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专题7.2.2平行线（二）八大题型（一课一讲）
（内容:平行线的性质）
【人教版】
题型一：根据平行线的判定和性质求角度
【经典例题1】如图，已知，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图所示，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，已知， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】如图，与互余，与的余角互补， 则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：平行线的性质在三角板中的应用
【经典例题2】将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，锐角顶点在直线n上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练2-4】将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-6】如图，把一副三角板中的每个三角板的直角顶点都放置在另一个三角板的斜边上，并使两三角板的斜边互相平行，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：平行线的性质在生活中的应用
【经典例题3】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转，再左转 B．先左转，再右转
C．先左转，再右转 D．先右转，再右转
【变式训练3-1】光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ．
【变式训练3-5】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．
(1)求此时支架与底座的夹角的度数；
(2)求此时灯头与水平线的夹角的度数．
题型四：根据平行线的判定和性质证明
【经典例题4】如图，在 ABC中，是高，点，，分别在，，上，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，平分，求的度数．
【变式训练4-1】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
【变式训练4-2】如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足.
(1)求证：；
(2)若，求证：.
【变式训练4-3】如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【变式训练4-4】如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练4-5】如图，已知，，点E在线段延长线上，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
题型五：根据平行线的判定和性质填空
【经典例题5】如图，已知，，，求．
解：∵
∴（ ）
又∵
∴（ ）
∴______（ ）
∴（ ）
∵
∴
【变式训练5-1】如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．
解：∵（已知），
∴______，（_____________________），
∴______，（_____________________），
∵，（已知），
∴______，
∴______，（_____________________），
∴______
【变式训练5-2】已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整）
证明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代换）
∴（同位角相等， 两直线平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
∴．（ ）
【变式训练5-3】补全下列解题过程．
如图，在 ABC中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【变式训练5-4】几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【变式训练5-5】如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因为（已知）所以 ④ （等量代换）
所以（ ⑤ ）
题型六：求平行线之间的距离
【经典例题6】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．

(1)求证：．
(2)若，且．求与之间的距离．
(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
【变式训练6-1】如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【变式训练6-2】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．

(1)求证：
(2)若 ，且，，．求与之间的距离．
(3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围．
【变式训练6-3】如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
【变式训练6-4】如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．

（1）若，求的度数；
（2）若，求直线与的距离．
【变式训练6-5】如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
题型七：利用平行线之间的距离解决问题
【经典例题7】如图，在梯形中，，点为腰上的一点，交于点，与是否平行？请说明理由，分别测量出点到的距离，两者有何关系．
【变式训练7-1】如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．

【变式训练7-2】如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与 ABC的面积相等．理由是____________________；
(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________．
【变式训练7-3】如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

【变式训练7-3】梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．
【变式训练7-4】已知：如图，，且，E为的中点．
（1）求证： AED≌ EBC；
（2）在不添加辅助线的情况下，除外，请再写出两个与的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）
题型八：利用平行线的判定和性质进行探索
【经典例题8】已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
【变式训练8-1】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动．
①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系．
【变式训练8-2】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【变式训练8-3】【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【变式训练8-4】【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【变式训练8-5】如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则 ．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
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专题7.2.2平行线（二）八大题型（一课一讲）
（内容:平行线的性质）
【人教版】
题型一：根据平行线的判定和性质求角度
【经典例题1】如图，已知，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，先由得到，从而得到，进而得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练1-1】如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定和性质是解答的关键．
利用平行线的判定和性质即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式训练1-2】如图所示，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．掌握平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质，是解题的关键．
先证明，再根据两直线平行同位角相等可得，再根据对顶角相等可得．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：D．
【变式训练1-3】如图，已知， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练1-4】如图，与互余，与的余角互补， 则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意，得到，得到，平角的定义求出，
【详解】解：与互余，与的余角互补，
，
，
，
，
∵，
，
故选：C
【变式训练1-5】如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，得到，利用邻补角求得的度数，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】解：作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
题型二：平行线的性质在三角板中的应用
【经典例题2】将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：如图所示，，
∵直尺与三角板的两边平行，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练2-1】已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的属性，根据题意，得到，再根据三角板的特点得到，代入计算即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练2-2】将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，锐角顶点在直线n上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质得到，再由平角的定义求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练2-3】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键，先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可得答案．
【详解】解：如图：∵三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上，，
∴，
∵，
∴，

