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第1讲 力与平衡
（2024 贵州）如图（a），一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，其中一个视图如图（b）所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则球对横杆的压力大小为（　　）
A．mg B．mg C．mg D．mg
【解答】解：球的受力分析如图
根据几何关系可知sinα
根据力的分解可知FNcosα＝mg
解得FNmg
根据牛顿第三定律可知球对横杆的压力大小为mg
故ABC错误，D正确；
故选：D。
（2024 山东）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：国产人形机器人“天工”在斜坡上受重力、支持力和摩擦力作用，如图所示：
当机器人“天工”站立和稳定行走时，根据平衡条件，沿斜坡方向μmgcos30°≥mgsin30°
解得斜坡的动摩擦因数
即机器人的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 浙江）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦），则细线a、b的拉力分别为（　　）
A．2N，1N B．2N，0.5N C．1N，1N D．1N，0.5N
【解答】解：由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为
Ta＝（mA+mB）g
代入数据解得Ta＝1N
设细线b与水平方向夹角为α，对B分析有
Tbsinα+Tcsinθ＝mAg
Tbcosα＝Tdcosθ
解得
Tb＝0.5N
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 河北）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0N，g取10m/s2，挡板对球体支持力的大小为（　　）
A． B．1.0N C． D．2.0N
【解答】解：根据题意，画出小球的受力示意图如下
挡板对球的支持力大小为N，斜面对球的支持力大小为F，弹簧秤对球的拉力大小为T＝1.0N，小球的重力为mg＝0.20×10N＝2.0N，根据平衡条件有
Fsin30°＝Nsin30°
Fcos30°+Ncos30°+T＝mg
解得NN，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2024 福建）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为r的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，铜环两端a、b处于同一水平线。若环中通有大小为I、方向从a到b的电流，细绳处于绷直状态，则（　　）
A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为2rBI
D．铜环所受安培力大小为πrIB
【解答】解：通电半圆形铜环可等效为长度为直径ab的通电直导线，电流方向a→b，根据左手定则可知半圆形铜环受到的安培力方向竖直向下，大小F＝BI×L＝2BIr，根据受力分析可得，通电后，绳子拉力 T＝mg+F＝mg+2IBr＞mg，两根细绳拉力均比未通电流时的大，故AC正确，BD错误；
故选：AC。
一、几种常见力的性质对比
种类 大小 方向 说明
静摩擦力 0滑动摩擦力 F＝μFN 与相对运动方向相反 一般情况下FN ≠mg
电场力 F电＝qE 正(负)电荷受电场力的方向与电场强度方向相同(相反) 带电体处于电场中一定受到电场力作用
安培力 F＝BILsin θ 当B∥I时，F＝0 可由左手定则判断，安培力(洛伦兹力)的方向总是垂直于B与I(或B与v)决定的平面 电流或运动电荷处于磁场中不一定受到磁场力
洛伦兹力 F洛＝qvBsin θ 当B∥v时，F洛＝0
二、平衡中的临界与极值问题
1.常见的临界状态
(1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0。
(2)绳子断的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为0。
(3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。
2.平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值问题。一般用图解法或解析法分析。
【方法指导】
一、整体法与隔离法的应用对比
二、解答平衡问题的常用方法
1.在三个力作用下物体的平衡问题中，常用合成法分析；在多个力作用下物体的平衡问题中，常用正交分解法分析。
2.动态平衡问题的常用方法
(1)图解法　(2)解析法　(3)相似三角形法　(4)正弦(或余弦)定理法等。
三.考法解析
考法一图解法
1.题目特点：物体在三个力作用下缓慢运动，其中一个力恒定，另一个力方向恒定。
2应用思路：读懂题目叙述的情景，依次画出多个状态下力的渐变平行四边形或矢量三角形，根
据有向线段长度、方向的变化判断相应力的大小、方向的变化。
考法二解析法
1题目特点：物体受力示意图中某个力恒定，某个夹角发生的变化可判、可用。
2.应用思路：对力进行合成、分解或正交分解，用恒力、变角的三角函数写出变力的表达式（即平
