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专题06 图形的初步认识 高频考点（7个）（精讲）
高频考点1. 几何图形
【解题技巧】
1．几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
2．平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．
3．立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
例1．1．（2024秋 张店区期中）下列几何体中，属于棱柱的是（　　）
A．B． C． D．
变式1．（2024秋 合肥期末）下面几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2024 陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
变式3．（2024秋 长安区期中）2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
变式4．（2023秋 洪江市期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．
A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥
高频考点2. 直线、射线、线段
【解题技巧】
1.直线、射线、线段：线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2.直线的性质：两点确定一条直线
例1．（2023秋 枣阳市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 B．延长直线AB
C．射线AB和射线BA是同一条射线 D．直线AB和直线BA是同一条直线
变式1．（2023秋 乌兰察布期末）如图，图中射线条数为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
变式2．（2023秋 杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短
变式3．（2023秋 南皮县期末）如图，下面说法中错误的是（　　）
A．点B在直线MC上 B．点A在直线BC外 C．点C在线段MB上 D．点M在线段BC上
变式4．（2023秋 潮南区期末）如图，以A为一个端点的线段共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式5．（2023秋 南乐县期末）建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使每一层砖在一条直线上．这一实际应用，用数学知识解释正确的是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．连接两点线段的长度，叫做这两点的距离
高频考点3. 线段的长短比较
【解题技巧】
1.比较两条线段长短的方法：叠合法、度量法
2.线段的性质：两点之间线段最短.
3.两点间距离：连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
例1．（2024 滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
变式1．（2023秋 百色期末）用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短（如图），下列结论正确的是（　　）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不确定
变式2．（2022秋 柘城县期末）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长．AC＝　　cm；BC＝　　cm；AB＝　　cm．
（2）用“＝”“＜”“＞”填入下面的空格．
AC 　　BC，AC 　　AB，AB 　　BC．
变式3．（2024秋 内蒙古期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段AB＝3cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离为（　　）
A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．不能确定
变式4．（2024秋 沈阳月考）如图，已知B，C在线段AD上．
（1）如图1，图中共有　　条线段；
（2）若AB＞CD．
①比较线段的长短：AC　　BD（填“＞”“＝”或“＜”）
②如图2，若AD＝14，BC＝10，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度．
变式5．（2024秋 石家庄期中）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP：PB＝1：3，则这根绳子原来的长度为（　　）
A．16cm B．28cm C．16cm或32cm D．16cm或28cm
高频考点3 线段的和差
【解题技巧】
1.线段的和差
线段的和：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和
线段的差：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的差，那么这条线段叫做另两条线段的差
注：两条线段的和或差仍是一条线段
2.线段的中点：点C 把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.
若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC
注：两条线段的和或差仍是一条线段
例1．（2023秋 余干县期末）如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD
变式1．（2023秋 东莞市校级期末）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
变式2．（2023秋 郑州期末）小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（　　）
A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米
变式3．（2024秋 滦州市期中）如图，A，B，C，D四点在一条直线上，下列选项所填内容不正确的是（　　）
甲：AC＝AD﹣△
乙：AC＝☆+BC
丙：BC+□＝AD﹣AB
丁：BD﹣〇＝AC﹣AB
A．△表示CD B．☆表示AB C．□表示CD D．〇表示BC
变式4．（2023秋 黄山期末）如图，C，D是线段AB上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段AD，BC的中点．下列结论：
①；
②若AE＝BF，则AC＝BD；
③AB﹣CD＝2EF；
④AC﹣BD＝EC﹣DF．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
变式5．（2023秋 民权县期末）如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）求线段DC的长．
变式6．（2023秋 应城市期末）如图，线段AD上有B，C两点，AD＝9，DB＝AD，AC＝CB．求BC的长．
变式7．（2023秋 纳溪区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，PD＝2AC，求出AP的长；
根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，
则BD＝2 　　，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2 　 　，即PB＝2 　 　，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3 　 　，则AP＝ 　 　．
（2）当t＝2时，PD＝2AC，根据（1）可得AP的长是 　 　；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长．