故选：C．
【变式训练2-4】将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键．由，可得，从而，根据求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式训练2-5】如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质．根据题意可得，再根据平行线的性质，可得，然后根据平角可算出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【变式训练2-6】如图，把一副三角板中的每个三角板的直角顶点都放置在另一个三角板的斜边上，并使两三角板的斜边互相平行，图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，对顶角相等，
过点G作，根据平行线的性质得到，，进而利用对顶角相等求解即可．
【详解】如图所示，过点G作
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
题型三：平行线的性质在生活中的应用
【经典例题3】一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转，再左转 B．先左转，再右转
C．先左转，再右转 D．先右转，再右转
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键．
根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可．
【详解】解：如图所示：
A、
故本选项错误；
B、
故本选项正确；
C、
故本选项错误；
D、
故本选项错误．
故选B．
【变式训练3-1】光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
【变式训练3-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可．
【详解】如图，
∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的
∴，，
∵
∴，，
∴，
故选：B．
【变式训练3-3】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，

∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练3-4】如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练3-5】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．
(1)求此时支架与底座的夹角的度数；
(2)求此时灯头与水平线的夹角的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
题型四：根据平行线的判定和性质证明
【经典例题4】如图，在 ABC中，是高，点，，分别在，，上，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案．
【详解】（1）解：；理由是：
∵是高，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式训练4-1】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴．
【变式训练4-2】如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足.
(1)求证：；
(2)若，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证；
（2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练4-3】如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．
（1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论；
（2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
．
∵，
．
∴；
（2）解：，
，
平分，，
．
∵，，
，
．
．
【变式训练4-4】如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
【变式训练4-5】如图，已知，，点E在线段延长线上，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答．
（1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明；
（2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴；
∴ ，
∵平分，
∴，
∴ ；
（2）解：∵，，
可设，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴
∵，
∴，即
∴，
解得：，
∴．
题型五：根据平行线的判定和性质填空
【经典例题5】如图，已知，，，求．
解：∵
∴（ ）
又∵
∴（ ）
∴______（ ）
∴（ ）
∵
∴
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．
【详解】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【变式训练5-1】如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．
解：∵（已知），
∴______，（_____________________），
∴______，（_____________________），
∵，（已知），
∴______，
∴______，（_____________________），
∴______
【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】解：∵（已知），
∴，（同旁内角互补，两直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，（已知），
∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴，（两直线平行，同位角相等），
∴，（等量代换）．
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换．
【变式训练5-2】已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整）
证明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代换）
∴（同位角相等， 两直线平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
∴．（ ）
【答案】对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】考查了平线的性质与判定的综合运用，平行线的判定是由角的数量关判断两直线的位置关系，平行性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
先根据条件，判定，而得出，再判定，再根据平行线的性质，即可出．
【详解】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【变式训练5-3】补全下列解题过程．
如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定．
【详解】解：，
（①对顶角相等），
（②等量代换），
（③同旁内角互补，两直线平行），
（④两直线平行，同位角相等；）．
，
，
（⑤内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行．
【变式训练5-4】几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证．
【详解】证明：连接
∵，
∴，（垂线定义）
∴
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵
∴
即
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
【变式训练5-5】如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因为（已知）所以 ④ （等量代换）
所以（ ⑤ ）
【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可．
【详解】解：，理由如下：因为，
所以（垂直定义）
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
又因为（已知）
所以（等量代换）
所以（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
题型六：求平行线之间的距离
【经典例题6】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．

(1)求证：．
(2)若，且．求与之间的距离．
(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)大于0小于等于5
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到；
（2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案；
（3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离，
即设三角形的边上的高为，
由三角形的面积计算公式可得：
，即，
解得：，
与之间的距离为2.4；
（3）解：过点作于，连接，
，
当与重合时，，
当无限接近时，无限接近0，
，
点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式训练6-1】如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【答案】(1)平行，见解析
(2)8
【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离：
（1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证；
（2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
设，所在的直线之间的距离为，
，
即，
，
即，所在的直线之间的距离为．
【变式训练6-2】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．

(1)求证：
(2)若 ，且，，．求与之间的距离．
(3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出根据已知得出，即可得证；
（2）根据等面积法求平行线间的距离即可求解；
（3）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解．
【详解】（1）证明：
两直线平行，内错角相等
又
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（2）由知与之间的距离等于点到直线的距离即三角形的边上的高设为．由三角形的面积计算公式可得：
即：
解得：
故：与之间的距离为．
（3）设点到直线的距离为，∵，，
如图所示，作，当点与点重合时，到直线的距离为，

当点接近直线时，则点到直线的距离接近，
∴点到直线的距离的取值范围：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）过作于，根据，即可求解．
【详解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直线与的距离
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
【变式训练6-4】如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．

（1）若，求的度数；
（2）若，求直线与的距离．
【答案】（1）20°；（2）
【分析】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2＝90° ∠3＝20°；
（2）设三角形中边上的高为，依据，即可得到．
【详解】（1）解：因为，

