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专题7.1相交线八大题型（一课一讲）
（内容:相交线、垂线、三线八角）
【人教版】
题型一：利用对顶角、邻补角的定义判断
【经典例题1-1】下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可．
【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角，
故选：C．
【经典例题1-2】下列说法中正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点，且相等的两个角是对顶角
C．两条直线相交，构成的角是对顶角
D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
【答案】D
【分析】本题主要考查对顶角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握对顶角的定义． 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，根据对顶角的定义进行求解．
【详解】解：因为一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，
A选项， 相等的两个角是对顶角，与对顶角定义不符，不符合题意；
B选项，有公共顶点，且又相等的角是对顶角，与对顶角定义不符，不符合题意；
C选项，两条直线相交所成的角是对顶角，与对顶角定义不符，不符合题意；
D选项，角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合定义，符合题意；
故选D．
【变式训练1-1】下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了对顶角的识别，理解并掌握对顶角的定义是解题关键．如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 不是对顶角，本选项不符合题意；
B. 是对顶角，本选项符合题意；
C. 不是对顶角，本选项不符合题意；
D. 不是对顶角，本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-2】下列各图中，和是对顶角的是（ ）．
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的定义，正确理解对顶角的定义是解题的关键．对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角．根据对顶角的定义判断即可．
【详解】A、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意；
B、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意；
C、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
D、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意．
故选B．
【变式训练1-3】下列说法正确的是（ ）
A．如果，则和是对顶角
B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角
C．对顶角都是锐角
D．锐角的对顶角也是锐角
【答案】D
【分析】此题考查了对顶角的定义，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角．
根据对顶角的定义进行分析即可．
【详解】解：A．如果，则和不一定是对顶角， 故本选项错误；
B．如果和有公共的顶点，则和不一定是对顶角， 故本选项错误；
C．对顶角不一定都是锐角，故本选项错误；
D．锐角的对顶角也是锐角，故本选项正确．
故选：D．
【变式训练1-4】下列说法中，正确的是（ ）
A．角是立体图形
B．相等的角是对顶角
C．经过一个已知点可以画无数条直线
D．在所有连接两点的线中，线段未必最短
【答案】C
【分析】本题考查了平面图形和立体图形的定义，对顶角的定义，过一点可以确定无数条直线，两点之间线段最短，根据相关定义逐个判断即可．
【详解】解：A、角是平面图形，故A不正确，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故B不正确，不符合题意；
C、经过一个已知点可以画无数条直线，故C正确，符合题意；
D、在所有连接两点的线中，线段最短，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查邻补角的定义，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义进行解答即可．
【详解】解：A、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意；
B、是对顶角，本选项不符合题意；
C、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意；
D、符合邻补角的定义，本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-6】下列各图中，与互为邻补角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案．
【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角；
根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角．
故选：D．
题型二：根据对顶、邻补角的性质求角度数
【经典例题2】如图，直线相交于点．
(1)若，则的余角有__________．
(2)若，求和的度数．
【答案】(1)，
(2)，．
【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
（1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义解答；
（2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，
，即，
∵，
的余角有：，；
故答案为：，；
（2）解：，
，
，，
∴，
，
∴．
【变式训练2-1】如图，直线相交于点O，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）由对顶角相等得，然后利用角平分线的定义即可求解；
（2）由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，，进而可求出的度数．
【详解】（1）解：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为平分，平分，
所以，，
所以．
【变式训练2-2】如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，．
(1)若，则的度数为___________；
(2)若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数．
【答案】(1)；
(2)的度数为；
(3)的度数为或．
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键．
（1）由条件平分可得，再由条件可得，通过等量代换即可得到的度数；
（2）由条件，并结合（1）的结论，可得，再利用为平角找出等量关系列出等式，即可求解的度数；
（3）分射线在的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算的度数，再根据与互补的关系即可得解．
【详解】（1）平分，
．
，
同理，，
，
．
（2）由题可知，，
．
，
，
由题可知为平角，
，
即，
，
的度数为．
（3）当在内部时，如图①，
则．
；
当在外部时，如图②，
则，
．
综上所述，的度数为或．
【变式训练2-3】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差．