高频考点4 角与角的度量
【解题技巧】
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° α=180° α=360°
4.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
例1．（2024秋 杏花岭区校级月考）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠α三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
例2．（2023春 谯城区校级期末）计算：
（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．
（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．
变式1．（2024秋 肇州县校级期中）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式2．（2023秋 东明县期末）上午6：50时，钟表的分针与时针夹角的度数是（　　）
A．105度 B．85度 C．95度 D．115度
变式3．（2023秋 南郑区期末）已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝∠C
变式4．（2023秋 罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
高频考点5 角的大小比较
【解题技巧】
角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
例1．（2024春 冠县期中）对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空：
（1）∠AOB 　　∠AOC；
（2）∠DOB 　　∠BOC；
（3）∠BOC 　　∠AOD；
（4）∠AOD 　　∠BOD．
变式1．（2024 裕华区校级二模）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　）
A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
变式2．（2023秋 鄄城县期末）若∠A＝20°19′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
变式3．（2022秋 封丘县校级期末）比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OD是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC 　　∠BOD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
变式4．（2023秋 麻阳县期末）如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（　　）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定
变式5．（2024秋 长安区期中）如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　）
A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD
C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定
高频考点6 角的和差
【解题技巧】1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
例1．（2024秋 新华区校级期中）根据如图所示，下列式子错误的是（　　）
A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC
C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB
变式1．（2023秋 隆回县期末）如图：∠AOC＝∠BOD＝105°，且∠AOD＝135°，则∠BOC的度数为（　　）
A．75° B．65° C．70° D．60°
变式2（2023秋 新城区校级期末）如图，已知∠BOD＝120°，且∠AOB+∠COD＝150°，若∠AOD＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．70° C．80° D．85°
变式3．（2023秋 盖州市期末）如图所示，OB是∠AOC平分线，∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（　　）
A．70° B．83° C．68° D．85°
变式4．（2023秋 右玉县期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝25°，∠2的大小是（　　）
A．25° B．35° C．55° D．65°
变式5．（2023秋 太湖县期末）已知∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，则∠AOC的度数为（　　）
A．50° B．110° C．50°或110° D．无法确定
变式6．（2023秋 舟山期末）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是72°、26°、50°、90°，其中有一名同学计算正确，这名同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式7．（2023秋 渌口区期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝80°，∠COE＝50°，OD平分∠AOC；
（1）求∠DOE的度数；
（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
变式8．（2023秋 娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
变式9．（2023秋 玉州区期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°．
【计算与观察】
（1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数．
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数．
高频考点7 余角和补角
【解题技巧】
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
例1．（2023秋 费县期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
变式1．（2024春 双流区期末）若一个角的补角是110°，则这个角的度数为 　　．
变式2．（2023秋 绵阳期末）已知角（30°+α）的余角为45°20′，则α＝ 　　.（用xx°xx′作答）
变式3．（2024秋 合肥期末）如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，∠2＝55°，那么∠4＝　　度．
变式4．（2023秋 息县期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠DOC＝20°，则∠AOB＝（　　）
A．160° B．150° C．140° D．165°
变式4．（2023秋 老河口市期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数．
变式5．（2024秋 秦皇岛校级期末）如图，∠AOD＝∠BOC＝90°，∠COD＝39°．求∠AOC和∠AOB的度数（小于平角的）．
变式6．（2024秋 永年区期中）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．（∠DOE＝90°）
（1）将直角三角尺DOE的一边OD放在射线OB上，如图1，则∠COE的度数为 　　，其补角的度数为 　　．