衡方程)，根据三角函数的变化判断力的变化。
考法三相似三角形法
1.题目特点：物体在绳、杆或弹簧的作用下沿圆周缓慢运动。
2应用思路：相似三角形法是图解法的特例，平移受力示意图中的两个力，与第三个力构建力三
角形，找到与之相似的几何三角形，列出相应比例式进行分析，其中与半径对应的力大小不变。
考法四辅助圆法
(1)适用情况:物体受三个力,其中一个力大小、方向不变,另外两个力大小、方向都在改变,但变化的两个力之间的夹角不变。
(2)方法展示
①已知条件:F1恒定,F2、F3的夹角一定。
②解题过程:在圆中画出力的矢量三角形,以恒定力为弦,另外两个力的交点在圆周上移动,由三角形各边长度及方向的变化判定力的变化;两个力的夹角分大于90°(如图甲)和小于90°(如图乙)两种情况。
考点一 力学中的平衡问题
（2024 衡阳县二模）如图所示，质量为3m的小球P和质量为m的小球Q通过两根长度均为L的细线悬挂在天花板的O点，两球之间通过长度为的轻杆相连，重力加速度为g。现对小球P施加一外力F并确保轻杆始终处于水平状态，则作用在小球P上的外力最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：对小球Q进行受力分析，受到重力mg，细线的拉力FTQ和杆的作用力F杆。根据平衡条件得：
FTQsin30°＝mg
代入数据解得与Q相连绳子的拉力为：FTQ＝2mg
其水平方向的分力等于杆的作用力，有：F杆＝FTQcos30°
代入数据解得：F杆
对小球P进行受力分析：
受到重力3mg，细线的拉力FTP，杆的作用力F杆和外力F。小球重力与杆的作用力的合力为：F1
代入数据解得：F1＝2mg
作出矢量三角形，当作用在小球P上的外力方向与P相连绳子方向垂直时，作用在小球P上的外力最小，为
F＝F1sin30°＝2mgmg，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 临川区校级模拟）瓦房为中国常见的一种传统建筑。如图为一瓦房屋顶结构的简化图，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的橡子正中间，已知橡子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，忽略瓦片厚度，重力加速度为g。则（　　）
A．橡子对瓦片作用力的合力大小为mgcosθ
B．仅减小橡子的倾角θ，橡子对瓦片摩擦力不变
C．仅适当缓慢增大橡子间的距离d，瓦片可能会滑落
D．仅适当缓慢减小橡子间的距离d，橡子对瓦片弹力的合力不变
【解答】解：AD、由于瓦片处于静止状态，则椽子对瓦片的作用力的合力与重力等大反向，大小为mg，方向竖直向上，故A错误，D正确；
BC、根据题意，作垂直平分一片瓦片且垂直于木板的截面，截面及受力分析图如图所示：
A、B分别为截面上瓦片与两根木板的接触点，两根木板对瓦片的支持力的合力与瓦片垂直于木板向下的重力分力mgcosθ等大反向。
瓦片静止，所受合力为零，根据平衡条件可得：2FNcosα＝mgcosθ
解得FN
若木板间距离d增大，则α增大，cosα减小，可知FN增大，即每根木板对瓦片的支持力增大，根据f＝μFN可知，滑动静摩擦力增大，瓦片不会滑落；
设每根木板对瓦片的摩擦力大小为f，沿木板方向根据平衡条件可得：2f＝mgsinθ
解得每根木板对瓦片的摩擦力大小为：fmgsinθ
若θ减小，sinθ减小，根据fmgsinθ可知f减小，即每根木板对瓦片的摩擦力减小
故BC错误。
故选：D。
（2024 朝阳区校级模拟）如图所示，整个系统处于静止状态，动滑轮与定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为θ。如果将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，滑轮质量和一切摩擦均不计，整个系统重新平衡后（　　）
A．物块B的高度不变，θ不变
B．物块B的高度不变，θ变大
C．物块B的高度增大，θ变大
D．物块B的高度增大，θ不变
【解答】解：设绳子的拉力大小为F，以B为研究对象，根据平衡条件有
F＝mBg
以动滑轮为研究对象，根据平衡条件得
2Fsinθ＝mAg
设左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度为L，水平距离为x，根据几何关系得
将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，绳子的拉力大小保持不变，则θ不变，由于水平距离x不变，则左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度L不变，所以物块B的高度不变，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 青岛三模）如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f与支持面的支持力N的合力F与接触面法线间的夹角即为摩擦角φ，可知tanφ＝μ。利用摩擦角的知识可以用来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角φ。若已知物料的摩擦角φ和高h，动摩擦因数为μ。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角，对物料作受力分析如图所示
为使物料不下滑，应使θ减小；当底角θ小于φ时，物料将停留在锥面上，那么使物料恰好不下滑应使θ增大，且让θ＝φ，所以底角会保持为定值φ。若已知φ和锥体的高h，则可求出它的体积为
