资源简介

2024年秋期六校第二次联考
高二年级数学试题
命题学校：方城五高
审题学校：南阳四全
(考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)】
1.已知a=(-1,,-2),b=(1,-2,4),c=(5,A,4),若a,b,e共面，则实数入的值为
C.2
D.3
2设向量a与b满足1al=厄，b在a方向上的投影向量为2，则a+b在a方向上的投影数
量为
43日
B.5②
C.3
D.2万
2
2
3.学校教师运动会设置有“跳绳”“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个
项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时
间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有
A.12种
B.14种
C.7种
D.9种
4.如图，在四面体0ABC中，Oi=a,O店=b,Od=c,点M为线段OA上靠近点A的三等分点，N
为BC的中点，则M=
2
3b*1
B.2a-
+
D.-4a+
3
3+
b+2
高二年级数学试题第1页（共4页）
0000000
5.已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC,∠ABC=120°，且AB=BC=2SC,D,E分别为SA,BC
的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为
A把
B.3y0
c.2⑤
10
5
D
6,已知椭圆C:三+=1(a>b>0),过点A(-a,0)且方向向量为n=(1,-1)的光线，经宜
线y=-b反射后过C的右焦点，则C的离心率为
A号
B号
c是
D号
7.已知A(-4,0),B(-1,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)=9上存在点P满足
IPi|=2|P|,则a的取值范围是
A.[-1,2]
B.[-2,1]
C.[-2,3]
D.[-3,2]
8.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，下列说
法正确的是
A.直线AE与CF是异面直线
B.平面ABF⊥平面ABE
C.该几何体的体积为号万
D.平面ABE与平面DCF间的距离为号6
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.以下命题正确的是
A.直线：3ax-4y-2=0与直线l2:2x+(2a-1)y-4=0垂直的充要条件是a=2
B.已知圆C:(x-1)2+（y-1)2=9,过点A(-1,2)的直线与圆C交于P,Q两点，则
|PQ的最小值为4
C.方程，号+舌=1表示椭圆的充要条件是1D.直线x-y-k-1=0和以A(2,3)、B(3,2)为端点的线段相交，则k的取值范围是
[层小
10.已知直线l:y=kx+1,双曲线C:x2-y2=1.以下说法正确的是
A.当k=√万时，直线1与双曲线只有一个公共点
B.直线1与双曲线只有一个公共点时，k=√2或-√2
C.当k<-√2或k>√2时，直线1与双曲线没有公共点
D.当-√万高二年级数学试题第2页（共4页)
裂0口口口口0可2024年秋期六校第二次联考
高二年级数学参考答案
1．【答案】C
【解析】设→=x→+y→，即可解得 x，y的值，进而求出λ值.

 
2．【答案】B
3 →→ → 3
【解析】因为→在→   方向上的投影向量为 →，所以 . = →，所以→.→=3 +，所以→ →
  2  | → | → | 2     
 |
→ .（→+→）
→   
5 2
在 方向上的投影数量为 = .
 | → | 2

3．【答案】B
【解析】当甲安排为“定点投篮”工作，另外 3人任意安排工作有 6种方法.当甲也不安排“定
点投篮”工作时，先安排甲有 2种，再安排乙有 2种，另外剩余 2人有 2种，则此时有 2×2×2=8
种方法，共有 6+8=14种，故选：B.
4．【答案】C
= 
1 → → 2→
【解析】 - = （ + ）- .
  2 
3 
5．【答案】D
【解析】取 AC的中点 H，SC的中点 F，连接 DH，EH，EF，DF，如右图
所示：在△SCA中，因为 D，F分别为 SA，SC的中点，故 DF//AC，故∠FDE
AB=BC=2SC=2 60° = 2 3即为所求角或其补角；设 ，在△ABC中，AC=2BCsin ，
1
又有DF =  = 3 1+ 4 5，由 SC⊥平面 ABC，可得 SC⊥BC，则 = = ，
2
1 5
 =  = DH//SC  ，由于 ，可得 DH⊥平面 ABC，又 面 ABC，则
2 2
1 5
DH⊥EH  = 2 + 2 + 1，可得 = = ，所以
4 2
5 5
2+2 2 3+ 15
cos∠ = = 4 4 = ．故选：D.
2  52 3× 5
2
6．【答案】A
→
【解析】设过点 A（－a，0）且方向向量为 =（1，-1）的光线，交直线 y =－b的点为 B，
&
→ °
右焦点为 C，因为方向向量 =（1，－1）的直线斜率为-1，则∠CAB=45 ，直线 AB的斜率
&
为-1，又由反射光线的性质可得 BC的斜率为 1，故 AB⊥BC，所以△ABC为等腰直角三角形，
且 B到 AC 2 2 2 2 2的距离为 b，又 AC=c+a，故 a+c=2b， +
+2ac=4 =4（ -
），则（3a-5c）（a+c）
1 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}