（1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案．
【详解】（1）由对顶角相等，得，
由把分成两部分且，得，
由邻补角，得；
（2）平分，
．
由邻补角，得，
即，
解得．
∴，，
∴．
【变式训练2-4】如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到；
（2）根据题意列式计算即可．
此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，正确得出度数是解题关键．
【详解】（1）解： 平分，，
，
又与是对顶角，
，
（2）解：和是邻补角，
，
又，
，
，
．
【变式训练2-5】如图，直线、相交于点，，把分成两个角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键．
（1）根据对顶角相等求出的度数，设，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据（1）可求出，再根据邻补角求出，然后根据角平分线的定义求出的度数即可．
【详解】（1）解：，
设，则，
，
，
解得：，
；
（2）证明：，
，
平分，
，
，
平分．
题型三：垂线段最短
【经典例题3】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可．
【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误，
故选：C．
【变式训练3-1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B．
【详解】解：A、∵，
∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练3-2】如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（ ）

A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直
C．与互相垂直 D．线段的长度是点到的距离
【答案】A
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义对各个选项逐一分析即可得出答案，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴点到的垂线段是线段，故原说法错误，符合题意；
B、∵，
∴，即与互相垂直，故原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴与互相垂直，故原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即线段的长度是点到的距离，故原说法正确，不符合题意；
故选：A．
【变式训练3-3】如图，点是的边上的一点．
(1)过点画的垂线，交于点；
(2)过点画的垂线段，垂足为；
(3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键．
（1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求；
（2）直接根据方格作图即可；
（2）根据点到直线距离解答即可．
【详解】（1）解：如图：直线即为所求；
（2）解：如图：线段即为所求．
（3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离．
故答案为：，．
【变式训练3-4】按要求画图：
(1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使；
(2)如图2，P是的边上的一点．
①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题主要考查了基本作图，作线段和作垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
（1）根据线段的作法连接即可，再延长，截取即可
（2）根据过直线上一点作垂线的方法，得出即可．
【详解】（1）解：，即为所求：
（2）和如图2所求：
【变式训练3-5】如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
(1)过点画交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为点；
(3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，两点之间垂线段最短
【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质．
（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可；
（3）根据垂线段最短即可判断．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），依据：两点之间垂线段最短，
故答案为：，两点之间垂线段最短．
题型四：根据垂线的定义求角度
【经典例题4】如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，垂直的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂直得到，根据对顶角相等得到，再利用角度和差计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练4-2】如图所示，直线，交于点，，平分，则 ．
【答案】/135度
【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵，
，
平分，
，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作．
(1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　．
(2)若，求的度数
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得；
（2）先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义可得．
【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是．
故答案为：，
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线、垂直有关的计算，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
【变式训练4-4】如图，两直线、相交于点O，平分，如果，
(1)求
(2)若，，求
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
（1）根据邻补角的性质和已知求出和的度数，根据对顶角相等求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，可以得到的度数；
（2）根据垂直的定义得到，根据互余的性质求出的度数，计算得到答案．
【详解】（1）解：，：：，
，，
，，
平分，
，
．
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
【变式训练4-5】如图，直线相交于点O，平分，．
(1)证明：平分；
(2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键．
（1）由可得、，结合即可求证；
（2）由题意得，可推出
，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴
∵
∴，
∴平分
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
如图：
则；
如图：
则；
综上所述：的度数为或
【变式训练4-6】如图，直线与直线相交于点O，且平分．
(1)若比大，求的度数．