故A正确，BCD错误；
故选：A。
考点二 电学中的平衡问题
（2024 海淀区校级三模）如图所示，把系在丝线上的带电小球A挂在铁架台的P点，带电球C置于铁架台旁。小球A静止时与带电球C处于同水平线上，丝线与竖直方向的夹角为α。已知小球A的质量为m，重力加速度为g，不计丝线质量，则可知小球A受到的静电力的大小为（　　）
A．mgsinα B．mgtanα C． D．
【解答】解：对小球A受力分析，如图所示：
根据共点力平衡可知：tanα，解得：FC＝mgtanα，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（　　）
A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ
B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ
C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ
D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ
【解答】解：A.对ABC三个小球整体来看，其整体重心在竖直线上，由此得到
mAlsinα＝mBlsinβ+mClsinγ
当mA＝mB＝mC时
sinα＝sinβ+sinγ
当 α＝β＝γ时
sinα＝2sinα
这是不能实现的，故A错误；
B.由A项分析，当 γ＝0时
α＝β＞γ
B正确；
C.小球位置与其质量有关，与电荷量无关，电荷量只决定小球张开的绝对大小，不影响相对大小，故C错误；
D.由C项分析可知，故D错误。
故选：B。
（2024 宁乡市模拟）如图所示，绝缘光滑圆环竖直固定放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的带电小球，所带电荷量的大小均为q（电性未知），圆环半径为R，当小球b位于圆环最低点时，a、c两球恰好可以静止于与圆心等高的位置上，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．a、c小球可能带异种电荷
B．a、b小球可能带异种电荷
C．a球质量应满足
D．c球质量应满足
【解答】解：AB、对b小球受力分析可知，受到重力、环的支持力以及a与c的库仑力，其中重力与支持力的方向在竖直方向上，由水平方向受力平衡可知，a与c的电性必定是相同的；对a分析，受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力竖直向下，c对a的库仑力和环的支持力都是水平方向，若a要平衡，则b对a的库仑力沿竖直方向的分力必须向上，所以b对a的作用力必须是斥力，所以b与a的电性一定相同。即a、b、c小球带同种电荷，故AB错误；
CD、根据共点力平衡条件可知，b对a的库仑力 Fba 沿竖直方向的分力与a的重力平衡，
则mag
同理可对c球有，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 曲靖一模）如图所示，带电荷量为6Q（Q＞0）的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为﹣Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　）
A．由b到a一直做加速运动
B．运动至a点的速度等于
C．运动至a点的加速度大小为
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为
【解答】解：B．由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，小球1带正电，故小球3带正电，小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0；弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有
解得小球3运动至a点的速度
故B错误；
AC．小球3在b点时，设小球3的电荷量为q，根据库仑定律和平衡条件有
设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有
解得
小球运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性，由牛顿第二定律可知
解得
a＝2g
方向与合外力方向一样，沿斜面向上，故a先加速后减速，故AC错误；
D．当运动至ab中点时，弹簧弹力为0，根据库仑定律可知小球2对小球3的力为
此时小球3受到重力、库仑力和斜面对小球3的支持力，根据平衡条件可知斜面对小球的支持力为
根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为，故D正确。
故选：D。
考点三 平衡中的临界与极值问题
（2024 浙江一模）如图，两根相互平行的长直木棍AB和CD，两端固定。一个外径D0＝10cm、质量m＝20kg的管状铸件恰能从木棍上端匀速滑下，已知两木棍间距d＝8cm，与水平面的夹角α＝37°，忽略木棍粗细，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．木棍对铸件弹力的合力为80N
B．每根木棍与铸件间的摩擦力为60N
C．若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力增大
