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2024-2025学年度第一学期北师版九年级数学期末模拟检测卷（含答案）
试题范围：九年级上册 + 九年级下册1、2章。
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。
满分 150 分， 考试时间为 120 分钟。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。）
1．世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
2题图 5题图 7题图
A． B． C． D．
3．拋物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
6．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
8．已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，则线段的长度是（ ）
9题图
A． B． C． D．
10．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上存在四个“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．）
11．如果，那么锐角α的度数是　 　．
12．在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，估计这个口袋中白球的数量为 　 　个．
13．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且∠AOB＝90°，则tanB的值为 　 　．
14题图 15题图
15．如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为 ．
三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（7分）计算： ．
17．（7分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0； （2）x2﹣6x+5＝0．
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE，CF．求证：∠AEB＝∠F．
18题图
19．（8分）如图，在中，为边上一点，．
19题图
(1)求证：∽ ；
(2)若，求的长．
（8分）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量
（结果精确到；参考数据：）
20题图
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．
21．（9分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图

初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图

(1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人；
(4)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
22.（10分）某超市推销一种大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每天可销售100袋．为了吸引更多顾客，该超市采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为袋．
（1）求出与x的函数关系式；
（2）设该超市每天获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该超市决定从每天利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每天利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内．
（）点的坐标为 ；
（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式；
（3）在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，．
（）求b，c的值；
（2）如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标；
（3）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为，求此时的值．
25．（12分）综合实践课上，老师带领同学们进行如下操作、探究：
第一步：将长宽比为的矩形纸片（）的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：连接，沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，然后把纸片展平，连接并延长，交于点；
【问题解决】
（）与的数量关系为________，位置关系为________；
【问题拓展】
第三步：如图②，沿剪裁，得到四边形，将沿翻折，点的对应点恰好落在上．
（）请判断并说明与的数量关系；
【拓展研究】
第四步：如图③，是上一点，将沿翻折得到，与交于点．
（）已知，当是直角三角形时，直接写出线段的长．
参考答案
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B A C C B C D A
填空题
11. 60° 12. 18 13. -3 14. 2 15. 12或
解答题
16. （7分）解：
………………4分（一个点一分）
．………………7分
17.（7分）（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；………………3分（方法不唯一）
（3）x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝5，x2＝1；………………7分（方法不唯一）
18.（7分）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，………………2分
∴∠A＝∠CBF，………………3分
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），………………6分
∴∠AEB＝∠F．………………7分
19.（8分）（1），，
………………4分
（2），
，…………………6分
，，
．………………8分
20.（8分）（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H，
，
，………………2分
，
答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为．………………3分
（2）解：过点C作于点P，于点K，
，
，
，………………5分
，
，………………7分
，
答：棚顶边缘点E到地面的距离为．………………8分
21.（9分） （1）120； ；………………2分（每空一分）
（2） ………………3分
（3）（人），
答：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；………………5分
（4）画树状图，如图所示，
………………7分
共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为．………………9分
22.（10分）
解：（1）由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；………………3分
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝70时，w最大，最大值4500，
答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；………7分
（3）根据题意得：（x﹣40）（﹣5x+500）﹣500＝3875，
解得x1＝65，x2＝75，
为了让消费者获得最大的利益，
∴x＝65，
答：此时大米的销售单价是65元．………………10分
23.（10分）（1）………………3分
（2）由题意，得正方形沿轴向上平移了个单位长度．
点的坐标为，的坐标为，
和的坐标分别为，，………………4分
设点，落在反比例函数的图像上，
则，解得，………………6分
所以解得，
即这个反比例函数的表达式为；………………7分
满足要求的点的坐标为或或………………10分
（12分）
（1）解：，
，，
．
把代入，
得，
解得，
，c的值分别为，………………4分
（2）P由（1）知抛物线的解析式为．
设，则．
由，，
设直线直线BC的解析式为，
则
解得
∴直线的解析式为，………………5分
，
，．
，
，
整理，得，
解得，（舍去）．
当时，，
，
即当时，点P的坐标为．………………8分
（3）由（1）知抛物线的解析式为，
则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
当时，，
当时，．
当，即 时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值是，
，解得（舍去）或（舍去）；
综上所述，此时m的值为或2．………………12分（方法不唯一）
25.（12分） （1），；………………4分
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∵是矩形，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
设
∴ ∴
由（）得
∴
∵
∴ ，
∴，
∵，
∴；………………8分（方法不唯一）
（）的长为或．………………12分
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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