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2025年河南中考总复习中考备考交流
数学学科板块备考研讨交流
“综合与实践”副标题
01
综合与实践命题分析
综合与实践以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标，根据不同学段学生特点，以跨学科主题学习为主，适当釆用主题式学习和项目式学习的方式，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题。
初中阶段综合与实践领域，可釆用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力。
（1）在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、 函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成“会用数学的眼光观察现实世 界"的核心素养。
（2）用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程，提升思维能力，逐步形成“会用数学的思维思考现实世界"的核心素养。
（3）用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程，感悟科学研究的过程与方法，感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效，积累数学活动经验，逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养（例89至例91）。
【内容要求】
数与代数（函数）
图形与几何（图形与坐标）
统计与概率（统计）
经历项目式学习的全过程。能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案; 能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义，反思模型的合理性，最终得到符合问题背景 的模型解答。
在这样的过程中，理解数学，应用数学，形成和发展应用意识、模型观念等；提升获取信息和资料的能力、自主学习或合作探究的能力；提升撰写研究报告的能力和语言表达能力。整合数学与其他学科的知识，完成跨学科实践活动，感悟数学与生活、数学与其他学科的关联，发展学习能力、实践能力和创新意识。
【学业要求】
序号 2024年综合与实践 项目式学面几何探究性综合
1 2024 淄博 用科学计算器计算教学楼高度 以“圆”为主题开展研究性学习，探究直线与圆的位置关系，线段最值，线段之比定值
2 2024 淮安 角平分线背景，探究AB、AC、BD、CD的数量关系
3 2024 南通 围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动，探究两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系
4 2024 巴中 四边形剪拼成特殊四边形，探究线段关系，判定平行四边形
5 2024 宁夏 三角形内外角平分线，探究线段数量关系，角数量关系。
6 2024 济宁 矩形折叠，探究四边形形状，角的三角函数值，线段之积相等。
7 2024 兰州 以特殊三角形为背景，探究线段相等，四边形的形状，线段之和最值
8 2024 通辽 “综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度
9 2024 青海 中点四边形，探究其形状余对角线的关系
10 2024 泰安 矩形和平行四边形折叠中，探究线段成比例
11 2024 广东 滤纸与漏斗，探究滤纸是否能紧贴此漏斗内壁，以及漏斗的体积。
12 2024 吉林 板凳中的数学”的项目式学习研究，以对称轴为基准向两边各取相同的长度与凳面的宽度之间的函数关系式，画函数图象。
13 2024 绥化 以三角形旋转为背景，探究线段之间的关系，三角形周长是定值。
14 2024 齐齐哈尔 以赵爽玄图为背景，探索线段数量关系，线段长
15 2024 湖北 测量校园中树AB的高度，在提供的两种方案中任选一种，计算树AB的高度
16 2024 广西 洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略
17 2024 天津 测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度
18 2024 河南 新定义图形，探究新定义图形的性质，角相等，线段相等。
19 2024 贵州 学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习，求线段长