D．若仅稍减小AB与CD间距离，铸件将沿木棍减速下滑
【解答】解：A、铸件恰能从木棍上端匀速滑下，受力平衡。在垂直两根直木棍所在平面内，根据平衡条件可得，两根直木棍对铸件弹力的合力大小为
N合＝mgcosα＝20×10×0.8N＝160N，故A错误；
B、铸件从木棍的上端恰好能匀速滑下，沿木棍方向，根据平衡条件可得，两根直木棍对铸件摩擦力的合力大小为
f合＝mgsinα＝20×10×0.6N＝120N
所以每根木棍与铸件间的摩擦力为f120N＝60N，故B正确；
C、若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力不变，仍等于铸件重力沿垂直于两木棍所在平面的分量，故C错误；
D、作出铸件在垂直两根直木棍所在平面内受力示意图，如图所示。
根据几何关系可得
N合＝2Ncosθ
若仅稍减小AB与CD间距离，即d减小，sinθ减小，θ减小，cosθ增大，所以N减小，根据f＝μN可知，N减小，f减小，则铸件重力沿斜面向下的分量大于向上的摩擦力的合力，所以铸件的合力向下，向下加速运动，故D错误。
故选：B。
（2024 洛阳一模）如图所示，截面为三角形的木块a上放置一铁块b，三角形木块竖直边靠在竖直且粗糙的竖直面上，现用竖直向上的作用力F，推动木块与铁块一起向上匀加速运动，运动过程中铁块与木块始终保持相对静止，则下面说法正确的是（　　）
A．木块a与铁块b间一定存在摩擦力
B．木块与竖直墙面间一定存在水平弹力
C．木块与竖直墙面间一定存在摩擦力
D．竖直向上的作用力F大小一定小于铁块与木块的重力之和
【解答】解：A、b匀加速上升，受到的合力竖直向上，对b受力分析，受到重力、支持力和静摩擦力；故说明a与铁块b间一定存在摩擦力，故A正确；
BCD、再对a、b整体受力分析，整体受到重力和推力，由于存在竖直方向上的加速度，所以竖直向上的作用力F大小一定大于铁块与木块的重力之和；
由于整体在水平方向上物加速度，所以整体不受墙壁的弹力，既然无弹力，那么也不存在摩擦力，故BCD错误。
故选：A。
（2024 天河区一模）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。则细线b对小球2的拉力大小为（　　）
A．G B．G C．G D．G
【解答】解：选取1、2两球整体为研究对象，受到重力2G、a和c细线的拉力，如图所示：
根据平衡条件结合图中几何关系可得：Fc＝2Gtan30°＝2GG，
再对2球分析，受到重力G、c和b细线的拉力，根据力的合成可得：FbG，故A正确、BCD错误。
故选：A。
（2024 温州一模）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向上，半径为R的四分之三圆弧导线abc绕过圆心O垂直于纸面的转轴顺时针转动一周，导线中通有恒定电流I，下列说法正确的是（　　）
A．导线abc受到的安培力最小为BIR
B．导线abc受到的安培力大小可能为BIR
C．导线abc受到的安培力最大值为
D．导线abc受到的安培力方向始终垂直纸面向里
【解答】解：A．导线abc的等效长度为ac连线的长度，由几何关系可知，有效长度大小为；
安培力公式为：F＝BILsinθ，其中θ为B与I的夹角，当ac连线与磁场方向平行时，sinθ＝0，此时导线受安培力最小，则导线受到的安培力最小为0，故A错误；
BC．安培力公式为：F＝BILsinθ，其中θ为B与I的夹角，当ac连线与磁场方向垂直时，sinθ＝1，此时导线受安培力最大，安培力最大值为：，则导线abc受到的安培力大小可能为BIR，故B正确，C错误；
D．导线abc电流方向为a→b→c，根据左手定则可知，初始状态，导线受到的安培力方向垂直纸面向外，故D错误。
故选：B。
（2024 重庆模拟）《大国重器》节目介绍的GIL输电系统的三相共箱技术，如图甲所示，管道内部有三根绝缘超高压输电线缆平行且间距相等，截面图如图乙所示，上方两根输电线缆A、B连线水平，某时刻A、C中电流方向垂直于纸面向里，B中电流方向垂直于纸面向外，A、B、C中电流大小均为I，则（　　）
A．正三角形中心O处的磁感应强度为0
B．A、B连线中点处的磁感应强度斜向左上方
C．A、C输电线缆相互吸引
D．A、B输电线缆相互吸引
【解答】解：A、A根据右手定则可判断输电线缆在O点的磁感应强度方向垂直OA指向左下方，B输电线缆在O点的磁感应强度方向垂直OB指向右下方，根据对称性可知，AB输电线缆在O处产生的磁感应强度大小相等，根据矢量的合成法则可判断A、B输电线缆在O处的合磁感应强度方向竖直向下，而C输电线在O点的磁感应强度方向垂直OC水平向右，所以O处合磁感应强度方向应斜向右下方，故A错误；
B、A输电线缆在A、B连线中点处的磁感应强度方向竖直向下，B输电线缆在O点的磁感应强度方向竖直向下，C输电线在A、B连线中点的磁感应强度方向水平向右，所以A、B连线中点合磁感应强度方向斜向右下方，故B错误；
CD、根据同向电流相互吸引，反向电流相互排斥可知，A、C输电线缆相互吸引，A、B输电线缆相互排斥，故C正确，D错误；
故选：C。
（2024 盐都区校级三模）如图，用粗细均匀的电阻丝折成边长为L的平面等边三角形框架，每个边长L的电阻均为r，三角形框架的两个顶点与一电动势为E、内阻为r的电源相连接，垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场，则三角形框架受到的安培力的合力大小为（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：根据左手定则判断出各段受到的安培力的方向，如图
等效电路为r和2r并联，并联后总电阻为：