3
=0，故 3a=5c，离心率 e= = .
 5
7．【答案】A
【解析】设点 P（x，y），则由| |=2||得点 P的轨迹方程为 x +y =4，圆心为（0，0），半
' '
2
径为 2，由此可知圆（x－a－1） ＋(y－3＋2) =9与 x +y =4有公共点，又圆（x－a－1）
(y－3＋2)2=9 a+1 3a 2 3 1 ≤ ( + 1)2 + (3a 2)2＋ 的圆心为（ ， - ），半径为 ，所以 ≤5，解
得 -1≤ a ≤2，即 a的取值范围是[-1，2].故选 A.
8．【答案】D
【分析】可借助正方体解决正八面体的有关问题.
【解析】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：
因为正八面体的棱长为 2，所以正方体的棱长为 2 2.
∵A，E，C，F四点共面，直线 AE与 CF是共面的，故 A错；设二面角 E－AB－D为 ，△=
1 2 / /
3 ，
正方形=4，所以cos = ≠ ， ≠ ，所以：二面角 E－AB－F=2 ≠ ，故 B错；
3 2 4 2
1 8
V= × 4 ×2 2 = 2，故 C错；由八面体的构成可知：平面 ABE和平面 DCF之间的距离
3 3
1 1 2
6
是正方体体对角线的 ，所以两个平面之间的距离为： × 2 2 × 3 = ，故 D正确.
3 3 3
9．【答案】ABD
A 11 1【解析】对于 ， ⊥ 2，所以 3a×2-4（2a-1）=0，解得 a=2；对于 B，点 A在 C圆内，
当 CA⊥PQ时，|PQ| 5取最小值，|CA|= ，r=3，所以|PQ|的最小值是 4；对于 C，方程表示椭
4 2 > 0
5
< < ≠ 5
圆的充要条件是 2 1 > 0 ，解得 1 k 4且 k ；对于 D，直线过定点 P（1，-1）， '=4，2
4 2 ≠ 2 1
3 3
5'= ，画图可知 k的取值范围是[ ，4].2 2
10．【答案】AC
【解析】直线过（0，1），双曲线的渐近线方程为 y = ±x，k = ±1时一个交点，k = ± 2时
2 2 2 2
切于一点，k － 或 k ＞ 时没有公共点，－ k －1或－1 k 1或 1 k 时两
个公共点.
2 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
11．【答案】BD
【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.
【解析】设该正方体为 ABCD－A1B1C1D1，且其棱长为 a，若考虑 4个平面中最中间的两
个平面，共有两种情况：①若中间的两个平面为平面 A1BD和平面 B1D1C，如图 1所示，则
2 6
过 A1，A，C作截面，截面图如图 2所示，AE= a，A1=a，1E= a，
2 2
1 2 1 6 3
设相邻两平面间距离即为 A到 A1E的距离 h，可得 × a×a = × a× ，解得 h = a，
2 2 2 2 3
3 3
即相邻两平面间距离即为 A到 A1E的距离 a，可知 a =1，解得 a = 3；（法二：
3 3
3a = 3, a = 3）②若中间的两个平面如图 3所示，过 B，C，C1作截面，截面图如图 4所故
示，
1 5
其中M，N分别为 BC，B C   中点，则 BM = a，B 1=a， 1M = a，设相邻两平面间距2 2
1 1 1 5 5
B ×  ×离即为 到1M的距离 d，可得 a= × a×d，解得 d = a，相邻两平面间距离即为2 2 2 2 5
5 5
B 到 1M的距离 a，则 a =1，解得 a = 5；故选：BD.
5 5
12．【答案】（-1，1）
|k×6 0+4k| |10k|
