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2024-2025学年秋季教学质量阶段性诊断
九年级数学参考答案与评分标准
选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A A B B D C D
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.（-2,3） 12. 13. 70°
14. 15. ①②④
三、解答题　(共3小题，第16题8分,第17题6分，第18题7分,共21分)
16.解：（1），
，
，　　　　　　　
，
，
所以，；　　　　　　　　　　4分
（2），
，
，
或，
所以，．　　　　　　　　　　　　　8分
17.解：（1）如图，即为所求．．4分

（2）如图，即为所求．　　　　　　　　6分
18.解：（1）解法一：将代入中得：
解得：，即的值为5．　　　　　　　　　3分
解法二：设另一根是，则由一元二次方程的根与系数的关系可得：
，
解得：，
故m的值是5．　　　　　　　　　　　　　　　　3分
（2）证明：，
，，，
∴，
∴该方程总有两个实数根；　　　　　　　　　　　7分
四、解答题(共3小题，每小题9分，共27分)
19.解（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；　　　4分
（2）解法一：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．　　　　　9分
解法二：设每件吉祥物降价y元，则每件的销售利润为（58-35-y）元，月销售量为（400+20y）件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
所以售价为：58-8=50（元）
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．　　　　　　　　9分
20.解：（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
（2）解：，，，
，，
，
，
，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分
；
21.解：
（1）解：∵，
故答案为：．　　　　　　　　　　　　　　　　　2分
（2）解：∵，
其中，，
的最小值是2；
故答案为：2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分
（3）解：
，
的最大值是17．　　　　　　　　　　　9分　
五、解答题 （共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22.解：
证明：（）和△ADE都是等边三角形，
，，，．
．．
．
在和中，
，
；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分
（）和△ADE都是等边三角形，
，，，，
，，
．
在和中，
，
．
．
，
；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
（）或．理由如下：
如图，当在线段上时，
∵和△ADE都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴．
故答案为：或．　　　　　　　　　13分
23.　解：
（1）将，两点坐标代入得：
，
解得：；　　　　　　　　　　　　3分
（2）存在．理由如下：
由（1）得到抛物线的解析式为，
当时，
∴点，
设点，，
连接，作轴交于M，
设直线的解析式为，
由，可得
,
解得，
∴直线的解析式为，则，
，
∵，
当时，
∴的面积最大值为；
当时，，
∴点P坐标为；　　　　　　　　　　　　　　　8分
（3）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴当最小时，面积取得最小值.
∵点E在线段上，
∴当时，最小.
∵是等腰直角三角形，
∴此时点E是中点，
∵，，
∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分2024-2025学年秋季教学质量阶段性诊断
九年级数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，顺利进入预定轨道，发射取得圆满成功，浩瀚太空首次迎来中国“90后”访客．下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 3，-4，-2 B. 3，2，-4 C. 3，-2，-4 D. 2，-2，0
3.如图，将 AOB绕点逆时针方向旋转到 COD的位置，下列结论不正确的是（ ）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
4.将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位，则变换后的新抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.如图，A、B、C、D是上的四个点，是的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 40° B.50° C. 60° D. 80°
7.正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
8. 若点，，在抛物线上，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　 　D.
9.参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　）
A. B. C. D.
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
… －5 －4 －3 －2 －1 0 …
… 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_______．
12.圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
13.将绕直角顶点C顺时针旋转，得△A1B1C，连接AA1， 若∠AA1B1=25°，则的大小为__________．
14.汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：)的
函数解析式是：，汽车刹车后前进了______米才能停下来．
如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两根为，．其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题(共3小题，第16题8分,第17题6分，第18题7分,共21分)
16.解方程：（1）． （2）．
17.如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为．
　(1)画出 ABC关于原点成中心对称的，并写出点的坐标．
　(2)画出将绕点按顺时针旋转90°所得的．
已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个实数根为3，求的值；
（2）求证：该方程总有两个实数根．
四、解答题(共3小题，每小题9分，共27分)
19.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
20.如图，在中，，点D，E，F分别是边，，上的点，以为直径的半圆O经过点E，F，且平分．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，，求的长．
　
21.把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．
所以，所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
【知识技能】（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；
【数学理解】（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【拓展探索】（3）若代数式，试求N的最大值．
五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22.综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图，已知 ABC和 ADE都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图，已知 ABC和 ADE都是等边三角形，将 ADE绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；
【类比探究】
（3）如图，已知 ABC和 ADE都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．
【问题背景】
如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．
【构建联系】
（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由．
【深入探究】
（3）如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标．

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