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第3章 一元一次不等式（组）
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和基本性质
【点悟】运用不等式的基本性质进行判断时，要注意分析所要判断正误的不等式，是在已知不等式的基础上进行的什么类型的变换，进而确定是以哪一条基本性质为依据进行判断.需特别注意的是，应用不等式基本性质3时，不等号的方向要改变.
例1 A
变式跟进
1．D
题型二 一元一次不等式的解法
例2 解：去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
将不等式的解集在数轴上表示如答图.
答图
【点悟】解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似，不同的是在将未知数的系数化为1时，如果乘或除以的数是负数，不等号要改变方向.在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界点和方向.①边界点：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；②方向：大于向右，小于向左.
变式跟进
2．（1） 解：去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
（2） 解：去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
3．解：去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
将不等式的解集在数轴上表示如答图.
变式跟进3答图
其所有负整数解为，，.
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解：解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以不等式组的解集为.
所以不等式组的所有整数解为，，0，1.
【点悟】确定不等式组的解集，可以将各个不等式的解集在数轴上表示出来，借助数轴确定各不等式解集的公共部分.这种方法直观明了，不易出错.求不等式组的特殊解（整数解、负整数解、非负整数解等），先要求出不等式组的解集，再在解集中寻求满足条件的解.
变式跟进
4．B
5．任务一： 5； 不等式的基本性质3应用错误；
任务二： 解：由②，得，
合并同类项，得，
解得.
所以该不等式组的解集为.
6．解：解不等式，得.
解不等式，得.
将解集在数轴上表示如答图.
变式跟进6答图
所以不等式组的解集为.
所以不等式组的所有非正整数解为，，0.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以不等式组的解集为.
因为不等式组只有4个整数解，
所以这4个整数解为20，19，18，17，
所以，
所以.
【点悟】（1）已知不等式组的解集求不等式（组）中字母系数（或有关字母代数式）的值，一般先求出已知不等式（组）的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系.
（2）常用以下结论：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无解了.
（3）利用数轴确定解集的范围更直观.
变式跟进
7．B
[解析]解不等式①，得.因为此不等式组组的解集是，所以，解得.故选.
8．B
[解析]不等式组整理，得由不等式组有解，得，解得.故选.
题型五 一元一次不等式的应用
【点悟】利用不等式解决实际问题时，要注意找到“小于”“大于”“不足”“不超过”“不低于”“至少”“以上”等关键词语.解题时，要善于从这些词语中寻找不等关系，建立不等式，然后求出这个不等式的解集，再结合实际情况确定符合题意的解.
例5 （1） 解：设甲种树苗的价格为元/棵，乙种树苗的价格为元/棵.
由题意，得解得
答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵.
（2） 设种植乙种树苗棵，则种植甲种树苗棵.由题意，得
，
解得.
所以的最小值为100.
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵.
变式跟进
9．（1） 解：设A种水果购进，B种水果购进.
由题意，得
解得
答：A种水果购进，B种水果购进.
（2） 设A种水果的销售单价为元/.
由题意，得，
解得.
所以的最小值为12.5.
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B
2．C
3．A
4．B
5．C
[解析]解，得；解，得.因为不等式组有2个整数解，所以不等式组的整数解为2，3，所以.又因为为整数，所以.故选.
6．
7．
[解析]解不等式组得因为不等式组的解集为，所以.
8．解：由题意，得，
解得.
9．解：去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
将不等式的解集在数轴上表示如答图.
第9题答图
由数轴可知，不等式的负整数解是.
10．解：解不等式，得.
解不等式，得.
则不等式组的解集为.
将不等式组的解集表示在数轴上如答图.
第10题答图
11．（1） 解：设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元.
由题意，得
解得
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元.
（2） 设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵.
由题意，得，
解得.
答：最多可以购买脐橙树苗400棵.
B组·能力提升 强化突破
12．（1） 解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件.
由题意，得
解得
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件.
（2） 设购进件A商品，则购进件B商品.
由题意，得
解得，
所以的最大值为20.
答：购进A商品的件数最多为20件.
13．（1） 解：去分母，得.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得.
解集在数轴上表示如答图所示.
第13题答图
（2） 6
[解析]由（1）知，不等式的解集为.不等式的解集为.因为两个不等式的解集相同，所以，解得.
（3）
[解析]由（2）知，不等式 的解集为，不等式的解集为.因为关于的不等式组 的解集包含所有负数，所以，所以.
（4） ① 解：由（1）知不等式的解集为，解不等式，得.
因为不等式组 有解，
所以，
所以.
② 因为不等式组恰有5个整数解，
所以这5个整数解为2，1，0，，，
所以，
所以.
14．（1） 解：因为不等式的解集为，不等式,
所以与存在“雅含”关系，是的“子式”.
（2） 因为不等式的解集为，不等式的解集为，且是的“子式”，
所以，解得.
（3） 由得
因为，，
所以
解得.
因为为整数，
所以的值为，0，1，2.
不等式整理,得；
不等式的解集为.
①当时，不等式的解集是全体实数，
所以与存在“雅含”关系，且是的“子式”；
②当时，不等式的解集为，
不能满足与存在“雅含”关系；
③当时，不等式的解集为.
因为与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
所以且，
解得.
因为为整数，所以，
综上所述，的值为0或1.第3章 一元一次不等式（组）
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和基本性质
例1 若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
1．已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 一元一次不等式的解法
例2 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
变式跟进
2．解下列不等式：
（1） ；
（2） .
3．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的所有负整数解.
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解不等式组：
并写出该不等式组的所有整数解.
变式跟进
4．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023宁夏]解不等式组：
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务.
解：由①,得
第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
任务一：．该同学的解答过程第____步出现了错误，错误原因是________________________________；
不等式①的正确解集是________；
任务二：．解不等式②，并写出该不等式组的解集.
6．解不等式组：在数轴上表示解集并列举出所有非正整数解.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围.
变式跟进
7．一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 一元一次不等式的应用
例5 [2023娄底]为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗.已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元.
（1） 求每棵甲、乙树苗的价格；
（2） 本次活动共种植了200棵甲、乙树苗.假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
变式跟进
9．[2024成都]推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购价为10元/，B种水果收购价为15元/.
（1） 求A，B两种水果各购进多少千克；
（2） 已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．已知，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．[2023邵阳]不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读（ ）
A．50页 B．60页 C．80页 D．100页
5．已知关于的不等式的整数解共有2个.若为整数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．[2024常德模拟]若不等式组有解，则的取值范围是________.
7．[2023黄石]若关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________.
8．当取何值时，代数式的值不小于代数式的值？
9．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式的负整数解.
10．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
11．[2024湖南]某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
（1） 求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2） 该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
B组·能力提升 强化突破
12．[2024泸州]某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
（1） 求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2） 该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
13．已知不等式 .
（1） 求该不等式的解集，并在数轴上表示出来.
（2） 若不等式 与关于的不等式的解集相同，则的值是____.
（3） 若关于的不等式组 的解集包含所有负数，则的取值范围是________.
（4） 已知关于的不等式组
① 若该不等式组有解，求的取值范围；
② 若该不等式组恰有5个整数解，求的取值范围.
14．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”.
例如：，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”.
（1） 若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系 若存在，请说明谁是谁的“子式”.
（2） 已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围.
（3） 已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”.若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

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