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小结与复习
第三章 圆
一、圆的基本概念及性质
1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点
组成的图形叫做圆.
2. 有关概念：
(1) 弦、直径(圆中最长的弦)
(2) 弧、优弧、劣弧、等弧
．
O
3. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、点与圆的位置关系
●A
● B
●C
点与圆的位置关系 点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d ＞ r
d = r
d ＜ r
三、圆的对称性
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合，
即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
●O
A
B
C
D
M└
③AM=BM，
若 ① CD 是直径
② CD⊥AB
可推得
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
四、垂径定理及推论
④ ，
⑤ .
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
拓展：垂径定理的逆定理
②CD⊥AB,
由 ① CD 是直径
③ AM = BM
可推得
O
C
D
A
B
●
┗
M
④ ，
⑤ .
●
定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的
一半.
五、圆周角和圆心角的关系
∠BAC = ∠BOC
C
A
B
O
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ABC 与∠ADC 、∠AEC 是同弧所对的圆周角
∴∠ABC = ∠ADC = ∠AEC
●
O
推论：直径所对的圆周角是直角；
90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
A
B
O
C
D
六、直线和圆的位置关系
图形
直线与圆的 位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
2 个
1 个
0 个
相离
相切
相交
d＞r
d = r
d＜r
七、切线的判定与性质
1. 切线的判定一般有三种方法：
a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点
b. 距离法： d = r
c. 判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2. 切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线长定理：
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
拓展：这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
3.切线长及切线长定理
八、三角形的内切圆及内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3. 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
O
C
D
A
B
M
半径 R
圆心角
弦心距 d
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径 R
边心距 r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
M
九、圆内接正多边形
1.正 n 边形的中心角=
C
D
O
B
E
F
A
P
3. 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系：
a
R
r
4. 边长 a，边心距 r 的正 n 边形面积的计算：
其中 l 为正 n 边形的周长.
2.正多边形的内角=
计算公式：
(1) 弧长公式：
(2) 扇形面积公式：
十、弧长及扇形的面积
例1 如图，在 ⊙O 中，∠ABC = 50°，则 ∠CAO
等于（　　）
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
考点一 圆的有关概念及性质
例2 在图中，BC 是 ☉O 的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则 ∠BAD 的度数是（ ）
A. 72° B. 54°
C. 45° D. 36 °
A
B
C
D
B
例3 ☉O 的半径为 r，圆心到点 A 的距离为 d，且 r、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与 ☉O 的位置关系是（ ）
A．点 A 在 ☉O 内部 B．点 A 在 ☉O 上
C．点 A 在 ☉O 外部 D．点 A 不在 ☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0 的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
D
1. 如图所示，在圆 O 中弦 AB∥CD，若 ∠ABC=50°，则 ∠BOD 等于（　　）
A．50° B．40° C．100° D．80°
C
针对训练
2.如图所示，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 .
135°
C
D
B
A
P
O
考点二 垂径定理
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度
为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D,可知AO=5 mm，OD=3 mm，利用勾股定理进行计算，AD=4 mm，所以 AB=8 mm.
3. 如图 a，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点，OA=2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
A
O
B
C
E
F
图 a
针对训练
4. 如图 b，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB=2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC+PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
图b
D`
P
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
考点三 切线的判定与性质
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB = ∠ABC，∠A = ∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∵ 即 ∴BC=
(1) 若 AD = 3，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC=90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C =∠OBD. ∴∠BDO =∠CDE.
∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∴∠BDC = 90°.
即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE+∠BDO= 90°，即∠ODE=90°.
∴ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵E 是 BC 的中点，∴CE = DE.∴∠C =∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB =∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
例6 （多解题）如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD=30°，半径为 1 cm的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm,如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
4 或 8
解析： 本题应分为两种情况：(1) ☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2) ☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
o
解析： 连接 BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余证明 ∠C＝∠EDC.
例7 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1) 求证：BC = 2DE.
解：(1) 证明：连接 BD，
∵AB 为直径，∠ABC = 90°，
∴BE 切 ☉O 于点 B.
又∵DE 切 ☉O 于点 D，∴DE=BE，
∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，
∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.