则路端电压U E
根据欧姆定律：I12
I3
则安培力F1＝F2＝BI12L，F1，F2的夹角为120°，根据平行四边形定则其合力大小为：
F3＝BI3L
故三角形框架受到的安培力的合力大小为：
故选：D。
（2024 浙江二模）如图，在等边三角形三个顶点处，各有一根长直导线垂直于纸面固定放置。在三根导线中均通有电流I，其中P、Q导线中电流方向垂直纸面向里，M导线中电流方向垂直纸面向外，三角形中心O处的磁感应强度大小为B，若撤去导线P，则三角形中心O处磁感应强度的大小为（　　）
A．0 B． C． D．2B
【解答】解：根据右手螺旋定则，通电导线P、M和Q在O处的磁场方向，如图所示
三角形中心O处的磁感应强度大小为B，设每根导线在O点的磁感应强度大小分别为B′，根据叠加原理，则有
B＝B′+2B′cos60°
可得
撤去导线P后，导线Q、M在O点的磁感应强度成60°角，根据叠加原理，合成后磁感应强度的大小为
故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　）
A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2
【解答】解：A．根据题意可知两球的电场力是相互作用力，所以无法比较两球电荷量的大小，故A错误；
B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的结点受力分析可知：
T'cosθ1＝T'cosθ2
解得：θ1＝θ2，故B错误；
CD．对两球受力可知，如下图所示，根据相似三角形可得：
可得mA：mB＝2：1
xA：xB＝1：2
故C错误，D正确。
故选：D。
（2023 海淀区校级模拟）有些物理问题，可以借助虚设的对象、条件、过程或模型，使复杂问题简单化抽象问题具体化，获得解决问题的方法。举例如下：如图所示，四根质量都是m的均匀等长木棒，用铰链连成框架，绞链P固定在天花板上，框架竖直悬挂在空中；现在绞链Q上施一竖直向上的力F使框架保持静止，不计一切摩擦，若要求出作用力F的大小，可设想力F使绞链Q缓慢上移一微小的距离Δh，则框架的重心将上升，因为F做的功等于框架重力势能的增加量，所以F Δh＝4mg ，可得F＝2mg。请参照上面解决问题的方法，尝试完成以下问题：有一均匀带电薄球壳，电荷量为Q、半径为R，球壳表面的电荷之间将互相排斥；已知此带电球壳体系储存的静电能为E＝k（k为静电力常量），则球壳单位面积上受到的排斥力为（　　）
A．k B．k C．k D．k
【解答】解：若总排斥力使均匀带电薄球壳半径增大一微小的距离ΔR，则带电球壳体系储存的静电能减小量为：
ΔE
总排斥力做功等于静电能减小量，则有：
F×ΔR＝ΔE
F
当ΔR趋近于零，则有：F
球壳单位面积上受到的排斥力：F0，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 海口模拟）如图，质量均为m的2024个相同匀质圆柱体依次放置在倾角为30°的光滑斜面上，斜面底端有一竖直光滑挡板挡住使圆柱体均处于静止状态，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆柱体1、2、3……2024对斜面压力依次减小
B．挡板对圆柱体1的弹力大小为1012mg
C．圆柱体1对斜面的压力大小为
D．若将挡板绕下端点缓慢逆时针转60°，则转动过程中挡板受到的压力逐渐增大
【解答】解：A、除圆柱体1之外，根据平衡条件和相互作用力的关系可知其它所有圆柱体对斜面的压力大小都等于自身重力垂直斜面方向的分力的大小，即都为
N＝mgcos30°
而圆柱体1因为还受到水平向右的挡板对其的弹力，因此圆柱体1对斜面的压力大小应等于自身重力垂直斜面方向的分力大小与挡板对圆柱体1的弹力在垂直斜面方向的分力的大小之和，故A错误；
B、以2024个圆柱体为整体，受力分析，如下图所示
根据平衡条件可得
可得挡板对圆柱体1的弹力大小为
，故B错误；
C、斜面对2024个圆柱体的总支持力大小为
则斜面对圆柱体1的支持力大小为
则圆柱体1对斜面的压力大小为，
故C正确；
D、对整体受力分析，做出力的矢量三角形如图所示
可知，随着挡板绕下端点缓慢逆时针转动30°时，挡板对整体的弹力沿着斜面向上，垂直于支持力FN，随着挡板绕下端点缓慢逆时针转动到60°时，转动过程中挡板对整体的支持力将先减小后增大，则根据牛顿第三定律可知，挡板受到的压力将先减小后增大，故D错误。
故选：C。
（2024 丹阳市校级一模）如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则（　　）
A．墙对B的作用力减小 B．墙对B的作用力不变
C．A对B的作用力增大 D．B对A的作用力增大
【解答】解：ABC、对物体B受力分析，有重力G、墙对其向右的弹力FN和A对B的斜向左上的支持力FAB。如图示
物体B在三个力的作用下处于平衡状态。设FAB与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件有
FN＝mgtanθ
当将A的位置向左移动稍许，θ减小，则FN减小，FAB减小，故A正确，BC错误；
D、因为A对B的作用力减小，因为力的作用是相互的，所以B对A的作用力也是减小的，故D错误。
故选：A。
（2024 福建一模）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是甲、乙两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将质量相同、尺寸不同的球面锅置于两款支架上的a、b、c、d四个位置，则锅对各位置的压力分别为Fa、Fb、Fc、Fd，忽略锅与支架间的摩擦，下列判断正确的是（　　）