20 2024 山西 矩形花园中，利用抛物线与线段分割种植植物，求抛物线解析式，求线段长，求满足矩形周长最大值
21 2024 威海 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
22 2024 安徽 两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考
23 2024 眉山 三角形旋转，探究重叠面积是否发生变化
24 2024 江西 三角形旋转，探究线段数量关系与位置关系，探究线段之间的关系
25 2024 达州 以“三汇彩亭会”为背景求线段长
序号 2024年综合实践 项目式学习
1 2024 淄博 用科学计算器计算教学楼高度（解直角三角形）
2 2024 通辽 “综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度（解直角三角形）
3 2024 广东 滤纸与漏斗，探究滤纸是否能紧贴此漏斗内壁，以及漏斗的体积。（重在阅读理解，把实际问题转数学问题，涉及三角形相似，圆锥体积，弧长，勾股定理）
4 2024 吉林 “板凳中的数学”的项目式学习研究，以对称轴为基准向两边各取相同的长度与凳面的宽度之间的函数关系式，画函数图象。（画函数图象，一次函数的应用，待定系数法）
5 2024 湖北 测量校园中树AB的高度，在提供的两种方案中任选一种，计算树AB的高度。（解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题）
6 2024 广西 洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略（重在阅读理解，把实际问题转数学问题，涉及百分数的计算）
7 2024 天津 测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题）
8 2024 贵州 学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习，求线段长（等腰三角形的性质，解直角三角形）
9 2024 山西 矩形花园中，利用抛物线与线段分割种植植物，求抛物线解析式，求线段长，求满足矩形周长最大值（重在阅读理解，把实际问题转数学问题，涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键）
10 2024 威海 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角（解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的判定与性质）
11 2024 安徽 两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考（频数分布直方图，样本估计总体，频数分布表，加权平均数、中位数、众数以及极差，解题的关键是读懂图象信息）
12 2024 达州 以“三汇彩亭会”为背景求线段长（解直角三角形）
阅读→理解→猜想结论或判定结论→类比探究（特殊到一般）→得出一般结论→拓展应用
推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯。推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。
定义为平面几何探究性综合试题，重点突出三个核心素养具体表现。
空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。
创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题。初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题。创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神。
1.素养导向，开放创新
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》指出，评价不仅要关注学生知识技能的掌握，还要关注学生对基本思想的把握、基本活动经验的积累；不仅要关注学生分析问题、解决问题的能力，还要关注学生发现问题、提出问题的能力，全面考核和评价学生核心素养的形成和发展。本题一改历年着重考查知识技能的惯例，设置“新定义”几何探究题。第（1）问，仅由题目中的“新定义”便能解答，考查学生阅读理解能力、观察能力及类比能力；第（2）问，设置半开放性问题，探究图形的性质，是对学生发现问题、提出问题能力的考查，在运用多种解法分析和解决问题的过程中，体现试题的灵活性、创新性、开放性和探究性，有助于发展学生的创新能力（猜想结论，并证明）；第（3）问，是对图形性质的应用。三问环环相扣，浑然一体，完整且系统地考查几何图形的一般研究思路，即“定义一判定一性质一应用”，有效地考查学生的抽象能力、几何直观、推理能力、模型观念等核心素养，与新课标理念高度契合。