所以，
又因为，
所以，
所以
（2）设三角形中边上的高为，
因为边上的高线垂直于
又因为，点在直线，
所以边上的高即为直线与的距离，
因为，
所以，
所以直线与的距离为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
【变式训练6-5】如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质可求出的度数，再根据垂直的性质即可得；
（2）先画出a与b之间的距离，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）如图，∵直线，
又
；
（2）如图，过A作于D，则AD的长即为a与b之间的距离
解得
故直线a与b的距离为．

【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的性质等知识点，属于基础题，熟记各性质是解题关键．
题型七：利用平行线之间的距离解决问题
【经典例题7】如图，在梯形中，，点为腰上的一点，交于点，与是否平行？请说明理由，分别测量出点到的距离，两者有何关系．
【答案】，理由见解析，点到的距离相等
【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，根据平行公理可得，由平行线间间距相等可知，点到的距离相等．
【详解】解：，理由如下：
∵，，
∴；
由平行线间间距相等可知，点到的距离相等．
【变式训练7-1】如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．

【答案】8
【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案．
【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【变式训练7-2】如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________；
(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________．
【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等
(2)与，与
【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键．
（1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答；
（2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答．
【详解】（1）解：∵直线，,
∴点P和点C到直线n的距离相等．
又∵在和中，，
∴（同底等高的两个三角形的面积相等）．
故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等．
（2）解：设直线m和n之间的距离为h
∵,
∴．
∴,即．
故答案为：与，与．
【变式训练7-3】如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】阴影部分的面积为平方厘米
【分析】连接，，根据正方形的性质及三角形面积公式推出阴影部分的面积，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接，，

∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积，
∴阴影部分的面积，
∵厘米，
∴平方厘米，
∴阴影部分的面积为平方厘米．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
【变式训练7-3】梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．
【答案】三角形的面积是平方厘米
【分析】四边形是梯形，可知，在梯形中，，在梯形中，，根据题意可知，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，
∵，
∴平行线间的距离相等，即三角形的高相等，
∴在梯形中，；在梯形中，；在梯形中，，且，
∴，
∴，
∴三角形的面积是平方厘米．
【点睛】本题主要考查梯形，三角形的综合，掌握平行线间的距离相等，三角形的面积则相等，代数式中等量代换的计算方法等知识是解题的关键．
【变式训练7-4】已知：如图，，且，E为的中点．
（1）求证：；
（2）在不添加辅助线的情况下，除外，请再写出两个与的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）
【答案】（1）见解析；（2），（答案不唯一）．
【分析】（1）由两直线平行，同位角相等解得，再由SAS证得，根据全等三角形的性质得到，继而证明，由两直线平行，同位角相等解得，再由SAS证得；
（2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等解题即可．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵E是的中点，
∴，
∴；
（2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等，可知的面积与的面积相等．（答案不唯一）
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
题型八：利用平行线的判定和性质进行探索
【经典例题8】已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；
②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【详解】（1）解：如图1，过P作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，
，
，，
，
过P作，
同理可得，，
与的角平分线相交于点K，
，
；
（3）解：①如图3，过P作，
，
，
，，
，
故答案为：；
②如图3，过K作，
，
，
，，
，
由①知，，
与的角平分线相交于点K，
，
．
【变式训练8-1】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动．
①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系．
【答案】(1)
(2)①；②当在延长线时，；当在之间时，．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，
（1）过作，则，根据平行线的性质得出，，进而根据，即可求解；
（2）①同（1）即可求解；
②当在延长线时，过作交于，结合图形可得．当在之间时，过作交于，同理可得．
【详解】（1）解：过作，则，
∴，
∴，，
∴．
（2）①当点在（不与重合）两点之间运动时，设
过点作，
∴，
∴，
∴．
②当在延长线时，．
过作交于，
∵，
∴
∴，
∴

当在之间时，
过作交于，
∵
∴
∴,
∴
∴
【变式训练8-2】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
【变式训练8-3】【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为 ②不成立，结论为: （3）
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证；
①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
（）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可．
【详解】（1），理由如下：
过点作，

，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，新的结论为 理由为：
过作，
，
，
，
，
，
；
②不成立，如图③所示， 结论为：；
过作，
，
，
，
，
，
；

（3），
过点作，点作，
又∵，
∴，
∴，，，
即，
∴．

【变式训练8-4】【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)等于
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过作．得，故，，因此．
（2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之间的数量关系：．
理由如下：
如图：过作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之间的数量关系：．
（3）证明：、分别平分和，
，，
由（1）结论得：，
，
．
，
，
，
由三角形内角和得：
．
答：等于．
【变式训练8-5】如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则 ．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)；
(4)或．
【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据（）中的结论即可求解；
（）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解；
此题考查了平行线的判定及性质，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由，
过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：；
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴．
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