(2)证明：是的平分线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
（1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为平分线．
题型五：点到直线的距离
【经典例题5】点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　）
A． B．小于 C．不大于 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P到直线l的距离应小于等于的长度．
【详解】解：∵点P到直线l的距离是点P到直线l所有点的连线中最短的线段的长度，
∴点P到直线l的距离应小于等于的长度，
即点P到直线l的距离是不大于．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离．
因为，
所以点A到直线的距离是4，
故答案为：．
【变式训练5-2】如图，，交于点，于，连接．
（1）若，则 ；
（2）若．，，那么点到直线的距离是 cm．
【答案】 /65度
【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键．
（1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可；
（2）根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
（2），，
点到直线的距离是，
故答案为：，．
【变式训练5-3】如图所示的方格纸中，已知每个小正方形的边长都为1，点、、为格点．请按下面要求回答问题：
(1)画直线，射线；
(2)过点作，垂足为点；
(3)连结，若，求线段的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据图形即可作出直线，射线；
（2）取格点，连接交于点D，即可；
（3）根据等面积法即可求出斜边上的高．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；取格点E，连接交于点D，
（3）解：的面积
．
【点睛】本题主要考查了作图应用与设计作图，直线、射线及三角形的面积、高的求解，解题的关键是熟知其定义．
题型六：同位角、同旁内角、内错角的识别
【经典例题6】如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可．
【详解】和是同位角，①说法正确；
和不是对顶角，②说法错误；
和是内错角，③说法正确；
和不是同旁内角，④说法错误．
故说法错误的有②，④，共2个．
故选B．
【变式训练6-1】如图，按各组角的位置，说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】B
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可．
【详解】解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
B、与是内错角，原说法正确，符合题意；
C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意；
D、与是内错角，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练6-2】如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】C
【分析】本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
B、与是内错角，原说法正确，不符合题意；
C、与不是同旁内角，原说法错误，符合题意；
D、与是同位角，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练6-3】如图，与构成同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案．
【详解】解：与构成同位角的是，
故选：B．
【变式训练6-4】如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
根据同位角、内错角及同旁内角的定义判断即可．
【详解】解：由图可知：与是同位角，故A选项正确；
与是内错角，故B选项正确；
与是同旁内角，故C选项正确；
与不是同旁内角，故D选项错误；
故选：D．
【变式训练6-5】如图，按各组角的位置，判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】C
【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
B、与是内错角，故本选项正确，不符合题意；
C、与不是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
D、与是同位角，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
题型七：确定同位角、同旁内角、内错角的对数及“三线八角”
【经典例题7】如图，若两条直线a、b被直线c、d所截，则图中标号的角中共有内错角的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查内错角，根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得答案．
【详解】和，和，和，和均是内错角，共有4对内错角．
故选：B．
【变式训练7-1】如图，直线a截直线b、c所得的同位角有 ___________对，它们是 ___________；内错角有 ___________对，它们是 ___________；同旁内角有 ___________对，它们是 ___________．
【答案】4；与，与，与，与；2；与，与；2；与，与
【分析】本题考查同位角定义，内错角定义，同旁内角定义．根据题意利用观察图形同位角定义，内错角定义，同旁内角定义即可得出本题答案．
【详解】解：直线a截直线b、c所得的同位角有4对，它们是与，与，与，与；
内错角有2对，它们是与，与；
同旁内角有2对，它们是与，与，
故答案为：4；与，与，与，与；2；与，与；2；与，与．
【变式训练7-2】如图，直线，被直线所截，交，于点，，是一条射线．图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？分别写出这些角．
【答案】见解析
【详解】解：共有6对同位角：与，与，与，与，与，与．
共有3对内错角：与，与，与．
共有3对同旁内角：与，与，与．
【变式训练7-3】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有　　对．（用含n的式子表示）
【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3），，
【分析】（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行计数即可；
（2）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行计数即可；
（3）先发现再总结规律性的表达式，从而总结规律即可．
【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．
（3）根据以上探究的结果可得，同位角的数量关系可表示为：
两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有，
三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有
∴n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，
∴内错角有对，同旁内角有对．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同时也考查了图形类的规律探究，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.