2.简而不凡，彰显思维
《课标（2022年版）》指出，试题的命制要若重减少单纯考查技能的题目，注重考查学生的思维过程，避免死记硬背、机械刷题。提到中考几何压轴题，学生的印象就是难、繁、杂，容易心生畏惧，原因在于缺乏对复杂图形结构的分析能力。本题图形简洁明了，题干叙述新颖简约，可以极大地激发学生持续探究的欲望，适合不同学习程度的学生作答，问题设置有梯度，看似简单却暗含灵活又深刻的思维方式。第（1）问需要凭借“新定义”作出判断，提炼定义中的关键词（理解定义），体现抽象的思维方式。第（2)问探究“邻等对补四边形”对角线的性质，考查全等三角形的性质和判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质和判定等基础知识及技能，解法灵活多样，使学生经历观察、比较、分析、综合、概括、判断、推理等思维过程，发展思维的深刻性、发散性及灵活性。第（3）问需要画出符合条件的图形，运用前面的结论构造方程，涉及分类讨论思想、从一般到特殊思想、转化思想、方程思想等数学思想方法，充分体现试题的思维含量。
3.关注通性，探寻本质
《课标（2022年版）》指出，以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养。从本质上看，试题的核心是对“新定义”的准确理解，剖析出定义中两个重要条件—“邻边相等”对角互补”，对第（1）问作出判断，再根据几何的研究经验，自然联想到学习几何的通用方法“观察一测量一猜想一证明”，进而在第（2）问探究其对角线的性质时，可以通过测量得到∠ACB=∠ACD。接着论证猜想，问题转化为证明两个角相等，从多个视角建立数学模型，包括构造全等三角形、利用角平分线的判定构造到角两边的距离、构造平行线、构造圆（解法多样）。第（3）问构造等腰直角三角形，利用相似三角形、锐角三角函数，这些解法都是立足基本几何图形，解题思路清晰明了，真正体现通性通法，回归数学本质。
1.图形变换基本的认识；
2.轴对称的性质简单应用；
3.解直角三角形（三角函数）简单应用；
4.三角形中位线；
5.平行线的性质。
1.直角边等于斜边的一半，则直角边所对的角为30°；
2.角平分线的判定定理；
3.三角形全等的判定与性质；
4.勾股定理；
5.分类讨论。
1.三角形全等判定与性质；
2.解直角三角形；
3.二次根式的化简。
年份 平均分 难度系数 及格率（60%） 72分 低分率（40%） 48分 优秀率（85%） 102分 满分人数
2024 84.79 0.70 73.24% 15.23% 37.58% 485
2023 86.39 0.72 73.61% 13.87% 42.38% 319
2022 85.08 0.71 ７5％ １4％ ４0％ 2853
2021 86.84 0.72 76.73% 13.49% 39.25% 586
2020 76.66 0.63 63.64% 19.1% 20.89% 186
2019 78.55 0.65 67.75% 16.56% 22.24% 434
2018 80.17 0.67 70.58% 15.63% 22.07% 231
2017 80.45 0.67 73.96% 14.22% 25.69%
02
综实整体备考的策略
备考的主要环节及关键词
环节
专题分类
基于需要
精选例题
发现问题
集中解惑
二次反馈
需要哪些专题
哪些学生需要
中考几何压轴题分类
维度一 题干条件的处理
类型一 与角度相关的条件
类型二 与线段相关的条件
类型三 面积与线段关系的转换
类型四 与圆相关的条件
已知倍角，构造等腰三角形
已知角平分线，构造等腰三角形或全等三角形
已知中点，构造三角形中的特殊线段
已知中点，倍长中线或类中线构造全等三角形
等面积转换
面积比例关系与线段比例关系的转换
圆中产生的射影定理
已知相交弦，构造相似三角形
已知双割线与切割线，构造相似三角形
维度二 高频设问的处理
类型二 面积平分问题
类型一 线段的和差倍分问题
类型三 利用“垂线段最短”解决最值问题
类型四 利用“两点之间线段最短”解决最值问题
中心对称等分面积
利用中线平分三角形面积
一定一动
两动一定（作对称）
一定两动（胡不归）
“一点两线”与“两点两线”型
“两定点一定长”型
“一线两点”型（将军饮马）
截长补短构造全等三角形解决线段的和差问题
构造相似三角形解决线段比例关系问题
构造直角三角形解决关于 ， 倍线段关系问题
返回
维度二 高频设问的处理
点圆最值
线圆最值
阿氏圆问题
类型六 由点的位置不确定产生的多解问题（分类讨论）
类型五 与圆有关的最值问题
