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(共19张PPT)
2025年广东省中考数学专题特训
新题型特训（一）　新 情 境
1. （2024·长春，3分）不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两名同学的身高，c表示台阶的高度，则两人的对话体现的数学原理是（　A　）
A. 若a＞b，则a＋c＞b＋c
B. 若a＞b，b＞c，则a＞c
C. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D. 若a＞b，c＞0，则 ＞
【解析】 由题意，得a＞b，a＋c＞b＋c，∴ 两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a＋c＞b＋c.
A
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2. （2024·山东，3分）如图，有下列三个结论：① 甲班同学的最高身高为180cm；② 甲班同学的最低身高小于150cm；③ 乙班同学的最高身高大于或等于170cm.其中，正确的是（　C　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
C
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【解析】 设甲班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，乙班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm.根据甲班班长的话，可得x≤180，x＋a＝350，∴ x＝350－a.∴ 350－a≤180，解得a≥170，故③正确；甲班同学的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故①错误；根据乙班班长的话，得b＞140，y＋b＝290，∴ b＝290－y.∴ 290－y＞140，∴ y＜150，故②正确.
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3. （2024·泰安，4分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，则可列出符合题意的二元一次方程组为 根据已知信息，题中用“…，…”表示的条件应为（　D　）
D
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【解析】 根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为“甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱”.
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4. （2024·赤峰，3分）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，则收割面积相同的田地所需时间如下表：
收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E
所需时间/h 23 19 20 22 18
收割最快的一台收割机的编号是 　C　.
C
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【解析】 ∵ A，B所需时间为23h，B，C所需时间为19h，∴ C比A快4h；∵ B，C所需时间为19h，C，D所需时间为20h，∴ B比D快1h；
∵ C，D所需时间为20h，D，E所需时间为22h，∴ C比E快2h；∵ D，E所需时间为22h，A，E所需时间为18h，∴ A比D快4h.综上所述，可知收割最快的一台收割机的编号是C.
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5. （2024·甘肃，8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①，彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②所示为☉O和☉O上一点M. 作法如下：① 以点M为圆心，OM长为半径作弧，交☉O于A，B两点；② 连接MO并延长，交☉O于点C，则点A，B，C将☉O三等分.
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（1） 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将☉O三等分；（保留作图痕迹，不写作法）
（1） 如图，点A，B，C即为所求作
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（2） 根据（1）中作出的图形，连接AB，AC，BC，若☉O的半径为2cm，则△ABC的周长为 　6 　cm.
【解析】 如图，连接OA，OB，设CM交AB于点E. ∵ ＝ ＝ ，∴ AB＝AC＝BC，∠AOB＝120°.由（1），易得 ＝ ，∴ ∠AOM＝∠BOM＝60°.∵ OA＝OB，∴ OE⊥AB. ∴ AE＝EB＝OA· sin 60°＝2× ＝ （cm）.∴ AB＝2 cm.∴ △ABC的周长为6 cm.
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6. （2024·江西，8分）（教材变式）追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
（1） 如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
（1） △BDE是等腰三角形　理由：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. ∵ BC∥ED，∴ ∠EDB＝∠CBD. ∴ ∠EDB＝∠ABD.
∴ EB＝ED. ∴ △BDE是等腰三角形.
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（2） 如图②，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
① 图中一定是等腰三角形的有（　B　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
B
【解析】 共有4个等腰三角形，分别是△ABE，△ABG，△AFD，△CGF.
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② 若AB＝3，BC＝5，求CF的长.
② 由（1），得∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，∴ AB＝AE＝3.
∵ AF⊥BE，∴ ∠BAF＝∠EAF. ∵ BC∥AD，∴ ∠EAG＝∠AGB.
∴ ∠BAF＝∠AGB. ∴ AB＝BG＝3.∵ AB∥FD，∴ ∠BAF＝∠CFG. ∵ ∠AGB＝∠CGF，∴ ∠CGF＝∠CFG. ∴ CG＝CF. ∵ CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴ CF＝2
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7. （2024·常州，10分）（新定义）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.
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（1） 如图①，B，C，D是线段AE的四等分点.若AE＝4，则线段AC的“平移关联图形”是 　答案不唯一，如BD　，d＝ 　1　.（写出符合条件的一种情况即可）
【解析】 由题意，得AB＝BC＝CD＝DE＝ AE＝1，∴ AC＝BD＝CE＝2.∴ 线段AC的“平移关联图形”是BD和CE. 当线段AC的“平移关联图形”是BD时，d＝1；当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d＝2.
答案不唯一，如BD
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（2） 如图②，等边三角形ABC的边长是2.用无刻度直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2.（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 答案不唯一，如图①所示
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【解析】 ① 在AB的延长线上截取BA'＝BA；② 再分别以点B，A'为圆心，BA'长为半径作弧交于点C'；③ 连接BC'，A'C'，则△A'BC'即为所求作.∵ AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，∴ △A'BC'是等边三角形.∴ △ABC≌△A'BC'.∵ BA'＝BA＝2，∴ △A'BC'是△ABC的一个“平移关联图形”，且d＝2.本题答案不唯一.