【变式训练7-4】如图所示，
(1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角．
(2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角．
(3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角．
(4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角．
【答案】(1)；；；同位
(2)；
(3)；
(4)；
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键．
（1）根据同位角的特征，即可解答；
（2）根据内错角的特征，即可解答；
（3）根据同旁内角的特征，即可解答；
（4）根据内错角的特征，即可解答．
【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角，
故答案为：；；；同位；
（2）解：和是、被所截得的内错角，
故答案为：；；
（3）解：和是、被所截而成的同旁内角，
故答案为：；；
（4）解：和是、被所截得的内错角，
故答案为：；．
【变式训练7-5】根据图形填空：
(1)若直线被直线所截，则和　　是同位角；
(2)若直线被直线所截，则和　　是内错角；
(3)和是直线被直线　　所截构成的内错角．
(4)和是直线、　　被直线所截构成的　　角．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)；同位
【分析】（1）根据同位角的定义填空；
（2）根据内错角的定义填空；
（3）根据内错角的定义填空；
（4）根据同位角的定义填空．
【详解】（1）解：如图：若被所截，则与是同位角；
（2）解：若被所截，则与是内错角；
（3）解：与是和被所截构成的内错角；
（4）解：与是和被所截构成的同位角．
题型八：相交线综合应用
【经典例题8】已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作
(1)如图 1， ，求 的度数；
(2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角．
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识．
（1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
（2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）知，
∵，
∴和互余．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，，，
则和互余，和互余，和互余，
综上：与互余的角有，，，．
【变式训练8-1】直线相交于点O，过点O作．
(1)如图1，若∠BOD=27°44′，求的度数．
(2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由．
(3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案；
（3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵．
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即是的平分线；
（3）解：，理由如下：
如图1﹣1，，
∵，
∴，即，
∵．
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
如图1﹣2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键．
【变式训练8-2】如图，直线交于点分别在内部，且平分．
(1)的对顶角是___________；
(2)若，则的度数为___________；
(3)若平分，求的度数；
(4)若，判断是否平分，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
（1）根据对顶角的定义即可解答；
（2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可；
（3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可；
（4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论．
【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是；
（2）解：平分，
，
；
（3）解：与为对顶角，
，
，即．
平分，
，
，
，
．
又平分，
，
；
（4）解：平分，理由如下：
，
．
，
，
，
，
平分．
【变式训练8-3】如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线．
(1)写出的补角；
(2)若，求和的度数；
(3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】(1)
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键．
（1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角；
（2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数；
（3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系．
【详解】（1）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ 的补角有；
（2）∵平分，，
∴
∴，，
∴，
又∵平分，
∴；
（3）射线与互相垂直．理由如下：
∵，分别是，的平分线，
∴，
∴，
∴．
即射线的位置关系是互相垂直．
【变式训练8-4】如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键．
（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案；
（2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
【变式训练8-5】已知：点为直线上一点，过点作射线，．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键．
（1）根据平角的定义计算求值即可；
（2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可；
（3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可．
【详解】（1）解：∵
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵与互余，
∴，
∴，
①当射线在内部时，如图，
；
②当射线在外部时，如图，
．
综上所述，的度数为或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题7.1相交线八大题型（一课一讲）
（内容:相交线、垂线、三线八角）
【人教版】
题型一：利用对顶角、邻补角的定义判断
【经典例题1-1】下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题1-2】下列说法中正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点，且相等的两个角是对顶角
C．两条直线相交，构成的角是对顶角
D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
【变式训练1-1】下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1-2】下列各图中，和是对顶角的是（ ）．
A．B． C． D．
【变式训练1-3】下列说法正确的是（ ）
A．如果，则和是对顶角
B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角
C．对顶角都是锐角
D．锐角的对顶角也是锐角
【变式训练1-4】下列说法中，正确的是（ ）
A．角是立体图形
B．相等的角是对顶角
C．经过一个已知点可以画无数条直线
D．在所有连接两点的线中，线段未必最短
【变式训练1-5】下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-6】下列各图中，与互为邻补角的是（ ）