（2）将直角三角尺DOE绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角尺DOE绕点O转动如果OD始终在∠BOC的内部，请直接写出∠BOD和∠COE的数量关系．
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专题06 图形的初步认识 高频考点（7个）（精讲）
高频考点1. 几何图形
【解题技巧】
1．几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
2．平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．
3．立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
例1．1．（2024秋 张店区期中）下列几何体中，属于棱柱的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据棱柱的概念、结合图形解得即可．
【解析】解：A．正方体属于棱柱，故选项正确；
B．球属于球体，不属于棱柱，故选项不正确；
C．圆柱属于柱体，不属于棱柱，故选项不正确；
D．圆锥属于锥体，不属于棱柱，故选项不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是立体图形的认识，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键．
变式1．（2024秋 合肥期末）下面几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据圆锥的定义即可求解．
【解析】解：A、该图形为圆锥，符合题意；
B、该图形为球体，不符合题意；
C、该图形为圆柱，不符合题意；
D、该图形为长方体，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．
变式2．（2024 陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据面动成体，图形绕直线旋转是球．
【解析】解：如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是球．
故选：C．
【点睛】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半．
变式3．（2024秋 长安区期中）2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　）
A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对
【点拨】根据点、线、面、体之间的关系，即可解答．
【解析】解：2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线，
故选：C．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键．
变式4．（2023秋 洪江市期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．
A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥
【点拨】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断．
【解析】解：①三角形；②长方形；④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；
③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形．
故选：A．
【点睛】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
高频考点2. 直线、射线、线段
【解题技巧】
1.直线、射线、线段：线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2.直线的性质：两点确定一条直线
例1．（2023秋 枣阳市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 B．延长直线AB
C．射线AB和射线BA是同一条射线 D．直线AB和直线BA是同一条直线
【点拨】根据直线、射线、线段的表示方法、直线的公理、以及是否可以延长，可进行判断．
【解析】解：A．延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误；
B．直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误；
C．射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误；
D．直线AB和直线BA是同一条直线，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握有关直线、射线、线段的表示方法、公理等知识．
变式1．（2023秋 乌兰察布期末）如图，图中射线条数为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【点拨】根据射线的定义及表示方法进行解答即可．
【解析】解：图中的射线有：射线AE，射线BE，射线CE，射线CG，射线BG，射线AG，射线BF，射线DF，
共8条，
故选：A．
【点睛】本题考查直线、射线、线段，理解射线的定义及表示方法是正确解答的前提．
变式2．（2023秋 杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短
【点拨】利用直线、射线、线段的定义判断．
【解析】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确；
过一点能作无数条直线，B选项正确；
射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确；
射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．
变式3．（2023秋 南皮县期末）如图，下面说法中错误的是（　　）
A．点B在直线MC上 B．点A在直线BC外 C．点C在线段MB上 D．点M在线段BC上
【点拨】根据图形，即可解答．
【解析】解：A、点B在直线MC上，正确；
B、点A在直线BC外，正确；
C、点C在线段MB上，正确；
D、点M在直线BC上，错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据图形回答．
变式4．（2023秋 潮南区期末）如图，以A为一个端点的线段共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【点拨】根据线段的定义即可判断．
【解析】解：以A为端点的线段有AB、AC、AD，共三条，
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段的概念，关键是要牢记线段的定义．
变式5．（2023秋 南乐县期末）建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使每一层砖在一条直线上．这一实际应用，用数学知识解释正确的是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．连接两点线段的长度，叫做这两点的距离
【点拨】由直线公理可以直接得出答案．
【解析】解：这样做的依据是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】本题考查直线公理，对公理的理解是解题的关键．
高频考点3. 线段的长短比较
【解题技巧】
1.比较两条线段长短的方法：叠合法、度量法
2.线段的性质：两点之间线段最短.
3.两点间距离：连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
例1．（2024 滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
【点拨】根据AB＝CD两边都加上线段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