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（3） 如图③，在平面直角坐标系xOy中，点D，E，G的坐标分别是（－1，0），（1，0），（0，4），以点G为圆心，r为半径作圆.若对☉G上的任意一点F，连接EF，FD，与DE所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，求r的取值范围.
（3） ∵ 点D，E，G的坐标分别是（－1，0），（1，0），（0，4），∴ OD＝OE＝1，OG＝4.∴ DE＝2.∵ d≥3，DE＝2＜3，
∴ DF≥3，EF≥3.
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如图②，当DE在☉G外，DF最小时，OF最小，此时r最大，即DF＝3，∴ OF＝ ＝2 .
∵ GF≤OG－OF，∴ 0＜r≤4－2 .如图③，当DE在☉G内，DF最小时，OF最小，此时r最小，∴ GF≥OG＋OF. ∴ r≥4＋2 .综上所述，0＜r≤4－2 或r≥4＋2
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7(共30张PPT)
2025年广东省中考数学专题特训
新题型特训（二）　综合与实践
1. （2024·安徽，12分）【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两个成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】 从两个柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x（单位：cm）表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
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组　别 A B C D E
x/cm 3.5≤ x＜4.5 4.5≤ x＜5.5 5.5≤ x＜6.5 6.5≤ x＜7.5 7.5≤
x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图（如图）.
任务1：求a的值.
解：任务1：由题意，得a＝200－（15＋70＋50＋25）＝40　
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【数据分析与运用】任务2 ：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数.
　任务2： ×（15×4＋50×5＋70×6＋50×7＋15×8）＝6，即乙园样本数据的平均数为6
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任务3：下列结论一定正确的是 　　　　.（填序号）
① 两园样本数据的中位数均在C组；② 两园样本数据的众数均在C组；③ 两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
解：【解析】 由统计图，可知两园样本数据的中位数均在C组，故①正确；根据所给数据无法得出两园样本数据的众数在哪一组，故②错误；两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③错误.
①
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任务4：结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试判断哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
解：任务4：乙园的柑橘品质更优　理由：由样本数据频数分布直方图，可得甲园一级柑橘所占比例为 ×100％＝45％，乙园一级柑橘所占比例为 ×100％＝60％，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，
∴ 乙园的柑橘品质更优.
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2. （2024·贵州，10分）小星学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
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【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.
第2题
【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，求：
（1） BC的长；
解：（1） 在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴ ∠ABC＝45°.∴ BC＝AC＝20cm
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（2） BD的长.（结果精确到0.1cm，参考数据： sin 32°≈0.53， cos 32°≈0.85，tan32°≈0.62）
解：（2） 由题意，知ON＝EC＝ AC＝10cm，∴ 易得NB＝ON＝10cm.又∵ ∠DON＝32°，∴ DN＝ON·tan∠DON＝10×tan32°≈6.2（cm）.∴ BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8（cm）
第2题
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3. （2024·山西，12分）问题情境：如图①，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
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方案设计：如图②，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，P是抛物线的顶点，且PO＝9米.
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欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F（不与点C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E. 用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
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方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图②中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1米）.请按照她的方法解决问题：
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（1） 在图②中画出平面直角坐标系，并求抛物线对应的函数解析式.
解：（1） 建立平面直角坐标系如图①所示
∵ OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6米，∴ OA＝OB＝ AB＝ ×6＝3（米）.∴ 点B的坐标为（3，0）.∵ OP＝9米，∴ 点P的坐标为（0，9）.∵ P是抛物线的顶点，∴ 设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋9.∵ 点B（3，0）在抛物线y＝ax2＋9上，∴ 代入，得9a＋9＝0，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋9（－3≤x≤3）
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（2） 求6米材料恰好用完时，DE与CF的长.
解：（2） ∵ 点D，E在抛物线y＝－x2＋9 上，∴ 设点E的坐标为（m，－m2＋9）.∵ DE∥AB，交y轴于点F，∴ DF＝EF＝m米，OF＝（－m2＋9）米.∴ DE＝2m米.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，∴ OC＝ AB＝ ×6＝3（米）.∴ CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝（－m2＋6）米.根据题意，得CF＋DE＝6米，∴ －m2＋6＋2m＝6，解得m1＝2，m2＝0（不符合题意，舍去）.∴ m＝2.∴ DE＝2m＝2×2＝4（米），CF＝－m2＋6＝－22＋6＝2（米），即DE的长为4米，CF的长为2米
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（3） 种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
解：（3） 米
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【解析】 如图②，灯带围成的图形为矩形GHML.由（2），得OC＝3米，∴ C（0，3）.由点A，B，C的坐标，易得直线AC，BC对应的函数解析式分别为y＝x＋3，y＝－x＋3.设G（n，－n2＋9），H（－n，－n2＋9），L（n，n＋3），M（－n，n＋3），则矩形周长为2（GH＋GL）＝2（－2n－n2＋9－n－3）＝ 米.∵ －2＜0，∴ 当n＝－ 时，矩形的周长最大，最大值为 米.