A．B． C． D．
题型二：根据对顶、邻补角的性质求角度数
【经典例题2】如图，直线相交于点．
(1)若，则的余角有__________．
(2)若，求和的度数．
【变式训练2-1】如图，直线相交于点O，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【变式训练2-2】如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，．
(1)若，则的度数为___________；
(2)若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数．
【变式训练2-3】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【变式训练2-4】如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式训练2-5】如图，直线、相交于点，，把分成两个角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求证：平分．
题型三：垂线段最短
【经典例题3】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3-1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【变式训练3-2】如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（ ）

A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直
C．与互相垂直 D．线段的长度是点到的距离
【变式训练3-3】如图，点是的边上的一点．
(1)过点画的垂线，交于点；
(2)过点画的垂线段，垂足为；
(3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离；
【变式训练3-4】按要求画图：
(1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使；
(2)如图2，P是的边上的一点．
①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H
【变式训练3-5】如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
(1)过点画交于点；
(2)过点画的垂线，垂足为点；
(3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________．
题型四：根据垂线的定义求角度
【经典例题4】如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图所示，直线，交于点，，平分，则 ．
【变式训练4-3】如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作．
(1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　．
(2)若，求的度数
【变式训练4-4】如图，两直线、相交于点O，平分，如果，
(1)求
(2)若，，求
【变式训练4-5】如图，直线相交于点O，平分，．
(1)证明：平分；
(2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数．
【变式训练4-6】如图，直线与直线相交于点O，且平分．
(1)若比大，求的度数．
(2)证明：是的平分线．
题型五：点到直线的距离
【经典例题5】点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　）
A． B．小于 C．不大于 D．
【变式训练5-1】如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ．
【变式训练5-2】如图，，交于点，于，连接．
（1）若，则 ；
（2）若．，，那么点到直线的距离是 cm．
【变式训练5-3】如图所示的方格纸中，已知每个小正方形的边长都为1，点、、为格点．请按下面要求回答问题：
(1)画直线，射线；
(2)过点作，垂足为点；
(3)连结，若，求线段的长．
题型六：同位角、同旁内角、内错角的识别
【经典例题6】如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练6-1】如图，按各组角的位置，说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【变式训练6-2】如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【变式训练6-3】如图，与构成同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】如图，下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【变式训练6-5】如图，按各组角的位置，判断错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
题型七：确定同位角、同旁内角、内错角的对数及“三线八角”
【经典例题7】如图，若两条直线a、b被直线c、d所截，则图中标号的角中共有内错角的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练7-1】如图，直线a截直线b、c所得的同位角有 ___________对，它们是 ___________；内错角有 ___________对，它们是 ___________；同旁内角有 ___________对，它们是 ___________．
【变式训练7-2】如图，直线，被直线所截，交，于点，，是一条射线．图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？分别写出这些角．
【变式训练7-3】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有　　对．（用含n的式子表示）
【变式训练7-4】如图所示，
(1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角．
(2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角．
(3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角．
(4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角．
【变式训练7-5】根据图形填空：
(1)若直线被直线所截，则和　　是同位角；
(2)若直线被直线所截，则和　　是内错角；
(3)和是直线被直线　　所截构成的内错角．
(4)和是直线、　　被直线所截构成的　　角．
题型八：相交线综合应用
【经典例题8】已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作
(1)如图 1， ，求 的度数；
(2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角．
【变式训练8-1】直线相交于点O，过点O作．
(1)如图1，若∠BOD=27°44′，求的度数．
(2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由．
(3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由．
【变式训练8-2】如图，直线交于点分别在内部，且平分．
(1)的对顶角是___________；
(2)若，则的度数为___________；
(3)若平分，求的度数；
(4)若，判断是否平分，并说明理由．
【变式训练8-3】如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线．
(1)写出的补角；
(2)若，求和的度数；
(3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【变式训练8-4】如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【变式训练8-5】已知：点为直线上一点，过点作射线，．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数．

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