故选：C．
【点睛】本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的推理能力．
变式1．（2023秋 百色期末）用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短（如图），下列结论正确的是（　　）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不确定
【点拨】根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短即可．
【解析】解：∵点A与A′重合时，点B′在点B的右端，
∴A′B′＞AB，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握尺规法比较大小的基本原理是解题的关键．
变式2．（2022秋 柘城县期末）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长．AC＝　3　cm；BC＝　3　cm；AB＝　2　cm．
（2）用“＝”“＜”“＞”填入下面的空格．
AC 　＝　BC，AC 　＞　AB，AB 　＜　BC．
【点拨】利用测量法解决问题即可．
【解析】解：（1）根据测量可得：AC＝3cm，BC＝3cm，AB＝2cm；
故答案为：3；3；2；
（2）AC＝BC，AB＞BC，AB＜BC．
故答案是：＝；＞；＜．
【点睛】本题主要考查比较线段的长度，解题的关键是学会利用测量法解决问题．
变式3．（2024秋 内蒙古期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段AB＝3cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离为（　　）
A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．不能确定
【点拨】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以求得A、C两点间的距离．
【解析】解：∵A、B、C三点在同一条直线上，线段AB＝3cm，BC＝1cm，
∴当点C在点B左侧时，A、C两点间的距离为：3﹣1＝2（cm），
当点C在点B右侧时，A、C两点间的距离为：3+1＝4（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
变式4．（2024秋 沈阳月考）如图，已知B，C在线段AD上．
（1）如图1，图中共有　6　条线段；
（2）若AB＞CD．
①比较线段的长短：AC　＞　BD（填“＞”“＝”或“＜”）
②如图2，若AD＝14，BC＝10，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度．
【点拨】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出MN的长度．
【解析】解：（1）分别以A、B、C为端点的线段有3条，2条，1条，
故共有线段的条数为：3+2+1＝6，
故答案为：6；
（2）①若AB＞CD，则AB+BC＞CD+BC，
即AC＞BD．
故答案为：＞；
②∵M，N分别为AB，CD中点，
∴，，
∵AD＝14，BC＝10，
∴AB+CD＝4，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
变式5．（2024秋 石家庄期中）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP：PB＝1：3，则这根绳子原来的长度为（　　）
A．16cm B．28cm C．16cm或32cm D．16cm或28cm
【点拨】根据“折合点”的不同分两种情况，即点A为“折合点”，点B为“折合点”，分别得出所剪出的三段线段，根据较长的一段为12cm列方程求出AB，进而得出绳子的长即可．
【解析】解：∵AP：PB＝1：3，AP+PB＝AB，
∴AP＝AB，PB＝AB，
①当“折合点”在点A时，绳子所剪成2AP，PB，PB三段，
而2AP＝AB，PB＝AB，2AP＜PB，
∴PB＝12＝AB，
解得AB＝16，此时绳子长为2AB＝32cm；
②当“折合点”在点B时，绳子所剪成AP，AP，2PB，
由①得，2PB＝12，
解得PB＝6，即AB＝6，
解得AB＝8，
此时绳子长为2AB＝16cm；
综上所述，绳子长为16cm或32cm，
故选：C．
【点睛】本题考查两点间的距离，掌握图形中各条线段之间的和差关系是正确解答的关键．
高频考点3 线段的和差
【解题技巧】
1.线段的和差
线段的和：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和
线段的差：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的差，那么这条线段叫做另两条线段的差
注：两条线段的和或差仍是一条线段
2.线段的中点：点C 把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.
若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC
注：两条线段的和或差仍是一条线段
例1．（2023秋 余干县期末）如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD
【点拨】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解析】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，不符合题意；
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确，不符合题意；
C、AC﹣BC＝AB，而BD﹣BC≠AB，故本选项错误，符合题意；
D、AC﹣AB＝BD﹣CD，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
变式1．（2023秋 东莞市校级期末）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【点拨】根据利用中点定义得，根据DC＝DB﹣CB，便可求解．
【解析】解：∵点D为AC的中点，
∴，
∵DB＝7cm，BC＝4cm，DC＝DB﹣CB，
∴AD＝DC＝7﹣4＝3（cm），
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和差及倍数关系是解题的关键．
变式2．（2023秋 郑州期末）小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（　　）
A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米
【点拨】分“小涵家在超市和书店之间”“书店在超市和小涵家之间”两种情况，分别计算即可．
【解析】解：分两种情况：当小涵家在超市和书店之间时，
超市和书店之间的距离为：800+300＝1100（米）；
当书店在超市和小涵家之间时，
超市和书店之间的距离为：800﹣300＝500（米）；
则超市和书店之间的距离为500米或1100米．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的和差关系，能根据题意分类讨论解答是解题的关键．
变式3．（2024秋 滦州市期中）如图，A，B，C，D四点在一条直线上，下列选项所填内容不正确的是（　　）
甲：AC＝AD﹣△
乙：AC＝☆+BC
丙：BC+□＝AD﹣AB
丁：BD﹣〇＝AC﹣AB
A．△表示CD B．☆表示AB C．□表示CD D．〇表示BC
【点拨】根据所给图形，发现各线段之间的关系即可解决问题．
【解析】解：由所给图形可知，
AC＝AD﹣CD，
所以△表示CD．
故A选项不符合题意．
AC＝AB+BC，
所以☆表示AB．
故B选项不符合题意．
AD﹣AB＝BD，BC+CD＝BD，
所以□表示CD．
故C选项不符合题意．
AC﹣AB＝BC，BD﹣CD＝BC，
所以〇表示CD．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段的和差，能根据所给图形发现线段之间的关系是解题的关键．
