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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的性质与判定
1．（2024北京·期末）右图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024北京·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024北京·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ）
A． B．平分
C．平分 D．
4．（2024北京·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
5．（2024北京·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　)
A．60° B．75° C．90° D．120°
6．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024北京·期末）如图，，要使，则需再添加一个条件是 （写出一个即可）．

8．（2024北京·期末）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ．
9．（2024北京·期末）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．

10．（2024北京·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
(1)过点画交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为点；
(3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________．
11．（2024北京·期末）如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：

(1)过点B作直线平行直线；
(2)用量角器作的角平分线，交直线于点F；
(3)作射线，交直线于点G；
(4)若，则______（用含α的式子表示）；
(5)请用等式写出的数量关系______．
12．（2024北京·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
13．（2024北京·期末）如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：．
14．（2024北京·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．（2024北京·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．
16．（2024北京·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点A作的高线，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)求的度数．
17．（2024北京·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．

(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．
(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
考点二 角的平分线的性质
1．（2024北京·期末）如图，在中，，平分交于点，如果，那么点到边的距离为 .
2．（2024北京·期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点E，当，的面积为3时，的长为 ．
3．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ．
4．（2024北京·期末）如图，点D，E，F分别是线段上的点，．
(1)猜想与的数量关系，并证明．
(2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N．
①补全备用图；
②若，求的大小．
5．（2024北京北京二中·期末）如图，直线，交于点，
(1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方；
(2)画的平分线；
(3)当时，求．
6．（2024北京·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
7．（2024北京·期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
8．（2024北京·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
方法一证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二证明：如图，延长至点E，使得，连接．
9．（2024北京·期末）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．
方法1：已知：．求作：射线，使它平分．作法：如图，（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；（2）连接；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；（4）作射线．所以射线即为的平分线．
方法2：已知：．求作：射线，使它平分．作法：如图，（1）在射线上分别截取，使；（2）分别过点作的垂线，两垂线交于点；（3）作射线．所以射线即为的平分线．
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
(1)请证明方法1中的是的平分线；
(2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中是的平分线的依据．
参考答案
考点一 全等三角形的判定与性质
1．【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可．
【详解】解：如下图，
由三角形内角和定理得，
由全等三角形的性质可得．
故此题答案为：D．
2．【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意；
已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
故此题答案为：．
3．【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意；
B、平分，可根据判定，故B不符合题意
C、平分，不能判定，故C不符合题意；
D、，可根据判定，故D不符合题意．
故此题答案为：C．
4．【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故此题答案为：B．
5．【答案】C
【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】如图，
∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ACB+∠DEF=90°．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
6．【答案】D
【分析】根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
故此题答案为．
7．【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了添加条件证明三角形全等，添加，根据题意，由得到，因为可由证明．
【详解】解：添加；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
8．【答案】140
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解．
【详解】.解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
故此题答案为：140．
9．【答案】
【分析】证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为5，
∴
10．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，两点之间垂线段最短
【分析】（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可；
（3）根据垂线段最短即可判断．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），依据：两点之间垂线段最短
11．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
(5)
【分析】（1）利用直尺平移画平行线即可；
（2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线；
（3）利用直尺画出射线即可；
（4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论；
（5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，直线l即为所求：
（2）解：如图，射线和点F即为所求：
（3）解：如图，射线和点G即为所求：

（4）解：∵直线，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴
（5）解：∵，
∴，
∴
12．【答案】C；D；证明见详解．
【分析】本题解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
【详解】解：C；D；理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴点与点的距离为该花瓶内底的宽．
13．【答案】见解析
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出是解题关键．由平行线的性质可证，得出，即可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
，
．
14．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
∴．
∴，
即．
15．【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点，根据“”可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：如图，过点A作于点，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答此题的关键．
（1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明．
（2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
由（1）得：，，
，
，
在和中，
，
，
．
17．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)画图见解析，
(3)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
；
②，
证明：如图，作交的延长线于，
，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：画出如图所示：
，
关系：，
作交的延长线于，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？
考点二 角的平分线的性质
1．【答案】4
【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
【详解】解：如图，过点D作交于点E，
，
，
，平分，
，
点到边的距离为4，
故此题答案为：4．
2．【答案】1
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作于F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
∵，的面积为3，
∴，
∴，
∵是边上的高线，的平分线交于点E，
∴，
故此题答案为：1．
3．【答案】20
【分析】此题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，
∵平分，，，
∴，
∴四边形的面积
．
故此题答案为：20．
4．【答案】(1)，证明见解析；
(2)①见解析；②
【详解】（1），证明如下：
∵∴，∵，∴，∴.
（2）①补全备用图如下：
②∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵的平分线交于点M，∴，∴.
5．【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】（1）利用三角尺过点画即可；
（2）利用量角器画即可；
（3）由对顶角的性质可得，证明，可得，结合平分，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
．
（2）解：如图，即为所求；
．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
6．【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；
（2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于点F，平分，
∴；
（2）解：∵于点F，
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
7．【答案】(1)补图见解析；
(2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（）根据题意补全图形，即可；
（）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证
【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
8．【答案】证明见详解．
【分析】方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论；
方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论．
【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F，
∵平分，，，∴，
又∵，∴，∴，
∵点D是中点，∴，
∴，∴，
∴，即，
又∵点D是中点，∴；
方法二：如图，延长至点E，使得，连接，
∵点D是中点，∴，
又∵，，∴，
∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，
又∵点D是中点，∴．
9．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用“”证明，得出，即可得证；
（2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
平分，
（2）解：①如图，射线即为所作，
②由作图可得：，，
在和中，
，
，
，
平分
故依据是：判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等．
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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024北京·期末）右图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可．
【详解】解：如下图，
由三角形内角和定理得，
由全等三角形的性质可得．
故此题答案为：D．
2．（2024北京·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意；
已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意；
故此题答案为：．
3．（2024北京·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（ ）
A． B．平分
C．平分 D．
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意；
B、平分，可根据判定，故B不符合题意
C、平分，不能判定，故C不符合题意；
D、，可根据判定，故D不符合题意．
故此题答案为：C．
4．（2024北京·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短
【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故此题答案为：B．
5．（2024北京·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　)
A．60° B．75° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】如图，
∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ACB+∠DEF=90°．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
6．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
故此题答案为．
7．（2024北京·期末）如图，，要使，则需再添加一个条件是 （写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了添加条件证明三角形全等，添加，根据题意，由得到，因为可由证明．
【详解】解：添加；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
8．（2024北京·期末）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ．
【答案】140
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解．
【详解】.解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
故此题答案为：140．
9．（2024北京·期末）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．