A．Fa＝Fb B．Fa＜Fb C．Fc＝Fd D．Fc＜Fd
【解答】解：AB、甲款支架对球面锅的支持力方向指向球面锅的球心，如下图所示。
锅处于平衡状态，根据平衡条件有
mg＝5FNcosθ
解得
由图可知，球面锅的尺寸越大，θ越小，则支架对球面锅的支持力FN越小，则由牛顿第三定律可知，锅的尺寸越大，球面锅对支架的压力越小，所以有Fb＜Fa，故AB错误；
CD、乙款支架对球面锅的支持力方向垂直于接触面向上，如下图所示。
球面锅处于平衡状态，根据平衡条件有
mg＝5FNcosθ
解得支架对球面锅的支持力
由图可知，不论锅的尺寸大小，θ不变，则支架对球面锅的支持力FN大小不变。由牛顿第三定律可知，锅的尺寸无论大小，球面锅对支架的压力不变，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 青秀区校级模拟）如图所示，A、B、C三个物块叠放在水平面上并处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A．物块A、B（其中AB对接触面）有滑动趋势
B．物块A、C（其中A对接触面、C对地）有滑动趋势
C．物块B、C（其中B对接触面、C对地）有滑动趋势
D．物块A、B、C（其中AB对接触面、C对地）均有滑动趋势
【解答】解：A、对A受力分析，A一定受重力、B给A的支持力，B给A的摩擦力才能平衡，故AB之间有滑动趋势；故A正确；
BCD、对AB整体分析可知，B受C对它的摩擦力，则BC间有相对运动趋势，对三个物块整体分析可知C对地无摩擦力，则C对地无滑动趋势，故BCD错误；
故选：A。
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第1讲 力与平衡
（2024 贵州）如图（a），一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，其中一个视图如图（b）所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则球对横杆的压力大小为（　　）
A．mg B．mg C．mg D．mg
（2024 山东）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　）
A． B． C． D．
（2024 浙江）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦），则细线a、b的拉力分别为（　　）
A．2N，1N B．2N，0.5N C．1N，1N D．1N，0.5N
（2024 河北）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0N，g取10m/s2，挡板对球体支持力的大小为（　　）
A． B．1.0N C． D．2.0N
（多选）（2024 福建）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为r的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，铜环两端a、b处于同一水平线。若环中通有大小为I、方向从a到b的电流，细绳处于绷直状态，则（　　）
A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为2rBI
D．铜环所受安培力大小为πrIB
一、几种常见力的性质对比
种类 大小 方向 说明
静摩擦力 0滑动摩擦力 F＝μFN 与相对运动方向相反 一般情况下FN ≠mg
电场力 F电＝qE 正(负)电荷受电场力的方向与电场强度方向相同(相反) 带电体处于电场中一定受到电场力作用
安培力 F＝BILsin θ 当B∥I时，F＝0 可由左手定则判断，安培力(洛伦兹力)的方向总是垂直于B与I(或B与v)决定的平面 电流或运动电荷处于磁场中不一定受到磁场力
洛伦兹力 F洛＝qvBsin θ 当B∥v时，F洛＝0
二、平衡中的临界与极值问题
1.常见的临界状态
(1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0。
(2)绳子断的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为0。
(3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。
2.平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值问题。一般用图解法或解析法分析。
【方法指导】
一、整体法与隔离法的应用对比
二、解答平衡问题的常用方法
1.在三个力作用下物体的平衡问题中，常用合成法分析；在多个力作用下物体的平衡问题中，常用正交分解法分析。
2.动态平衡问题的常用方法
(1)图解法　(2)解析法　(3)相似三角形法　(4)正弦(或余弦)定理法等。
三.考法解析
考法一图解法
1.题目特点：物体在三个力作用下缓慢运动，其中一个力恒定，另一个力方向恒定。
2应用思路：读懂题目叙述的情景，依次画出多个状态下力的渐变平行四边形或矢量三角形，根
据有向线段长度、方向的变化判断相应力的大小、方向的变化。
考法二解析法
1题目特点：物体受力示意图中某个力恒定，某个夹角发生的变化可判、可用。
2.应用思路：对力进行合成、分解或正交分解，用恒力、变角的三角函数写出变力的表达式（即平
