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动角问题期末专项训练--2024-2025学年人教版七年级上册数学
1．如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转．
(1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至．
①试求出的度数；
②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，；
(2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比．
2．已知，是过点的一条射线，分别平分．
(1)如图①，如果射线在的内部，，则 ；
(2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ；
(3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数．
3．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)当与重合时，求的度数．
(3)当时，求的值．
(4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值．
4．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
5．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为秒．

(1)当时，求的度数；
(2)在运动过程中，当第二次达到时，求t的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线所组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由．
6．【实践操作】三角尺中的数学

(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．
①探究与的大小有何数量关系，并说明理由；
②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．
7．已知是内部的一条射线，M，N分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
(1)如图1，若，当，逆时针旋转到、处，
①若，旋转时间t为2时，则____________；
②若平分，平分，求的值；
(2)如图2，若，，分别在，内部旋转时，请说明；
(3)若，，在旋转的过程中，当，求t的值．
8．点O在直线上，过点O任意作射线将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合．
(1)如图1，当平分时，请问：平分吗？请说明理由．
(2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当平分时，如图2，猜想与有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由．
(3)三角尺在旋转过程中，当在内部，且时，如图3，猜想与有何数量关系，并求出它们的等量关系式．
(4)三角尺在旋转过程中，当在射线上时，作平分，平分求的度数．
9．已知是的平分线．
(1)操作发现：如图①，，
①若，则　　 ．
②若，则　　．
③若，则　　．（用含的代数式表示）
(2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知，，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，．
10．已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．
(1)若平分，求的度数；
(2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
(3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值．
11．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称射线是的半角线，但射线不是的半角线．
(1)如图1，已知，垂足为O，，在射线，中，射线______是的半角线；
(2)如图2，同一平面内，已知，射线是的半角线，求；
(3)如图3，，射线同时从开始，分别以每秒5°和每秒3°的速度按逆时针方向绕点O旋转，当射线旋转一周时同时停止运动，设旋转的时间为t（时间单位：s）．问t为何值时，射线是的半角线．
12．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，求t的值；
(2)当时，画出相应的图形，并求t的值；
(3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数．
13．已知在的内部，，．（本题中研究的角的度数均小于）
(1)如图1，求的大小；
(2)如图2，平分，平分，求的大小．
(3)如图3，若，射线同时绕点O旋转，其中射线先以每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转；射线始终以每秒的速度绕点O顺时针旋转．设射线运动的时间是t秒，当时，直接写出t的值．
14．如图，和的度数都是．
(1)若，求的度数；
(2)若射线，恰好分别是和的平分线，求的度数；
(3)当射线在内部，时，我们称k为射线在内的比值，记作．在（2）的条件下，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点O顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒．若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当t为何值时，？

15．如图，已知，射线从开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．
(1)射线旋转的时间为 秒；
(2)当t＝ 秒时，O，C，D三点共线；
(3)试探究：射线和在旋转的过程中，三条射线、与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线时，t的值为 ；
(4)时，t的值为 ．
16．已知是的角平分线．

(1)如图1，若，则______°；
(2)如图2，若是的角平分线，求的值；
(3)在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若同时开始旋转秒后得到，直接写出所有满足条件的的值．
17．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．

(1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数；
(2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______；
(3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）．
18．定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”．
(1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数．
(2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”．
19．如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动．
(1)当时，___________°；
(2)当射线与旋转到同一条直线上时，求的值；
(3)当___________时，．
20．综合与探究
如图①，直角三角尺ABC和直角三角尺ADE的顶点A重合，且顶点E，A，C在一条直线上，，，，保持三角尺ABC不动，将三角尺ADE绕顶点A顺时针旋转（旋转至点E落在射线AC上时停止）．
(1)当三角尺ADE旋转至如图②所示的位置时，若，求的度数．
(2)当三角尺ADE旋转至AD在内时（如图③），与之间有何数量关系？请说明理由．
(3)在旋转的过程中，当与互余时，直接写出的度数．
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参考答案：
1．(1)①；
(2)．
2．(1)40
(2)
(3)或
3．(1)；
(2)；
(3)的值为19或29；
(4)的值为15或20或30．
4．(1)100
(2)，
(3)
5．(1)
(2)
(3)存在，或．
6．(1)①；；②猜想，
(2)①，②3或21
7．(1)①；②
(3)或5
8．(1)平分
(2)
(3)
(4)
9．(1)①；②；③
(2)成立， (3)秒
10．(1)
(2)正确，
(3)或
11．(1)
(2)或30°
(3)t为或或时，射线是的半角线
12．(1)
(2)或
(3)
13．(1)
(2)
(3)或
14．(1)；
(2)；
(3)3或7
15．(1)25
(2)或
(3)或或
(4)或
16．(1)
(2)
(3)的值为秒或秒．
17．(1)
(2)
(3)或
18．(1)或或；
(2)当t为或12或20时，射线是的“妙分线”
19．(1)120
(2)6或12或18
(3)3或9或15
20．(1)
(2)，
(3)的度数为或
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