
，
同理：，
位于椭圆外侧，
，同向，，同向，
，
，
即，
，
，
．
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