衡方程)，根据三角函数的变化判断力的变化。
考法三相似三角形法
1.题目特点：物体在绳、杆或弹簧的作用下沿圆周缓慢运动。
2应用思路：相似三角形法是图解法的特例，平移受力示意图中的两个力，与第三个力构建力三
角形，找到与之相似的几何三角形，列出相应比例式进行分析，其中与半径对应的力大小不变。
考法四辅助圆法
(1)适用情况:物体受三个力,其中一个力大小、方向不变,另外两个力大小、方向都在改变,但变化的两个力之间的夹角不变。
(2)方法展示
①已知条件:F1恒定,F2、F3的夹角一定。
②解题过程:在圆中画出力的矢量三角形,以恒定力为弦,另外两个力的交点在圆周上移动,由三角形各边长度及方向的变化判定力的变化;两个力的夹角分大于90°(如图甲)和小于90°(如图乙)两种情况。
考点一 力学中的平衡问题
（2024 衡阳县二模）如图所示，质量为3m的小球P和质量为m的小球Q通过两根长度均为L的细线悬挂在天花板的O点，两球之间通过长度为的轻杆相连，重力加速度为g。现对小球P施加一外力F并确保轻杆始终处于水平状态，则作用在小球P上的外力最小值为（　　）
A． B． C． D．
（2024 临川区校级模拟）瓦房为中国常见的一种传统建筑。如图为一瓦房屋顶结构的简化图，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的橡子正中间，已知橡子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，忽略瓦片厚度，重力加速度为g。则（　　）
A．橡子对瓦片作用力的合力大小为mgcosθ
B．仅减小橡子的倾角θ，橡子对瓦片摩擦力不变
C．仅适当缓慢增大橡子间的距离d，瓦片可能会滑落
D．仅适当缓慢减小橡子间的距离d，橡子对瓦片弹力的合力不变
（2024 朝阳区校级模拟）如图所示，整个系统处于静止状态，动滑轮与定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为θ。如果将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，滑轮质量和一切摩擦均不计，整个系统重新平衡后（　　）
A．物块B的高度不变，θ不变
B．物块B的高度不变，θ变大
C．物块B的高度增大，θ变大
D．物块B的高度增大，θ不变
（2024 青岛三模）如图（a），摩擦角的物理意义是：当两接触面间的静摩擦力达到最大值时，静摩擦力f与支持面的支持力N的合力F与接触面法线间的夹角即为摩擦角φ，可知tanφ＝μ。利用摩擦角的知识可以用来估料，如图（b）所示。物料自然堆积成圆锥体，圆锥角底角必定是该物料的摩擦角φ。若已知物料的摩擦角φ和高h，动摩擦因数为μ。物料所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。可求出圆锥体的体积为（　　）
A． B． C． D．
考点二 电学中的平衡问题
（2024 海淀区校级三模）如图所示，把系在丝线上的带电小球A挂在铁架台的P点，带电球C置于铁架台旁。小球A静止时与带电球C处于同水平线上，丝线与竖直方向的夹角为α。已知小球A的质量为m，重力加速度为g，不计丝线质量，则可知小球A受到的静电力的大小为（　　）
A．mgsinα B．mgtanα C． D．
（2024 宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（　　）
A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ
B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ
C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ
D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ
（2024 宁乡市模拟）如图所示，绝缘光滑圆环竖直固定放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的带电小球，所带电荷量的大小均为q（电性未知），圆环半径为R，当小球b位于圆环最低点时，a、c两球恰好可以静止于与圆心等高的位置上，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．a、c小球可能带异种电荷
B．a、b小球可能带异种电荷
C．a球质量应满足
D．c球质量应满足
（2024 曲靖一模）如图所示，带电荷量为6Q（Q＞0）的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为﹣Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　）
A．由b到a一直做加速运动
B．运动至a点的速度等于
C．运动至a点的加速度大小为
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为
考点三 平衡中的临界与极值问题
（2024 浙江一模）如图，两根相互平行的长直木棍AB和CD，两端固定。一个外径D0＝10cm、质量m＝20kg的管状铸件恰能从木棍上端匀速滑下，已知两木棍间距d＝8cm，与水平面的夹角α＝37°，忽略木棍粗细，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　）
A．木棍对铸件弹力的合力为80N
B．每根木棍与铸件间的摩擦力为60N