【解析】圆心 C到直线 l的距离 d = = ，要在圆 C上至少存在两点到直
22+( 1)2 22+1
|10k|
线 l的距离等于 t = 2，则需要|d-t|22+1
13 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
13 2．【答案】
【解析】如图，作 PQ⊥BC于点 Q，作 QM⊥BD，交 BD于点M，连接 PM，得到 PQ AB，
QM//CD，PQ⊥平面 BCD，PQ⊥BD，又 QM⊥BD，QM∩PQ=Q，所以 BD⊥面 PQM，所以
'8 8 '8 9 9 8
PM⊥BD.设 CQ=x，CB=2 2， = 则 = ，PQ = ，0≤x≤2 2，在△BCD中， =
  2 2 2 2 
8 2 2 x 8 2 2 x 92 (8 22 2 －4 29+9 )'8 + 8 + 92 2 2x + 4
，即 = ，QM = ，PM= = = =
 2 2 2 2 2 2
1 1
(9 2)2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 x = 2时等号成立， ' = BD PM ≥ × 2 × 2 = 2.2 2
14 2 5．【答案】3 + 2
CD M 1M P1 11 PM AQ PM 【解析】设 中点为 ，连接 ， ， ， ，则 ⊥平面 1 1
PM1 .  M P 2
2 + 121 1 1 = 5 
2 2
则截面即四边形 因为 ＝ ＝ ， 11 2 + 2 = 2 2＝ ，PM＝ 2，
  2
所以截面 PM 1 1的周长为 3 + 2 5.
15．【答案】
（1）x－4y=0或 x＋y－5=0 2 26；（ ） +3
【解析】
（1）因为 f（4）=1，所以定点 A（4，1） .............1分
因为直线在 x，y轴上的截距相等，设截距分别为 m，n，
1
当 m=n=0时，直线经过原点，设 y = kx，又经过点 A，则有 k = ，直线 l的方程为 x
4
－4y=0； .........................3分
x y
当 m=n≠0时，设直线 l的方程为 + =1，代入点 A（4，1），解得 m=n=5，所以直线
m n
l的方程为 x+y－5=0. ...........................5分
综上可得直线 l的方程为 x－4y=0或 x+y－5=0. ................6分
（2）设 Q（x，y），P（x0，y0），由=（3，-4）
'8
90 = 9 3
可得 ， .........8分
A0 = A + 4
9 2 A 2
代入 0 + 0 =9，
4 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
9 3)2+ A + 4)2得（ （ =9即为点 Q的轨迹方程， .........10分
圆心（3，-4），半径 r=3，点 A在圆外，点 A到圆心的距离为
2 2
（4 3） +（1 + 4） = 26， ..................12分
所以|AQ| 26的最大值为 +3. ..................13分
16．【答案】
（1）4；（2 3） .
【解析】圆M的圆心（-1，2），半径 r = 1. ..............1分
（1）由题意知直线过圆心，所以 a+b=1，a>0，b>0， .......2分
1 1 1 1   1
+ = （ + ）（a+b ≥ 4） =2 + + ，当且仅当 a=b= 时等号成立，
      2
1 1
所以 + 的最小值是 4. .........................5分
 