变式4．（2023秋 黄山期末）如图，C，D是线段AB上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段AD，BC的中点．下列结论：
①；
②若AE＝BF，则AC＝BD；
③AB﹣CD＝2EF；
④AC﹣BD＝EC﹣DF．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【点拨】设AE＝a，BF＝b，CD＝x，依题意得ED＝AE＝a，AD＝2a，CF＝BF＝b，CB＝2b，则DF＝CF﹣CD＝b﹣x，EC＝ED﹣CD＝a﹣x．
①根据AB＝AD+CB﹣CD＝2a+2b﹣x，EF＝ED+DF＝a+b﹣x，据此可对结论①进行判断；
②根据AC＝AE+EC＝a+a﹣x＝2a﹣x，BD＝BF+DF＝b+b﹣x＝2b﹣x，再根据AE＝BF得a＝b，据此可对结论②进行判断；
③根据AB＝2a+2b﹣x，CD＝x得AB﹣CD＝2a+2b﹣2x，再根据EF＝a+b﹣x得2EF＝2a+2b﹣2x，据此可对结论③进行判断；
④根据AC＝2a﹣x，BD＝2b﹣x得AC﹣BD＝2a﹣2b，再根据EC＝a﹣x，DF＝b﹣x得EC﹣DF＝a﹣b，据此可对结论④进行判断．
【解析】解：设AE＝a，BF＝b，CD＝x，
∵E，F分别是线段AD，BC的中点，
∴ED＝AE＝a，AD＝2a，CF＝BF＝b，CB＝2b，
∴DF＝CF﹣CD＝b﹣x，EC＝ED﹣CD＝a﹣x，
①∵AB＝AD+CB﹣CD＝2a+2b﹣x，
∴AB＝（2a+2b﹣x）＝a+b﹣x，
∴EF＝ED+DF＝a+b﹣x，
∴EF≠AB，
故结论①不正确；
②∵AC＝AE+EC＝a+a﹣x＝2a﹣x，BD＝BF+DF＝b+b﹣x＝2b﹣x，
∵AE＝BF，
∴a＝b，
∴AC＝BD
故结论②正确；
③∵AB＝2a+2b﹣x，CD＝x，
∴AB﹣CD＝2a+2b﹣2x，
∵EF＝a+b﹣x
∴2EF＝2a+2b﹣2x，
∴AB﹣CD＝2EF，
故结论③正确；
④∵AC＝2a﹣x，BD＝2b﹣x，
∴AC﹣BD＝2a﹣2b，
∵EC＝a﹣x，DF＝b﹣x，
∴EC﹣DF＝a﹣b，
∴AC﹣BD≠EC﹣DF，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是②③．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，准确识图，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．
变式5．（2023秋 民权县期末）如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）求线段DC的长．
【点拨】（1）由AC＝AB+BC＝3BC，AB＝20cm，即可求出BC的长；
（2）由，AB＝20cm，求出AD的长，进而求出DC的长．
【解析】解：（1）∵AC＝3BC，AC＝AB+BC，
∴AB＝2BC，
∵AB＝20cm，
∴BC＝10cm；
（2）∵，AB＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵BC＝10cm，
∴DC＝AD+AB+BC＝40cm．
【点睛】本题主要考查线段的和差倍分计算，熟练掌握已知线段和未知线段的数量关系是解题的关键．
变式6．（2023秋 应城市期末）如图，线段AD上有B，C两点，AD＝9，DB＝AD，AC＝CB．求BC的长．
【点拨】根据，可求出BD，AB，再由，即可求解．
【解析】解：∵AD＝9，，
∴，
∴AB＝AD﹣DB＝9﹣6＝3．
∵，，
∴，
解得：BC＝2．
【点睛】此题考查的是线段的和与差，正确进行计算是解题关键．
变式7．（2023秋 纳溪区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，PD＝2AC，求出AP的长；
根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，
则BD＝2 　PC　，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2 　（PC+AC）　，即PB＝2 　AP　，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3 　AP　，则AP＝ 　4cm　．
（2）当t＝2时，PD＝2AC，根据（1）可得AP的长是 　4cm　；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长．
【点拨】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（3）结合（1）、（2）进行解答；
【解析】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，
则BD＝2PC，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3AP，则AP＝4（cm）
（2）当t＝2时，PC＝1×2＝2（cm），BD＝2×2＝4（cm），
∴BD＝2PC
又PB＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），
即PB＝2AP，
∴AB＝AP+PB＝3AP，
又AB＝12cm，
∴．
（3）当运动时间为t时，PC＝t（cm），BD＝2t（cm），
∴BD＝2PC，
又PB＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），
即PB＝2AP，
∴AB＝AP+PB＝3AP，
又AB＝12cm，
∴．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键．
高频考点4 角与角的度量
【解题技巧】
1.角：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.角的表示：（1）用三个大写字母表示；（2）用一个数字或希腊字母表示；（3）用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个）
3.角的分类
α 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° α=180° α=360°
4.角的度量单位：度、分、秒 1°=60′ ，1′=°，1′=60″，1″=′
例1．（2024秋 杏花岭区校级月考）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠α三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据角的表示方法，结合图形进行判断即可．
【解析】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项不符合题意；
B、图中的∠AOB不能用∠O和∠α表示，故本选项不符合题意；
C、图中能用∠AOB，∠O，∠α表示同一个角，故本选项符合题意；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的概念，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
例2．（2023春 谯城区校级期末）计算：
（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．
（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．
【点拨】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）89°35'+20°25'
＝109°60′
＝110°；
（2）123°24'﹣60°36'
＝123.4°﹣60.6°
＝62.8°．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
变式1．（2024秋 肇州县校级期中）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【点拨】在5条射线中，选取任意一条射线，它和剩余的4条射线都可以组成锐角，所以由它组成的锐角有5﹣1＝4（个），每条射线都可以组成4个锐角，共组成5×4＝20（个）锐角，但是这20个角每个角都计算了2遍，所以再除以2，得到总的锐角的个数为10．
【解析】解：∵组成一个角需要2条射线，
