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课时1.3 二次根式的运算（学案）
1.理解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断二次根式在何种情况下有意义，会进行简单的二次根式乘除运算.
2.掌握二次根式的混合运算，包括加、减、乘、除、乘方等运算的混合，并能准确计算结果.
3.通过对二次根式运算的学习，培养学生的逻辑推理能力，例如在推导二次根式运算法则的过程中锻炼逻辑思维在进行二次根式的化简和计算过程中，提高学生的运算能力和数学运算的准确性.
学习重点：二次根式的运算规则和二次根式的混合运算
学习难点：二次根式的混合运算
一般地，把几个二次根式化为 后，如果它们的被开方数 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（二次根式的乘除运算参考课时1.2 二次根式的性质，本卷主要讲二次根式的加减运算）
（1）之前我们在整式的加减中学习了同类项以及合并同类项，请计算下面各式。
. . .
学生之间相互讨论一下，如何合并同类项？
（2）类比同类项，在二次根式中哪些又是可以合并的呢？
= . = .
【合作探究一】对下列的二次根式进行化简，并说一说它们的共同点。
、、、、、
知识点归纳：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
例1根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。二次根式的加减就是合并同类二次根式的过程。
注意：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
合并同类项 二次根式的加减
举例
方法 字母及其指数不变，系数相加减 根式不变，系数相加减
例2 计算（基础的二次根式混合运算）
(1)； （2）；
例3 计算（利用乘法公式二次根式混合运算）
(1)． (2)
例4 计算（利用分母有理化二次根式混合运算）
（1）． （2）
例5 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
例6如图，架在消防车上的云梯长为，云梯底部离地面的距离为，，求出云梯顶端离地面的距离．

1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则 ．
3．已知，等腰三角形的两边长分别为和7，则它的周长等于 ．
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ．
5．已知，，求下列代数式的值：
(1)； (2)．
6．计算：
(1)； (2)．
7．如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为
(1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
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课时1.3 二次根式的运算（学案）
1.理解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断二次根式在何种情况下有意义，会进行简单的二次根式乘除运算.
2.掌握二次根式的混合运算，包括加、减、乘、除、乘方等运算的混合，并能准确计算结果.
3.通过对二次根式运算的学习，培养学生的逻辑推理能力，例如在推导二次根式运算法则的过程中锻炼逻辑思维在进行二次根式的化简和计算过程中，提高学生的运算能力和数学运算的准确性.
学习重点：二次根式的运算规则和二次根式的混合运算
学习难点：二次根式的混合运算
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意；
B．与被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意；
C．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意；
D．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意．
（二次根式的乘除运算参考课时1.2 二次根式的性质，本卷主要讲二次根式的加减运算）
（1）之前我们在整式的加减中学习了同类项以及合并同类项，请计算下面各式。
. . .
学生之间相互讨论一下，如何合并同类项？
（2）类比同类项，在二次根式中哪些又是可以合并的呢？
= . = .
【合作探究一】对下列的二次根式进行化简，并说一说它们的共同点。
、、、、、
【详解】解：∵，，，，
知识点归纳：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
例1根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴与是同类二次根式为，共个，
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。二次根式的加减就是合并同类二次根式的过程。
注意：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
合并同类项 二次根式的加减
举例
方法 字母及其指数不变，系数相加减 根式不变，系数相加减
例2 计算（基础的二次根式混合运算）
(1)； （2）；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
例3 计算（利用乘法公式二次根式混合运算）
(1)． (2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
例4 计算（利用分母有理化二次根式混合运算）
（1）． （2）
【详解】解：
．
（2）
．
例5 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
【详解】解：由题意可得，，，
∴由勾股定理得：，
答：帐篷支撑竿的高是．
例6如图，架在消防车上的云梯长为，云梯底部离地面的距离为，，求出云梯顶端离地面的距离．

【答案】
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴云梯顶端离地面的距离为．
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
2．已知，，则 ．
【答案】10
【详解】解：
3．已知，等腰三角形的两边长分别为和7，则它的周长等于 ．
【答案】/
【详解】解：当等腰三角形的腰长为，底边长为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为时，，满足三角形三边关系，此时周长为；
综上所述，它的周长等于，
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ．
【答案】
【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：．
故这两个二次根式的和为，
5．已知，，求下列代数式的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，，
∴；
（2）解：
．
6．计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
7．如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为
(1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
【答案】(1) (2)585千克
【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为
，
答：大长方形空地的周长为；
（2）解：由题意，种植蔬菜的面积为
，
∴（千克），
∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克．
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