类型七 由图形形状不确定产生的多解问题（分类讨论）
所作图形顶点位置不确定
点在线段（直线）上的不同位置
旋转引起的点位置不确定
折叠（对称）引起的点位置不确定
平移引起的点位置不确定
直角三角形已知两点求第三点的分类讨论
特殊四边形存在性的分类讨论
等腰三角形已知两点求第三点的分类讨论
维度三 常见图形的构造
类型二 定点定长作圆及四点共圆
类型一 “主从联动”图形的轨迹判断
类型三特定角度产生隐形圆
类型四 全等与相似三角形的构造
定点定长产生隐形圆
同侧等角产生四点共圆
对角互补产生四点共圆
动点轨迹为圆的“主从联动”模型
动点轨迹为直线的“主从联动”模型
定边对定角
定角夹定中线
定角夹定高
十字模型
一线三等角模型
手拉手模型
对角互补
半角模型
序号 2024年综合实践 项目式学面几何探究性综合
1 2024 淄博 用科学计算器计算教学楼高度 以“圆”为主题开展研究性学习，探究直线与圆的位置关系，线段最值，线段之比定值
2 2024 淮安 角平分线背景，探究AB、AC、BD、CD的数量关系
3 2024 南通 围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动，探究两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系
4 2024 巴中 四边形剪拼成特殊四边形，探究线段关系，判定平行四边形
5 2024 宁夏 三角形内外角平分线，探究线段数量关系，角数量关系。
6 2024 济宁 矩形折叠，探究四边形形状，角的三角函数值，线段之积相等。
7 2024 兰州 以特殊三角形为背景，探究线段相等，四边形的形状，线段之和最值
8 2024 通辽 “综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度
9 2024 青海 中点四边形，探究其形状余对角线的关系
10 2024 泰安 矩形和平行四边形折叠中，探究线段成比例
11 2024 广东 滤纸与漏斗，探究滤纸是否能紧贴此漏斗内壁，以及漏斗的体积。
12 2024 吉林 板凳中的数学”的项目式学习研究，以对称轴为基准向两边各取相同的长度与凳面的宽度之间的函数关系式，画函数图象。
13 2024 绥化 以三角形旋转为背景，探究线段之间的关系，三角形周长是定值。
14 2024 齐齐哈尔 以赵爽玄图为背景，探索线段数量关系，线段长
15 2024 湖北 测量校园中树AB的高度，在提供的两种方案中任选一种，计算树AB的高度
16 2024 广西 洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略
17 2024 天津 测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度
18 2024 河南 新定义图形，探究新定义图形的性质，角相等，线段相等。
19 2024 贵州 学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习，求线段长
20 2024 山西 矩形花园中，利用抛物线与线段分割种植植物，求抛物线解析式，求线段长，求满足矩形周长最大值
21 2024 威海 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
22 2024 安徽 两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考
23 2024 眉山 三角形旋转，探究重叠面积是否发生变化
24 2024 江西 三角形旋转，探究线段数量关系与位置关系，探究线段之间的关系
25 2024 达州 以“三汇彩亭会”为背景求线段长
序号 2024年综合实践 平面几何探究性综合
1 2024 淄博 以“圆”为主题开展研究性学习，探究直线与圆的位置关系，线段最值，线段之比定值
2 2024 淮安 角平分线背景，探究AB、AC、BD、CD的（线段）数量关系
3 2024 南通 围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动，探究两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的（线段）数量关系
4 2024 巴中 四边形剪拼成特殊四边形，探究线段数量关系（线段之比为1），平行四边形判定（线段数量关系与位置关系）
5 2024 宁夏 三角形内外角平分线，探究线段数量关系，角数量关系。
6 2024 济宁 矩形折叠，探究四边形形状，角的三角函数值（线段之比），线段之积相等（数量关系）。
7 2024 兰州 以特殊三角形为背景，探究线段相等，四边形的形状，线段之和最值
9 2024 青海 中点四边形，探究其形状余对角线的关系（对角线相等，对角线垂直）
10 2024 泰安 矩形和平行四边形折叠中，探究线段成比例