（2）由题意知抛物线的准线为 x=-2，
2
所以抛物线方程为y =8x， ...................7分
焦点 F（2，0），90 ≥ 0，
|AF|=9 +2 |AB|= (9 + 1)2 2 20 ， 0 + A0 ,其中A0 =890， .........................9分
|| (90+1)
2+A 20 (9 +1)
2
0 +89
8
= = 0
89
所以 = 1+ 0 = 1+ 1 9 > 0（ ），
|| 1 9 +1 9 +1 9 20 0 +290+1 90+2+
≤ 3 0
0 90
当且仅当90 = 1时等号成立. .............13分
||
90=0时 =1， ...........14分|| 1
||
所以 的最大值是 3 . ..........15分
|| 1
17．【答案】
3 2 7
（1） ；（2）
2 7
【解析】
60 120
（1）根据题意，由直角梯形边长 AB=BC=2，DC=3，可知∠C= ，∠ABC= ；
又点 E是 DC边上靠近于点 D的三等分点，所以 EC=2，可得△BCE为等边三角形；
连接 AE，如下图所示：
5 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
可得四边形 ABCE为菱形，所以 AC⊥BE，

即折起后 AF⊥BE， 1F⊥BE， .........................................2分

如图所示，易知 AF= 1F= 3 A，又 1= 6，满足
2+ 2=  21 1 ，
即 AF⊥1F； ......................................4分
又 AF BE=F，AF，BE 平面 ABED，所以1F⊥平面 ABED， .......................5分
1 3 3
且1F= 3 ×，梯形 ABED的面积为 （1+2）× 3= ，2 2
1 3 3 3
V= × × 3= . ........................7分
3 2 2
2  ,  （ ）以 D为坐标原点，分别以 为 x，y轴， 方向为 z轴正方向建立空间直角坐标系，
  1
如下图所示：
3 3
则 D（0，0，0），A（ 3，0，0），B（ 3，2，0）， 1（ ， ， 3），
2 2
F 3 1  3 3 
可得 =（ ， ，- 3）， =（ ， ， 3）， =（ 3，0，0）， ...............10分1 2 2 1 2 2 
3 3
→ 9 + A + 3H = 0 2 2
设平面 1AD的法向量 =（x，y，z），则 ，G
39 = 0
→
可得 =（0，-2， 3）为平面1AD一个法向量， ....................13分G
设 B1  I与平面 1AD所成的角为 ，
|→ . F |
G 1 | 4| 2 7
sin I=|cos < → ,  > .所以 G  |= = = ..........15分1 | → || F | 2 7
G   71
其它建系方法，只要结果正确，都给分。
18．【答案】
15
（1 .）证明见解析；（2）
5
【解析】
（1）取线段 PC的中点M，连接 OM，EM，在△PCD中，E，M分别为 PD，PC的中点.EM//CD，
6 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
1
且 EM = CD， ....................2分
2
1
∵
又 底面ABCD是正方形，且O是AB的中点，所以AO//CD，且AO= CD，所以EM//AO，
2
∴
且 EM=AO 四边形 AOME为平行四边形， ............4分
则 OM//AE，又 OM ∴平面 POC，AE 平面 POC， AE//平面 POC. .......6分
（2）由 OA=PA=2 °，∠PAB=60 可知△POA为等边三角形， .............7分
设OA中点为Q，则 PQ⊥OA，又因为平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD=OA，
所以 PQ⊥平面 ABCD， ...................9分
设 CD上靠近点 D的四等分点为 N，以 Q为原点，分别以 QB，QN，QP所在直线为 x，
y，z轴建立空间直角坐标系，
P 0 0 3 B 3 0 0 D 1 4 0 = 3 0 3 则 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （- ， ， ）， （ ， ，- ）， =（-4，4，0），
' 
...........11分
→ .  = 39 3H = 0
设平面 PBD → & '的法向量为 =（x，y，z），则 ，取 x=1，得
& → .  = 49 + 4A = 0
& 
y=1，z= 3 →，所以 =（1，1， 3）为平面 PBD的一个法向量. ......................14分
&
→
取平面 ABD的法向量为 =（0，0，1） ...........15分
G
I I
设平面 PBD与平面 ABD所成的平面角为 ，且 为锐角，
→ .→ 15
cos I=cos< → → >
& G
则 ， = = . ......................17分
& G | → || → | 5
& G
4 1
19．【答案】（1） ；（2）存在，λ = .
5 4
【解析】
x2 y2
（1）因为椭圆 + =1(a > b > 0)是等差椭圆，所以 2b=a＋c，所以 c=2b－a，又 c =a
a2 b2
7 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}
－b ， ................2分
所以（2b－a） =a －b ， ................3分
b 4
化简得 = . .................5分
a 5
b 4
（2）由 2c=6且 = 可知 a=5，b=4，c=3.
a 5
92 A2
所以椭圆方程为 + =1， ............6分
25 16
2 2
联立直线 x=my+3得（16G +25）y +96my-256=0，
A 9 A 9 A（-5，0），B（5，0），设 P（ 1， 1），Q（ 2， 2），则
96G 256
A1+A2 = A A， = ， ...............9分16G2+25 1 2 16G2+25
A1 A1 A2
91= mA1+3，92=mA2 +3，21= = ，2 = =91+5 GA1+8 2 92 5
A2 21 GA1A2 2A= 1，
， ..................13分
GA2 2 22 GA1A2+8 A2
96G 256
把A1 = 2 -A ，A16G +25 2 1
A2 = 代入，16G2+25
64G
2 2 +2A1 2
= 16G +25
1
得
2 256G
= ， ..............16分
2 +8 A2 4
16G2+25
1
所以存在实数λ= ，使得21 =λ22. ...........17分4
8 8
高二年级数学参考答案 第 页 （共 页）
{#{QQABBQSAogigAgBAARhCEwVSCkEQkgAACQgOxBAEIAABiAFABAA=}#}

展开更多......

收起↑