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（通用）高三上学期期末数学真题试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1．（5分）为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（　　）
A．237 B．297 C．277 D．267
2．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知数列的前项和，满足条件，则的值是（　　）
A．4044 B．4045 C．4046 D．4047
4．（5分） 函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知在中，，点满足，且，则面积的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（5分）已知 ， 是 的导函数，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（5分），两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是 （　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知在(0，π)上存在唯一实数x0使 又任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9．（6分）设i为虚数单位，复数 ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 为纯虚数，则实数a的值为2
B．若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数 是 （ 为 的共轭复数）的充要条件
D．若 ，则实数a的值为2
10．（6分）已知正四面体的棱长为，为的重心，为线段上一点，则（　　）
A．
B．正四面体的体积为
C．正四面体的外接球的体积为
D．点到各个面的距离之和为定值，且定值为
11．（6分）在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B．若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C．若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D．若，为曲线上一点，则的取值范围是
三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12．（5分）设，则“”是“”的　 　条件．
13．（5分）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为　 　．
14．（5分）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15．（13分） 为了适应新高考，某校决定实行新的测评方案．新的测评方案起草后，为了解教职工对新的测评方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，学校所有教职工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球，约定若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中打“√”，否则打“×”；
方式Ⅱ：若对新的测评方案满意，则在问卷中打“√”，否则打“×”．
（1）（6分）若该校高三年级有25名教职工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望．
（2）（7分）若该校教职工对新的测评方案的满意度的估计值超过80%，则该校通过新的测评方案，否则不通过．当所有教职工完成问卷调查后，统计得到该校的所有调查问卷中，打“√”与打“×”的比例为2∶1，用频率估计概率，用所学概率知识判断该校是否通过新的测评方案．
注：满意度＝学校所有对新的测评方案满意的教职工人数÷学校所有教职工人数×100%．
16．（16分）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.
（1）（5分）求证：平面；
（2）（5分）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）（6分）求直线到平面的距离.
17．（16分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设.
（1）（5分）若，求边的长；
（2）（5分）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；
（3）（6分）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）.
18．（12分）已知抛物线的准线与轴相交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，其中点在第一象限.
（1）（6分）求直线的方程；
（2）（6分）过点作直线交抛物线于、两点，交直线于点，过点作的平行直线分别交线段、于点、.证明：存在实数，使得.
19．（20分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
（1）（6分）若，计算；
（2）（7分）证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
（3）（7分）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
2．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
3．【答案】D
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；三角形中的几何计算
6．【答案】B
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
7．【答案】C
【知识点】线性回归方程；轨迹方程
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
9．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模
10．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
11．【答案】B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
12．【答案】充分不必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
14．【答案】4
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
15．【答案】（1）解：每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率，
每名教职工两次摸到的球的颜色不同的概率．
由题意可知该校高三年级25名教职工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，
则X的数学期望．
（2）解：记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中打‘√’”．
由（1）可知，则．
由全概率公式可知．
因为，
所以，解得．
因为，所以该校能通过新的测评方案．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；全概率公式；条件概率
16．【答案】（1）证明：由题意平面，平面，故平面平面，
又侧面为矩形，故，
而平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以 ，而平面，平面，
故平面.
（2）解：因为平面，平面，故 ，
而平面，
故以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
则，
则，
设平面的法向量为 ，则，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
（3）解：因为侧面为矩形，所以，
而平面，平面，故平面，
则直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，平面的法向量为，
故点到平面的距离为 ，
即直线到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
17．【答案】（1）解：由题意知，，在中，由余弦定理可得：
，
解得.
（2）解：由题意可知四边形面积为
，
当时，四边形面积最大.
（3）解：在三角形中，由余弦定理可得，，所以，
在中，，
，
所以当时，取最大值（百米）．

【知识点】解三角形；辅助角公式
18．【答案】（1）解：由题意，其准线为，点坐标为
不妨设直线的方程为，设直线的方程为，
联立
得，由题知，得
∴，同理，
故直线的方程为
（2）解：由题可知，若存在实数，则，∵
∴
又∵、、在同一条直线上∴，∴
故只需证明为、的中点即可
设直线为，设点，点
联立，得，，
令代入直线中得，点
，同理
：①
：②
：③
联立①②得
联立①③得.
要证明为，的中点，即证明，
即证明
即证明
即证明
等式右边，，∴
故得证
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
19．【答案】（1）解：，
由题意可知；
（2）解：①若，则为恒等置换；
②若存在两个不同的，使得，不妨设，则.
所以，即为恒等置换；
③若存在唯一的，使得，不妨设，则或.
当时，由（1）可知为恒等置换；
同理可知，当时，也是恒等置换；
④若对任意的，
则情形一：或或；
情形二：或或
或或或；
对于情形一：为恒等置换；
对于情形二：为恒等置换；
综上，对任意，存在，使得为恒等置换；
（3）解：不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对作一次如下置换：，即
其中.
注意到各编号在置换中的如下变化：
，，
，
，
，
，
，
，
，
所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，
注意到的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，
故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.
【知识点】二阶行列式的定义；矩阵特征值的定义；特征向量的定义
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答题卡
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
) (
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的
[
条码粘贴处
]
的方框内
3
、
选择题必须使用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5
毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
] [
×
]
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
12.答：
13.答：
14.答：
15.1.答：
15.2.答：
16.1.答：
16.2.答：
16.3.答：
17.1.答：
17.2.答：
17.3.答：
18.1.答：
18.2.答：
19.1.答：
19.2.答：
19.3.答：
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