∴选取任意一条射线，由它组成的锐角有5﹣1＝4（个），
则5条射线可以组成的锐角共＝＝10（个）．
故选：C．
【点睛】本题考查角的数量，掌握角的数量的计算方法是解题的关键．
变式2．（2023秋 东明县期末）上午6：50时，钟表的分针与时针夹角的度数是（　　）
A．105度 B．85度 C．95度 D．115度
【点拨】钟表的一周360°，分成12个大格，求出每个大格的度数是30°，根据时针与分针的格数解答即可．
【解析】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°是解决问题的关键．
变式3．（2023秋 南郑区期末）已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论正确的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【点拨】由25°12′＝25.2°，可得答案．
【解析】解：∵∠A＝25°12′＝25.2°，∠C＝25.2°，
∴∠A＝∠C，
∵∠B＝25.12°，25.12°＜25.2°，
∴∠A＝∠C＞∠B，
故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，小单位化大单位除以进率是解题关键．
变式4．（2023秋 罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
【点拨】①先计算乘法，再计算减法即可；
②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可．
【解析】解：①180°﹣18°15'×6
＝180°﹣109°30'
＝70°30'；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）
＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）
＝90°﹣75°18'30″
＝14°41'30″．
【点睛】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
高频考点5 角的大小比较
【解题技巧】
角的大小比较：
（1）度量法：如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等.如果两个角的度数不相等，度数较大的角较大
（2）叠合法：
例1．（2024春 冠县期中）对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空：
（1）∠AOB 　＜　∠AOC；
（2）∠DOB 　＞　∠BOC；
（3）∠BOC 　＜　∠AOD；
（4）∠AOD 　＞　∠BOD．
【点拨】根据各角之间的大小关系判断即可．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠AOB＜∠AOC．
故答案为：＜．
（2）∵∠DOB＝∠DOC+∠BOC，
∴∠DOB＞∠BOC．
故答案为：＞．
（3）∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
∴∠BOC＜∠AOD．
故答案为：＜．
（4）∵∠AOD＝∠BOD+∠AOB，
∴∠AOD＞∠BOD．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查角的大小比较，利用角之间的数量关系比较它们的大小是本题的关键．
变式1．（2024 裕华区校级二模）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　）
A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【点拨】由图知∠A＜45°，∠B＞45°，故可比较大小．
【解析】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，
∴∠A＜45°，∠B＞45°，
∴∠A＜∠B．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键．
变式2．（2023秋 鄄城县期末）若∠A＝20°19′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
【点拨】把0.25°换算成15′，再进行比较大小即可．
【解析】解：∵∠C＝20.25°＝20°+0.25×60′＝20°15′，∠A＝20°19′，∠B＝20°15′30″，
∴∠C＜∠B＜∠A．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，解题的关键是掌握度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
变式3．（2022秋 封丘县校级期末）比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OD是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC 　＜　∠BOD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【点拨】根据两角不重合的边的位置，判断得结论．
【解析】解：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了角的大小比较．掌握比较角大小的两种办法是解决本题的关键．
变式4．（2023秋 麻阳县期末）如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（　　）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定
【点拨】根据已知∠AOB＞∠COD两边都加上∠BOD，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOB＞∠COD，
∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，
即∠AOD＞∠BOC，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的大小比较和不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行推理是解此题的关键．
变式5．（2024秋 长安区期中）如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　）
A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD
C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定
【点拨】根据∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC及∠AOC＞∠BOD得∠AOB＞∠COD，由此可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC，
又∵∠AOC＞∠BOD，
∴∠AOB+∠BOC＞∠COD+∠BOC，
∴∠AOB＞∠COD，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的大小比较，准确识图，熟练掌握角的大小比较是解决问题的关键．
高频考点6 角的和差
【解题技巧】1.如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
2.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
例1．（2024秋 新华区校级期中）根据如图所示，下列式子错误的是（　　）
A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC
C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB
【点拨】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项．
【解析】解：A、∠AOB＝∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意；
