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课时1.2 二次根式的性质（学案）
1.理解并掌握二次根式的性质，能够正确区分与。这有助于在进行二次根式相关运算时准确运用不同的性质。
2.利用二次根式的性质进行化简和计算。这一目标可以让学生在面对各种二次根式的数学问题时，能够准确地将复杂的二次根式化简为最简形式，或者进行二次根式的四则运算。
3.在探索二次根式性质的学习过程中，进一步增强学生的参与意识。通过让学生积极参与到对二次根式性质的探究活动中，例如通过实例分析、小组讨论、自主推导等方式，使学生更加深入地理解二次根式的性质。
学习重点：应用二次根式的性质对代数式进行化简
学习难点：化简含字母的二次根式
1.（1） （2）
2.（1） （2）
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【合作探究一】有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　；
②小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　；
性质归纳：一般地，二次根式具有以下性质：
（1） （2）
【例1】实践与探究：
(1)计算：_____；_____；_____；____；_____．
(2)根据（1）中的计算结果，回答：
①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？
②利用你总结的规律化简：若，则________．
【例2】计算
（1） ．
（2） ．
（3）＝ ；＝ ．
【合作探究二】用计算器计算下列式子。
= =
= =
比较左右两边的等式，你能发现什么？你能用字母表示出规律吗？
性质归纳：一般地，二次根式具有以下性质：
（1）
（2）
【例3】对下面各式进行化简
（1） ． （2） ． （3） ．
（4） ． （5） ． （6） ．
知识归纳：在根号内不含分母，不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式。
【例4】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
1.化简：
（1）= ． （2） . （3） ．
（4） （5） . （6） ．
2.化简：
（1） ． （2） ．
3．实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示， 则化简得 ．
4．若与最简二次根式能合并，则 ．
5．计算：．
6．若2，5，n为三角形的三边长，化简
7．如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题：
(1)如图所示，请计算 ABC的面积；
(2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由．
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课时1.2 二次根式的性质（学案）
1.理解并掌握二次根式的性质，能够正确区分与。这有助于在进行二次根式相关运算时准确运用不同的性质。
2.利用二次根式的性质进行化简和计算。这一目标可以让学生在面对各种二次根式的数学问题时，能够准确地将复杂的二次根式化简为最简形式，或者进行二次根式的四则运算。
3.在探索二次根式性质的学习过程中，进一步增强学生的参与意识。通过让学生积极参与到对二次根式性质的探究活动中，例如通过实例分析、小组讨论、自主推导等方式，使学生更加深入地理解二次根式的性质。
学习重点：应用二次根式的性质对代数式进行化简
学习难点：化简含字母的二次根式
1.（1） （2）
2.（1） （2）
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
2．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【答案】，
【详解】解：，，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
【合作探究一】有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　；
②小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．　　；　　；　　；　　；　　；　　；
性质归纳：一般地，二次根式具有以下性质：
（1） （2）
【例1】实践与探究：
(1)计算：_____；_____；_____；____；_____．
(2)根据（1）中的计算结果，回答：
①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？
②利用你总结的规律化简：若，则________．
【详解】（1）解：；；；；．
（2）解：①不一定等于．
．
②当时，，
．
【例2】计算
（1） ．
（2） ．
（3）＝ ；＝ ．
【详解】（1）∵∴.
（2）.
（3），.
【合作探究二】用计算器计算下列式子。
= =
= =
比较左右两边的等式，你能发现什么？你能用字母表示出规律吗？
性质归纳：一般地，二次根式具有以下性质：
（1）
（2）
【例3】对下面各式进行化简
（1） ． （2） ． （3） ．
（4） ． （5） ． （6） ．
【详解】解：（1）.
（2）.
（3）．
（4）.
（5）．
（6）．
知识归纳：在根号内不含分母，不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式。
【例4】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
1.化简：
（1）= ． （2） . （3） ．
（4） （5） . （6） ．
【详解】解：（1）； （2）； （3）；
（4）原式．（5），（6）
2.化简：
（1） ． （2） ．
【详解】解：（1）；
（2）。
3．实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示， 则化简得 ．
【答案】
【详解】解：由图可知，，且
∴，，
∴原式
，
4．若与最简二次根式能合并，则 ．
【答案】2
【详解】解：，
则由题意得，，
解得：，
5．计算：．
【答案】
【详解】解：原式，
，
．
6．若2，5，n为三角形的三边长，化简
【答案】5
【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长，
∴，即，
∴原式．
7．如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题：
(1)如图所示，请计算 ABC的面积；
(2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由．
【答案】(1)(2)直角三角形，见解析
【详解】（1）解：．
（2）解：∵，，
如图所示，即为所求．
，
即，
∴是直角三角形．
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