13 2024 绥化 以三角形旋转为背景，探究线段之间的关系，三角形周长是定值。
14 2024 齐齐哈尔 以赵爽玄图为背景，探索线段数量关系，求线段长
18 2024 河南 新定义图形，探究新定义图形的性质，角相等，线段相等。
23 2024 眉山 三角形旋转，探究重叠面积是否发生变化（面积是定值）
24 2024 江西 三角形旋转，探究线段数量关系与位置关系，探究线段之间的关系
精选符合河南考情的例题
省市 背景 核心问题 核心知识 数学思想方法 变换 辅助线
2024 淄博 以“圆”为主题开展研究性学习 判定是切线； 求线段最值（转化为函数）； 线段成比例转化为三角形相似（或平行线截线段成比例） 直径所对的圆周角是90°；同弧所对的圆周角相等；旋转性质（三角形全等）， 转化角两次；转化线段两次 旋转 连接圆心与圆上的点，出现半径，证明切线
2024·淮安 以“角平分线”为主题开展探究 线段成比例 三角形相似，平行线截线段成比例 构造相似三角形 或构造平行线 平行线，构造等角，特殊角放在直角三角形中，构造垂线
2024·南通 以“角平分线”为主题开展探究 线段之和与线段之积的数量关系 等腰三角形性质，角平分线性质，解直角三角形，三角形等面积法。 面积关系转化线段关系 特殊角放在直角三角形中，构造垂线
2024·济宁 矩形中折叠 折叠中探究变化中的不变，正方形判定，角的正切不变，线段乘积相等。 折叠前后的两个图形全等 转化线段之积为线段成比例 折叠 构造与所求角的直角三角形，构造三角形全等的三角形
2024·青海 中点四边形 中点四边形的形状判定 特殊四边形的判定，三角形中位线应用
2024·兰州 线段旋转 线段相等，平行四边形判定，线段之和最短长度 三角形全等，两点之间线段最短 不共点的两条线段转化为共点的线段 旋转 平移，即作平行线
2024·泰安 四边形折叠 线段成比例 三角形相似 转化，不构成相似三角形的线段转化为能构成三角形的边。 折叠 构造相似三角形
2024·江西 三角形旋转，点轴对称 探究线段关系（位置、数学），正方形面积与线段关系。 三角形全等，三角形相似，正方形判定 转化线段和角 旋转 特殊角放在直角三角形，构造垂线段
2024·眉山 三角形旋转 探究重叠面积是否发生变化 三角形全等， 转化面积，特殊到一般 旋转 特殊角放在直角三角形，构造垂线段，把不规则转规则图形，构造规则图形。
2024·河南 新定义图形 探索新定义图形的性质 三角形全等，三角形相似 分类讨论 对称、旋转 构造全等三角形，作等线段，或转化角作等腰三角形
2024·齐齐哈尔 一线三垂直模型 探究线段数量关系 三角形全等，三角形相似（平行线截线段成比例） 转化线段 旋转 构造含有三角函数的直角三角形
2024·绥化 三角形旋转 探究线段之间的关系，三角形周长是定值 三角形相似 特殊一般思想 旋转 15°转化为特殊角30°，作外角
2024·巴中 三角形旋转 探究四边形形状 三角形全等，平行线判定，三角形中位线，三角形全等判定与性质，矩形的判定 转化角 旋转 三角形中位线，三角形全等
2024·宁夏 三角形内角和外角平分线 两角之间的数量关系，两线段的数量关系，三线段之间的关系。 三角形全等判定，等腰三角形性质 转化（等量代换） 旋转
线段数量关系和位置关系，通过线段数量和位置关系判定四边形的形状，有线段构成的周长、面积的定值，线段最值等。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系（数量关系与位置关系）和规律（变化中找不变或变化是有规律的）。
线段数量关系；线段的位置关系，与线段有关的周长、面积、线段之比、线段之积为定值；线段长、与线段有关的量有最值。
空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。
推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯。推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。
创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题。初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题。创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神。
发现问题 集中解惑
1.做中学，让学生说题，暴露问题；
2.提前做，教师批改，发现问题。
3.课堂教师集中组织解惑，形成解决问题的一般方法。
第三部分，具体介绍。
二次反馈 了解复习效果
1.重在选题：平面几何探究性综合试题，多含图形变换、分类讨论
2.独立解决，真实反馈，全面反馈。
年份 题号 分值 图形背景 试题特点 辅助线