B、∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，故本选项正确，不符合题意；
C、∠AOC＝∠AOC+∠COB，故∠AOC＝∠BOC错误，符合题意；
D、∠AOC＝∠BOA﹣∠COB，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查的是角的计算，关键是明确各角之间的关系．
变式1．（2023秋 隆回县期末）如图：∠AOC＝∠BOD＝105°，且∠AOD＝135°，则∠BOC的度数为（　　）
A．75° B．65° C．70° D．60°
【点拨】由图可知∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，由于∠AOC已知，所以只要求出∠AOB即可，由图可知∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，结合已知即可求出．
【解析】解：∵∠BOD＝105°，∠AOD＝135°，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝135°﹣105°＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝105°﹣30°＝75°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查的是角的和差的问题，解决此题的关键是弄清角之间的关系．
变式2（2023秋 新城区校级期末）如图，已知∠BOD＝120°，且∠AOB+∠COD＝150°，若∠AOD＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．70° C．80° D．85°
【点拨】根据角的关系得出∠AOB+∠COD＝∠DOB+∠COA，进而解答即可．
【解析】解：∵∠BOD＝120°，∠AOB+∠COD＝150°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOB+∠COA，
即120°+∠AOC＝150°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝120°﹣40°＝80°，
故选：C．
【点睛】此题考查角的计算，关键是根据角的关系解答．
变式3．（2023秋 盖州市期末）如图所示，OB是∠AOC平分线，∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（　　）
A．70° B．83° C．68° D．85°
【点拨】先根据∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，求得∠BOC的度数，再根据OB是∠AOC平分线，求得∠AOC的度数，最后根据∠AOD＝∠AOC+∠COD进行计算．
【解析】解：∵∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，
∴∠BOC＝2∠COD＝2×17°＝34°，
∵OB是∠AOC平分线，
∴∠AOC＝2∠BOC＝2×34°＝68°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝68°+17°＝85°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
变式4．（2023秋 右玉县期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝25°，∠2的大小是（　　）
A．25° B．35° C．55° D．65°
【点拨】由∠1+∠EAC＝60°，∠1＝25°，可求出∠EAC＝35°，再由∠EAC+∠2＝90°，即可求出∠2的大小．
【解析】解：∵∠1+∠EAC＝60°，∠1＝25°，
∴∠EAC＝35°，
∵∠EAC+∠2＝90°，
∴∠2＝55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的计算，理解∠1、∠EAC、∠2之间的关系是解决问题的关键．
变式5．（2023秋 太湖县期末）已知∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，则∠AOC的度数为（　　）
A．50° B．110° C．50°或110° D．无法确定
【点拨】分OB在∠AOC内部或外部两种情况讨论画出图形计算即可得到答案；
【解析】解：①当OB在∠AOC内部时，如图所示，
∵∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+30°＝110°，
②当OB在∠AOC外部时，如图所示，
∵∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查角度运算，解题的关键是注意分类讨论．
变式6．（2023秋 舟山期末）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是72°、26°、50°、90°，其中有一名同学计算正确，这名同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】根据α、β都是钝角，求出的取值范围，再看哪个同学所求的结果在范围内即可．
【解析】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°
∴180°＜α+β＜360°，
∴30°＜＜60°，
在甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果中只有丙同学的结果在范围内，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的计算，钝角的定义，熟练掌握钝角的定义是解题的关键．
变式7．（2023秋 渌口区期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝80°，∠COE＝50°，OD平分∠AOC；
（1）求∠DOE的度数；
（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
【点拨】（1）由OD平分∠AOC，易求∠DOC，进而可求∠DOE；
（2）OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，∠AOC＝80，易求∠BOC，而∠COE＝50°，有易求∠BOE，于是∠COE＝∠BOE，从而可知OE是∠BOC的平分线．
【解析】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∴∠DOC＝40°，
∴∠DOE＝∠DCO+∠COE＝40°+50°＝90°；
（2）OE是∠BOC的平分线，
理由：∵∠AOB是平角，∠AOC＝80°，
∴∠BOC＝100°，
∵∠COE＝50°，
∴∠BOE＝50°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE是∠BOC的平分线．
【点睛】本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．
变式8．（2023秋 娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解析】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE＝∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
变式9．（2023秋 玉州区期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°．
【计算与观察】
（1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数．
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数．
