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第一章 整式的乘除
课时1 平方差公式
1.3 乘法公式
七下数学 BSD
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
问题 王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
计算下列各题：
(1)(x+2)(x-2)
(2)(1+3a)(1-3a)
(3)(x+5y)(x-5y)
(4)(2y-z)(2y+z)
知识点 平方差公式
=x2-2x+2x-4
=1-3a+3a-9a2
=x2-5xy+5xy-25y2
=4y2+2yz-2yz-z2
观察四个算式有什么特点？
都是“两数和×两数差”
=x2-4;
=1-9a2;
=x2-25y2;
=4y2-z2.
计算下列各题：
(1)(x+2)(x-2)
(2)(1+3a)(1-3a)
(3)(x+5y)(x-5y)
(4)(2y-z)(2y+z)
知识点 平方差公式
=x2-2x+2x-4
=1-3a+3a-9a2
=x2-5xy+5xy-25y2
=4y2+2yz-2yz-z2
=x2-4;
=1-9a2;
=x2-25y2;
=4y2-z2.
观察四个结果，有什么特点？
两数分别平方再作差
平方差公式：
(a+b)(a-b)= .
两数和与这两数差的积，等于它们的 .
知识点 平方差公式
平方差
a2-b2
注意：要认准平方差公式中的两数和、两数差的结构特点，
有的算式也可以变形为具有这样结构特点的算式，只有符合这样的结构特点才能考虑套用平方差公式.
寻找a，b，试着完成表格，加深对公式的认识.
知识点 平方差公式
(a+b)(a-b) a b a -b 最后结果
(5+6x)(5 6x)
(-x+1)(-x-1)
5
6x
5 -(6x)
25-36x
1
-x
(-x) -1
x -1
相同项
相反项
例1 利用平方差公式计算：
知识点 平方差公式
解：
(1)(5+6x)(5-6x) ； (2)(x-2y)(x+2y)； (3)(-m+n)(-m-n) .
(1)(5+6x)(5-6x)
=52-(6x)2
=25-36x2；
(2)(x-2y)(x+2y)
=x2-(2y)2
=x2-4y2 ；
(3)(-m+n)(-m-n)
=(-m)2-n2
=m2-n2.
知识点 平方差公式
例2 利用平方差公式计算：
(1) (-x-y)(-x+y)； (2) (ab+8)(ab-8) .
解：
(1) (-x-y)(-x+y)
= (-x)2-y2
= x2-y2；
(2) (ab+8)(ab-8)
= (ab)2-82
= a2b2-64.
平方差公式的变化及应用
知识点 平方差公式
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3)系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(4)指数变化 (a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4
(5)项数变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
(6)连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
1.下列各式能否用平方差公式计算 若能，请算出结果；若不能，说明理由.
(1) (-a+b)(a+b)
(2)(a-b)(-a-b)
(3)(-b+a)(a-b)
(4)(-b-a)(b-a)
(5)(a+b)(-a-b)
=(b-a)(b+a)=b2-a2
=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2 =b2-a2
=(-a-b)(-a+b)=(-a)2-b2 =a2-b2
2.用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)，结果正确的是( )　　
A． x4-1 B． x4+1 C．(x-1)4 D．(x+1)4
A
原式=(x2-1)(x2+1)
=x4-1.
3.用公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算(x+2y-1)·(x-2y+1)时，下列变形正确的是(　　)
A. ［x-(2y+1)］2 B. ［x+(2y+1)］2
C. ［x+(2y-1)］［x-(2y-1)］ D. ［(x-2y)+1］［(x-2y)-1］
C
4. 计算：
(1) (a+2)(a-2)； (2) (3a+2b)(3a-2b)；
(3) (-x-1)(1-x)； (4) (-4k+3)(-4k-3).
解:(1)原式=a2-22 =a2-4.
(2)原式=(3a)2-(2b)2 =9a2-4b2.
(3)原式=(-x)2-12 =x2-1.
(4)原式=(-4k)2-32 =16k2-9.
5.先化简，再求值：2(3x＋1)(1-3x)＋(x-2)(2＋x)，其中x＝2．
解：2(3x＋1)(1-3x)＋(x-2)(2＋x)
＝2(1＋3x)(1-3x)＋(x-2)(x＋2)
＝2(1-9x2)＋(x2-4)
＝2-18x2＋x2-4
＝-17x2-2．
当x＝2时，原式＝-17×22-2＝-17×4-2＝-70．
平方差公式
紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号表示
注意
内容

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