2024年 第23题 10 邻等对补四边形新定义为背景，作判断，求证角相等，求满足条件线段长。 相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理 作辅助线，构造全等三角形、相似三角形。
2023年 第23题 10 以两次轴对称为背景，求线段长，求满足条件的线段长 轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形 做辅助线构造直角三角形
2022年 第23题 10 “矩形的折叠”为主题开展数学活动，求出角的度数，求满足条件的线段长。 矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质 作辅助线构造直角三角形
2021年 第23题 10 探究用不同方法作一个角的平分线，求证三角形全等，两角相等，求线段长（表示）。 角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次根式的化简，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论 作辅助线构造全等三角形
线段相等
边边边
边角边
角边角
角角边
HL（直角三角形）
轴对称（折叠三角形）
旋转（手拉手模型）
平移
图形变换
三角形全等判定
等角对等边
两线合一
三角形全等
线段垂直平分线
角平分线
平行四边形
等腰三角形
平行四边形
边、角、对角线、对称性
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一个组邻边相等
四边形
边（3），对角线（1）
边（2），角（1）对角线（1）
转化（三角形）
有一个角是直角
对角线相等
三个角是直角
四条边都相等
有一组邻边相等
对角线垂直
边、角、对角线、对称性
线段成比例
“边边边”
“角角”
“边角边”
HL（直角三角形）
图形变换
三角形相似判定
位似图形（三角形）
旋转（手拉手）
线段之积相等
左比右等于左比右
上比下等于上比下
对应线段成比例
三角形相似
三角形中位线
平行线截线段成比例
线段最值
线段最大值
线段最小值
“胡不归”问题
BC+kAC的最小值
“阿氏圆”问题
PA+kPB的最小值
圆外一点到圆上的点的距离，过圆心时，出现最值（大）
两点之间线段最短
点到直线的距离垂线段最短
代数式表示线段，利用函数确定最值
圆外一点到圆上的点的距离，过圆心时，出现最值（小）
将军饮马模型
03
备考案例展示与交流
以旋转为例如何开展备考
考点分析：
课标要求：
（1）图形的旋转
①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
（2）综合与实践
2011版课标：综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动
2022版课标：初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其它学科的知识思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力。
学情分析：
1. 好的方面：
九年级学生，已经完整学习了初中数学的所有知识，对旋转的定义、性质、作图以及应用有了初步的认知；对常见的数学结构和数学模型，也有一定的积累，具有较好的几何直观、数学运算、推理证明的能力。
九年级的学生，经历了大量的小组活动经验，具备了一定的观察、猜想、分析、验证、推理、应用的能力，能够从现实问题中抽象出数学的结构和模型，并运用所学结构和模型解决实际问题。
2. 不足之处：
（1） 数学的定义、定理不能准确表述，从而不能准确运用数学的知识方法解决问题；例如在实际教学中，很少有学生能够准确表达旋转的概念、旋转的性质，不能正确进行旋转作图。
（2） 对综合性的探究问题，部分学生存在畏难情绪，遇到这类问题，不知道如何读题、如何作图、分析、推理；还有部分学生能够解决其中的一种情况，但是会忽略另外一种情况。
（3） 有的学生对几何模型存在机械记忆的情况，只会记而不理解，不能运用数学的知识方法解决实际问题。
题型分析：
作为考查综合与实践的压轴题，要起到一定的区分度，所以对学生来说是比较难的，根据学生的实际情况，学生看到图形会有一定的熟悉感，但是要证明的两条线段之间的数量关系并不是常见的，所以会无从下手。
因此，第一问设置的时候采用了从特殊到一般的思想方法，学生能够从特殊情况猜想结论，此时，就相当于给学生一把“梯子”，通过这个“梯子”，让更多的学生有可能把试题做出来。
第二问学生要解决，就需要借助第一问的结论，进行猜想、验证，从而抽象基本的数学模型，并在图中构造模型解决问题。
第三问在前面基础上，要求学生能够综合已有的知识、方法，结合本题探究得到的模型，解决与面积有关的问题。学生能够联想到模型，并运用前两问的结论解决问题，是本题的关键。