【答案】
【分析】证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为5，
∴
10．（2024北京·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
(1)过点画交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为点；
(3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，两点之间垂线段最短
【分析】（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可；
（3）根据垂线段最短即可判断．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），依据：两点之间垂线段最短
11．（2024北京·期末）如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：

(1)过点B作直线平行直线；
(2)用量角器作的角平分线，交直线于点F；
(3)作射线，交直线于点G；
(4)若，则______（用含α的式子表示）；
(5)请用等式写出的数量关系______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
(5)
【分析】（1）利用直尺平移画平行线即可；
（2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线；
（3）利用直尺画出射线即可；
（4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论；
（5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，直线l即为所求：
（2）解：如图，射线和点F即为所求：
（3）解：如图，射线和点G即为所求：

（4）解：∵直线，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴
（5）解：∵，
∴，
∴
12．（2024北京·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
【答案】C；D；证明见详解．
【分析】本题解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
【详解】解：C；D；理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴点与点的距离为该花瓶内底的宽．
13．（2024北京·期末）如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出是解题关键．由平行线的性质可证，得出，即可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
，
．
14．（2024北京·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
∴．
∴，
即．
15．（2024北京·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点，根据“”可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：如图，过点A作于点，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
16．（2024北京·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点A作的高线，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答此题的关键．
（1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明．
（2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
由（1）得：，，
，
，
在和中，
，
，
．
17．（2024北京·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．

(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．
(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)画图见解析，
(3)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
；
②，
证明：如图，作交的延长线于，
，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：画出如图所示：
，
关系：，
作交的延长线于，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？
考点二 角的平分线的性质
1．（2024北京·期末）如图，在中，，平分交于点，如果，那么点到边的距离为 .
【答案】4
【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
【详解】解：如图，过点D作交于点E，
，
，
，平分，
，
点到边的距离为4，
故此题答案为：4．
2．（2024北京·期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点E，当，的面积为3时，的长为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作于F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
∵，的面积为3，
∴，
∴，
∵是边上的高线，的平分线交于点E，
∴，
故此题答案为：1．
3．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ．
【答案】20
【分析】此题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，
∵平分，，，
∴，
∴四边形的面积
．
故此题答案为：20．
4．（2024北京·期末）如图，点D，E，F分别是线段上的点，．
(1)猜想与的数量关系，并证明．
(2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N．
①补全备用图；
②若，求的大小．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)①见解析；②
【详解】（1），证明如下：
∵∴，∵，∴，∴.
（2）①补全备用图如下：
②∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵的平分线交于点M，∴，∴.
5．（2024北京北京二中·期末）如图，直线，交于点，
(1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方；
(2)画的平分线；
(3)当时，求．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】（1）利用三角尺过点画即可；
（2）利用量角器画即可；
（3）由对顶角的性质可得，证明，可得，结合平分，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
．
（2）解：如图，即为所求；
．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
6．（2024北京·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；
（2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于点F，平分，
∴；
（2）解：∵于点F，
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
7．（2024北京·期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
【答案】(1)补图见解析；
(2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（）根据题意补全图形，即可；
（）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证
【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
8．（2024北京·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
方法一证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二证明：如图，延长至点E，使得，连接．
【答案】证明见详解．
【分析】方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论；
方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论．
【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F，
∵平分，，，∴，
又∵，∴，∴，
∵点D是中点，∴，
∴，∴，
∴，即，
又∵点D是中点，∴；
方法二：如图，延长至点E，使得，连接，
∵点D是中点，∴，
又∵，，∴，
∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，
又∵点D是中点，∴．
9．（2024北京·期末）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．
方法1：已知：．求作：射线，使它平分．作法：如图，（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；（2）连接；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；（4）作射线．所以射线即为的平分线．
方法2：已知：．求作：射线，使它平分．作法：如图，（1）在射线上分别截取，使；（2）分别过点作的垂线，两垂线交于点；（3）作射线．所以射线即为的平分线．
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
(1)请证明方法1中的是的平分线；
(2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中是的平分线的依据．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用“”证明，得出，即可得证；
（2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
平分，
（2）解：①如图，射线即为所作，
②由作图可得：，，
在和中，
，
，
，
平分
故依据是：判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等．
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