C．若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力增大
D．若仅稍减小AB与CD间距离，铸件将沿木棍减速下滑
（2024 洛阳一模）如图所示，截面为三角形的木块a上放置一铁块b，三角形木块竖直边靠在竖直且粗糙的竖直面上，现用竖直向上的作用力F，推动木块与铁块一起向上匀加速运动，运动过程中铁块与木块始终保持相对静止，则下面说法正确的是（　　）
A．木块a与铁块b间一定存在摩擦力
B．木块与竖直墙面间一定存在水平弹力
C．木块与竖直墙面间一定存在摩擦力
D．竖直向上的作用力F大小一定小于铁块与木块的重力之和
（2024 天河区一模）用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平。则细线b对小球2的拉力大小为（　　）
A．G B．G C．G D．G
（2024 温州一模）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向上，半径为R的四分之三圆弧导线abc绕过圆心O垂直于纸面的转轴顺时针转动一周，导线中通有恒定电流I，下列说法正确的是（　　）
A．导线abc受到的安培力最小为BIR
B．导线abc受到的安培力大小可能为BIR
C．导线abc受到的安培力最大值为
D．导线abc受到的安培力方向始终垂直纸面向里
（2024 重庆模拟）《大国重器》节目介绍的GIL输电系统的三相共箱技术，如图甲所示，管道内部有三根绝缘超高压输电线缆平行且间距相等，截面图如图乙所示，上方两根输电线缆A、B连线水平，某时刻A、C中电流方向垂直于纸面向里，B中电流方向垂直于纸面向外，A、B、C中电流大小均为I，则（　　）
A．正三角形中心O处的磁感应强度为0
B．A、B连线中点处的磁感应强度斜向左上方
C．A、C输电线缆相互吸引
D．A、B输电线缆相互吸引
（2024 盐都区校级三模）如图，用粗细均匀的电阻丝折成边长为L的平面等边三角形框架，每个边长L的电阻均为r，三角形框架的两个顶点与一电动势为E、内阻为r的电源相连接，垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场，则三角形框架受到的安培力的合力大小为（　　）
A．0 B． C． D．
（2024 浙江二模）如图，在等边三角形三个顶点处，各有一根长直导线垂直于纸面固定放置。在三根导线中均通有电流I，其中P、Q导线中电流方向垂直纸面向里，M导线中电流方向垂直纸面向外，三角形中心O处的磁感应强度大小为B，若撤去导线P，则三角形中心O处磁感应强度的大小为（　　）
A．0 B． C． D．2B
（2023 台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　）
A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2
（2023 海淀区校级模拟）有些物理问题，可以借助虚设的对象、条件、过程或模型，使复杂问题简单化抽象问题具体化，获得解决问题的方法。举例如下：如图所示，四根质量都是m的均匀等长木棒，用铰链连成框架，绞链P固定在天花板上，框架竖直悬挂在空中；现在绞链Q上施一竖直向上的力F使框架保持静止，不计一切摩擦，若要求出作用力F的大小，可设想力F使绞链Q缓慢上移一微小的距离Δh，则框架的重心将上升，因为F做的功等于框架重力势能的增加量，所以F Δh＝4mg ，可得F＝2mg。请参照上面解决问题的方法，尝试完成以下问题：有一均匀带电薄球壳，电荷量为Q、半径为R，球壳表面的电荷之间将互相排斥；已知此带电球壳体系储存的静电能为E＝k（k为静电力常量），则球壳单位面积上受到的排斥力为（　　）
A．k B．k C．k D．k
（2024 海口模拟）如图，质量均为m的2024个相同匀质圆柱体依次放置在倾角为30°的光滑斜面上，斜面底端有一竖直光滑挡板挡住使圆柱体均处于静止状态，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆柱体1、2、3……2024对斜面压力依次减小
B．挡板对圆柱体1的弹力大小为1012mg
C．圆柱体1对斜面的压力大小为
D．若将挡板绕下端点缓慢逆时针转60°，则转动过程中挡板受到的压力逐渐增大
（2024 丹阳市校级一模）如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则（　　）
A．墙对B的作用力减小 B．墙对B的作用力不变
C．A对B的作用力增大 D．B对A的作用力增大
（2024 福建一模）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是甲、乙两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将质量相同、尺寸不同的球面锅置于两款支架上的a、b、c、d四个位置，则锅对各位置的压力分别为Fa、Fb、Fc、Fd，忽略锅与支架间的摩擦，下列判断正确的是（　　）
A．Fa＝Fb B．Fa＜Fb C．Fc＝Fd D．Fc＜Fd
（2024 青秀区校级模拟）如图所示，A、B、C三个物块叠放在水平面上并处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A．物块A、B（其中AB对接触面）有滑动趋势
B．物块A、C（其中A对接触面、C对地）有滑动趋势
C．物块B、C（其中B对接触面、C对地）有滑动趋势
D．物块A、B、C（其中AB对接触面、C对地）均有滑动趋势
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