∴∠C =∠CDE，DE = CE.
∴BC = BE + CE = 2DE.
(2)∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
∴ AB = BC =
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴ 即
∴
(2) 若 tanC= ，DE=2，求 AD 的长.
例8 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60° 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 =1.732）
B
北
60°
30°
A
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
D
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D，根据题意，得 BC=8.设 AD 为 x.
∵∠ABC=30°，∴AB = 2x.
BD= x.
∵∠ACD = 90° - 30°= 60°，
∴ AD=CD×tan60°，CD = .
BC=BD-CD= = 8.
解得 x=
即渔船继续往东行驶，
有触礁的危险.
B
北
60°
30°
A
C
5. 如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB=20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E = .
O
C
A
B
E
D
图b
50°
针对训练
6. 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC.
问：BC 与 ⊙O 是否相切？
解：BC 与 ⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，
∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
又 DE 平分 CB，∴DE＝ BC＝BE.
∴∠EDB＝∠EBD.
又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，
即∠ABC＝90°. ∴BC 与 ⊙O 相切．
例9 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上， OA = 1，∠AOC = 120°，∠1=∠2，求扇形 OEF 的面积？
解：∵四边形 OABC 为菱形
∴OC = OA = 1
∵ ∠AOC = 120°，∠1 =∠2
∴ ∠FOE = 120°
又∵点 C 在以点 O 为圆心的圆上
考点四 弧长与扇形面积
8. 一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 .
40 cm
针对训练
9. 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合，
点 C 到达点 C' 的位置.连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为 .
∴正方形 ABCD 的边长为 .
例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为______.
考点五 圆内接正多边形的有关计算
10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的 ⊙O，四边形 EFGH 是正方形．
(1) 求正方形EFGH的面积；
解：(1) ∵正六边形的边长与其半径相等，
∴EF = OF = 5.
∵四边形 EFGH 是正方形，
∴FG = EF = 5，
∴正方形EFGH的面积是 25.
针对训练
(2) ∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE = 60°.
∵正方形的内角是 90°,
∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60°+90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF= （180°-∠OFG）
= （180°-150°）=15°.
(2) 连接 OF、OG，求 ∠OGF 的度数．
例11 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别交于 A，B 两点，连接 AP 并延长分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E，连接 DC 并延长交 y 轴于点 F，若点 F 的坐标为(0，1)，点 D 的坐标为(6，﹣1).
(1) 求证：CD = CF；
(2) 判断⊙P 与 x 轴的位置关系，
并说明理由；
(3) 求直线 AD 的函数表达式.
考点七 有关圆的综合性题目
解：(1) 证明：过点 D 作 DH⊥x 轴于H，
则∠CHD =∠COF =90°，如图所示.
∵点 F（0，1），点 D（6，-1），∴ DH = OF = 1.
∵∠FCO =∠DCH，
∴△FOC≌△DHC.
∴CD = CF.
(2) ⊙P与 x 轴相切.理由如下：
连接 CP，如图所示.
∵AP = PD，CD = CF，∴CP∥AF.
∴∠PCE = ∠AOC = 90°.
∴⊙P 与 x 轴相切.
(3) 由 (2) 可知 CP 是 △ADF 的中位线.
∴AF = 2CP.
∵AD = 2CP，
∴AD = AF.
连接 BD，如图所示.
∵AD为 ⊙P 的直径，
∴∠ABD = 90°.
∴BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1.
设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF
= AD－(OB + OF) = x－2.
Rt△ABD 中，由勾股定理，得
AD2=AB2+BD2，即 x2 = (x－2)2 + 62，
解得 x = 10.
∴OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴点 A(0，－9).
设直线 AD 的函数表达式为 y=kx+b，
把点 A(0，－9)，D(6，－1) 代入，得
解得
∴直线AD的函数表达式为 .
圆
圆的有关性质
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距(圆心到弦的距离)，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
圆的概念
圆的对称性
圆
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
点与圆的位置关系
点在圆内：
r ＜ d ＜ R
直线与圆的位置的关系
添加辅助
线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式
见教材章末练习

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