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【冲刺期末——能力提升专练】
专题03 定义新运算问题
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、单选题
1．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】C
【解析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可．
解：
；
故选：C．
2．定义一种新运算，则的结果为（ ）
A． B．17 C． D．19
【答案】C
【解析】本题主要考查代数式的值及含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解新定义运算；根据题中所给新定义运算可直接进行求解．
解：由题意得：，
∴；
故选C．
3．定义一种新运算“⊙”，得到下列等式：，，，，…，若a、b、c是有理数，则下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算，根据题目中定义的新运算，对各选项分别进行判断即可．
解：A、，，故A选项不正确，不符合题意；
B、，，故B选项不正确，不符合题意；
C、，，故C选项不正确，不符合题意；
D、，，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题
4．定义一种新运算：，如：，则 ．
【答案】
【解析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
解：
．
故答案为：．
5．定义运算：，下列给出了关于这种运算的几个结论：
①； ②；
③若，则； ④若，则的值是3．
其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确结论的序号填在横线上）
【答案】①③/③①
【解析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义列式计算即可求解．
解：，
，故①正确，
，，故②错误，
若，则，故③正确，
∵
∴
，故④错误，
故答案为：①③．
6．填空题：（请将结果直接写在横线上）
定义新运算“”，对于任意有理数，有，
（1） ．
（2）若，，则 ．
【答案】 34
【解析】本题主要考查了整式的加减，以及有理数的混合运算等知识点，
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，整理即可得到结果；
熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：（1）根据题中的新定义得：，
则原式；
故答案为：34；
（2），，
，，
则；
故答案为：．
三、解答题
7．在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)3
(2)15
【解析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．
（1）根据新定义的计算方法代入计算即可．
（2）根据新定义的计算方法先计算括号里面的，再根据新定义的计算方法外面的即可．
解：（1）因为，
所以；
（2）
．
8．定义一种新运算：
，，．
观察上述各式的运算方法，解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若，则________；
(3)计算：．
【答案】(1)11，
(2)3
(3)
【解析】本题考查了新定义的运算，解一元一次方程，整式的加减，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据新运算的运算方法即可求解；
（2）根据新运算的运算表达式得到关于的一元一次方程，解方程即可解题
（3）根据新运算，结合整式的加减法则计算即可．
解：（1）由题意可得：，
，
故答案为：11，；
（2）∵，
∴，解得：，
故答案为：3；
（3）由题意可得：
．
9．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
(1)求的值；
(2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值；
(3)若，（其中为有理数），试比较，的大小．
【答案】(1)3
(2)；
(3)
【解析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解；
（3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可．
解：（1） 3☆
；
（2）
，
中不含一次项，
，
；
（3）∵，，（其中为有理数）
，，
，
．
10．已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，，试判断、的大小，并说明理由．
【答案】(1)4
(2)8
(3)，理由见解析
【解析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算，整式的加减运算；
（1）根据新定义列式为，再计算即可；
（2）根据新定义列式为，再进一步列式计算即可；
（3）根据新定义可得：， ，再计算，再根据结果进行判断即可.
解：（1）∵，
∴；
（2）
；
（3）∵，，
∴，
，
∴
.
因为，所以，所以
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【冲刺期末——能力提升专练】
专题03定义新运算问题
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、单选题
1．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．7 D．5
2．定义一种新运算，则的结果为（ ）
A． B．17 C． D．19
3．定义一种新运算“⊙”，得到下列等式：，，，，…，若a、b、c是有理数，则下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．定义一种新运算：，如：，则 ．
5．定义运算：，下列给出了关于这种运算的几个结论：
①； ②；
③若，则； ④若，则的值是3．
其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确结论的序号填在横线上）
6．填空题：（请将结果直接写在横线上）
定义新运算“”，对于任意有理数，有，
（1） ．
（2）若，，则 ．
三、解答题
7．在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中．
(1)求的值；
(2)求的值；
8．定义一种新运算：
，，．
观察上述各式的运算方法，解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若，则________；
(3)计算：．
9．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
(1)求的值；
(2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值；
(3)若，（其中为有理数），试比较，的大小．
10．已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，，试判断、的大小，并说明理由．
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