【点拨】（1）先由∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°得∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝55°，进而根据∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE可得出∠DCE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α，∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°，由此可得出∠ACB与∠DCE的特殊关系；
（3）由∠DCE：∠ACB＝2：7，设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β，再由（2）得∠ACB+∠DCE＝180°，进而得β＝20°，则∠DCE＝2β＝40°，然后由三角形的外角定理可得∠CFE的度数．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝145°﹣90°＝55°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°；
（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
设∠ACE＝α，
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°，
∴∠ACB+∠DCE＝α+90°+90°﹣α＝180°；
（3）∵∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β，
由（2）可知：∠ACB+∠DCE＝180°，
∴7β+2β＝180°，
解得：β＝20°，
∴∠DCE＝2β＝40°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠CFB＝∠E+∠DCE＝45°+40°＝85°．
【点睛】此题主要考查了角的计算，三角形的外角定理等，准确识图，熟练掌握角的计算，三角形的外角定理是解决问题的关键．
高频考点7 余角和补角
【解题技巧】
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
例1．（2023秋 费县期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【点拨】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【解析】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，
解得α＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．
变式1．（2024春 双流区期末）若一个角的补角是110°，则这个角的度数为 　70°　．
【点拨】根据补角的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：∵一个角的补角是110°，
∴这个角的度数＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
变式2．（2023秋 绵阳期末）已知角（30°+α）的余角为45°20′，则α＝ 　14°40′　.（用xx°xx′作答）
【点拨】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．据此列式计算即可．
【解析】解：∵角（30°+α）的余角为45°20′，
∴（30°+α）+45°20′＝90°，
∴α＝14°40′，
故答案为：14°40′．
【点睛】本题考查的是余角和补角，度分秒的换算，关键是角度的和差计算．
变式3．（2024秋 合肥期末）如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，∠2＝55°，那么∠4＝　55　度．
【点拨】直接利用互为余角的性质得出∠2＝∠4，进而得出答案．
【解析】解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，
∴∠2＝∠4＝55°．
故答案为：55．
【点睛】此题主要考查了互为余角的性质，正确得出∠2＝∠4是解题关键．
变式4．（2023秋 息县期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠DOC＝20°，则∠AOB＝（　　）
A．160° B．150° C．140° D．165°
【点拨】求出∠AOD的度数，然后根据∠AOB＝∠AOD+∠DOB，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠COD＝20°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠DOB＝70°+90°＝160°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出∠AOD的度数．
变式4．（2023秋 老河口市期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数．
【点拨】根据余角、补角的定义即可解答．
【解析】解：设这个锐角等于x°．
根据题意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30．
解得x＝60．
答：这个锐角的度数是60°．
【点睛】本题考查余角、补角，掌握余角、补角的定义是解题的关键．
变式5．（2024秋 秦皇岛校级期末）如图，∠AOD＝∠BOC＝90°，∠COD＝39°．求∠AOC和∠AOB的度数（小于平角的）．
【点拨】（1）根据∠AOC＝∠AOD+∠COD，代入数据计算即可；
（2）根据∠AOD、∠COD、∠BOC、∠AOB四个角的度数等于圆周角的度数360°解答．
【解析】解：（1）∵∠AOD＝90°，∠COD＝39°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝90°+39°＝129°；
（2）∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠AOD﹣∠COD﹣∠BOC，
＝360°﹣90°﹣39°﹣90°，
＝141°．
故答案为：129°、141°．
【点睛】本题考查了根据角的和差关系和圆周角等于360°求解，是基础题，关键在于读懂图象．
变式6．（2024秋 永年区期中）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．（∠DOE＝90°）
（1）将直角三角尺DOE的一边OD放在射线OB上，如图1，则∠COE的度数为 　20°　，其补角的度数为 　160°　．
（2）将直角三角尺DOE绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角尺DOE绕点O转动如果OD始终在∠BOC的内部，请直接写出∠BOD和∠COE的数量关系．
【点拨】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠COD，代入求出即可；
（2）由角平分线的定义可得∠COE＝∠BOC＝70°，再由∠COD＝∠DOE﹣∠COE进行计算即可；
（3）由图形可得∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，相减即可得出答案．
【解析】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠DOE＝90°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠COE的补角为180°﹣20°＝160°；
故答案为：20°，160°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由如下：
∵∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，
∴∠COE+∠COD﹣（∠BOD+∠COD）＝90°﹣70°，
∴∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD＝20°，
∴∠COE﹣∠BOD＝20°．
【点睛】本题考查了余角和补角，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
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