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4. （2024·齐齐哈尔，12分）如图①，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图②，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E.
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（1） 图②中，线段AB与DE之间的数量关系是 　AB＝DE　；
【解析】 ∵ 线段BC绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，∴ BC＝BD，∠CBD＝90°.∴ 易得∠BCA＝∠DBE＝90°－∠ABC.
∵ ∠A＝∠E＝90°，∴ △ABC≌△EDB. ∴ AB＝DE.
AB＝DE
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（2） 如图③，连接CD并延长，交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
解：（2） 由（1），得△ABC≌△EDB，∴ DE＝AB，BE＝AC.
∵ AB＝2，AC＝6，∴ DE＝2，BE＝6.∴ AE＝AB＋BE＝8.∵ ∠DEB＋∠A＝180°，∴ DE∥AC. ∴ △DEF∽△CAF. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ EF＝4.∴ BF＝BE＋EF＝10.∴ S△BDF＝ BF·DE＝10
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（3） 在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则 的值为 　 　；
【解析】 如图①，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

由AC＝6，AB＝2，AE＝8，DE＝2，得C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2）.设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋b.
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将B（2，0），D（8，2）代入，得 解得 ∴ 直线BD对应的函数解析式为y＝ x－ .同理，可得直线CE对应的函数解析式为y＝－ x＋6.令 x－ ＝－ x＋6，解得x＝ ，∴ 代入，得y＝ ，即N .∴ BN＝ ＝ .又∵ BC＝ ＝2 ，∴ ＝ ＝ .
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（4） 在（2）的条件下，在直线AB上找一点P，使tan∠BCP＝ ，请直接写出线段AP的长.
解：（4） 或
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∵ tan∠BCP＝ ＝ ，tan∠ABC＝ ＝ ＝3，∴ PQ＝ CQ，PQ＝3BQ. 设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a.∴ BC＝BQ＋CQ＝11a.∵ BC＝2 ＝11a，∴ a＝ .∴ BP＝ ＝2 a＝ .∴ AP＝BP－AB＝ ；
【解析】 ① 当点P在点B左侧时，如图②，过点P作PQ⊥BC于点Q.
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② 当点P在点B右侧时，如图③，过点P作PG⊥BC交CB的延长线于点G. ∵ tan∠BCP＝ ＝ ，tan∠PBG＝tan∠ABC，∴ ＝ ＝3.∴ PG＝ CG，PG＝3BG. 同理①，可得AP＝ .综上所述，AP的长为 或 .
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5. （2024·宁夏，10分）如图①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E.
【发现结论】 （1） ∠AEB＝ 　 　∠ACB；

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【解析】 ∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABC＝2∠ABE. ∵ AE是∠CAM的平分线，∴ ∠CAM＝2∠EAM. ∵ ∠CAM＝∠ACB＋∠ABC，∴ 2∠EAM＝∠ACB＋2∠ABE. ∵ ∠EAM＝∠AEB＋∠ABE，∴ 2（∠AEB＋∠ABE）＝∠ACB＋2∠ABE. ∴ 2∠AEB＝∠ACB. ∴ ∠AEB＝ ∠ACB.
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（2） 如图②，当∠ACB＝90°时，延长BC交AE的延长线于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H，则AE与EG的数量关系是 　AE＝EG　；
AE＝EG
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【运用结论】 （3） 求证：AH＝GF；
解：（3） 在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°；在Rt△AEH中，∠EHA＋∠EAH＝90°，∴ ∠EFG＝∠EHA. 在△EFG和△EHA中， ∴ △EFG≌△EHA. ∴ AH＝GF
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【运用结论】 （3） 求证：AH＝GF；
（4） 在图②中连接FH，AG，并延长AG交FH于点N，补全图形，并求证：FN＝ AE＋HN.
解：（4） 补全图形如图所示　∵ △EFG≌△EHA，∴ EF＝EH.
∵ ∠FEH＝90°，∴ ∠EFH＝∠EHF＝45°.∵ ∠AEG＝90°，AE＝EG，∴ ∠AGE＝∠EAG＝45°，AG＝ AE. ∴ ∠AFN＝∠EAG，∠NGH＝∠AGE＝45°.∴ FN＝AN. ∵ ∠NGH＝∠EHF＝45°，
∴ GN＝HN. ∵ AN＝AG＋GN，∴ FN＝ AE＋HN
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