试题设计
学具准备：三角板、正方形纸片
试题1： 请同学们拿出制作好的正方形纸片和我们常用的等腰直角三角形的三角板，让等腰直角三角形的直角顶点和正方形的一个顶点重合，接下来固定正方形纸片，在等腰三角形板绕这个顶点旋转时，你能发现其中的数学模型吗？把你的发现画出来，并探究你得到的结论。
设计意图：综合与实践要求给学生体验项目式学习的完整过程，而通过给学生提供真实的学习情境，有助于学生在活动中理解旋转，借助旋转抽象数学模型，试题1从学生最熟悉的旋转全等入手，能够让更多的学生都参与进来。
试题2：接下来，固定正方形不动，平移等腰直角三角板的位置，你还能得到哪种特殊的图形吗？你能从中抽象出数学模型吗？
设计意图： 通过让学生观察、思考、动手做，体验数学的学习乐趣，例如有的同学可以通过平移方式，得到特殊的图形，从而抽象出对角互补模型。
试题3：继续保持正方形不动，如果我们让等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的一个顶点重合，当等腰直角三角板旋转的过程中，你有什么发现？你能把你得到的图形画出来吗？观察你画出的图形，其中蕴含着什么样的数学模型吗？
设计意图：通过改变等腰直角三角板和正方形的相对位置，学生能够进一步探究图形旋转过程中的结论，通过不断地变化，吸引学生去用数学的眼光观察现实世界、用数学的语言表达现实世界、用数学的思维思考现实世界。
试题4：经过前面的探索，我们一起来看这样一道题，请你自主思考，独立解决。综合与实践：
【问题情境】数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究.如图1，小智同学首先制作了一个正方形纸片ABCD，其次将等腰直角三角板AEF的锐角顶点和正方形的顶点A重合，当三角板AEF绕着正方形的顶点A旋转时，直线AE、AF分别交射线DB、DC于点M、N，探究AM和AN的数量关系。
【特例猜想】（1）如图2，小智发现，当三角板旋转到点N和点D重合时，线段AM和AN的数量关系式为___________；
【数学思考】（2）小智认为可以从特殊情形可以归纳一般结论，你是否认可小智的结论？请你选择图1或图3其中一种情况进行证明；
【拓展探究】（3）若正方形ABCD的边长为6，当△ABM的面积也为6时，直接写出△AND的面积。
用第二问的结论
解决问题的常用方法
2.做第（2）问，思考第（1）问题做了什么样的铺垫，类比进行探究。
1.猜想从特殊情况开始，在特殊情况中，获得的方法（包含所用的知识），一定用到一般情况中。
3.做第（3）问时，思考第（2）的结论如何用，如果用还缺少哪些条件，进行补充再应用。
4.熟悉一些数学中的几何模型（数学活动经验），有一定的数感。
5.把特殊角（30°、45°、60°）放在直角三角形中应用。
1.∠AEB与∠ACB可以建立什么样的联系？
∠AEB=180°-∠4-∠ADE
∠ACB=180°-∠1-∠BDC
∠4+∠3=∠1+∠2+∠ACB
180°-∠4-∠AEB=180°-∠1-∠ACB
∠4=∠1+ ∠ACB
∠AEB= ∠ACB
内角
外角
真不会时的方法：找特殊图形
（特殊与一般的关系）
2.∠ACB=90°对结论1是否有影响？如果有影响，有什么样的影响？
∠AEB= ∠ACB=45°
∠BEG=45°
3.猜想AE与EG的数量关系？
AE=EG
4.如何证明AE=EG
△BAE≌△BGE
5.前面铺垫的结论是什么？
∠AEB=∠ACB=45°；AE=EG
证明推理的思路与方法也是结论。
6.如何证明AH=GF （希望每一个问题指向一般方法）
△AEH≌△GEF
∠F=∠H
7.看到 AE，你能想到什么？
以AE为等腰直角三角形直角边的斜边
数感或活动经验
8.证明两条线段之和与第三条线段的等量关系常用方法？
FN、NH、AG放在一条直线上，在一条线段上。
AN=AG+GN
NH=GN
AN=FN（等腰直角三角形）
万维能力点3
1.通过条件的描述，你的发现？
两个相似的三角形共对应顶点，“手拉手”模型。
新组成的两个对应三角形也相似，如图，△ACB∽△BCE
①当m=1时，相似三角形的相似比为1，即两个三角形全等。
新组成的两个对应三角形也全等，如图，△ACB≌△BCE(SAS)
②当m≠1时，相似三角形的相似比为m，即两个三角形相似。
新组成的两个对应三角形也相似，如图，△ACB∽△BCE(“SAS”)，相似比为m
△ACE旋转90°到△BCE.
每条边都旋转90°
夹角为90°，这是学生容易忽视的一点。
旋转“手拉手”→全等（相似）→对应边相等（成比例），对应角相等。
增加难度，不直接告诉学生，“转化”让明显的条件隐形化。
求证∠1+∠2=90°
已知←∠3+∠2=90°
←∠3=∠1
学生如果明白“特殊到一般”的数学思想方法，或归纳法，应该直接猜想出结论。
尤其，类比迁移，类比有两个思路，一是所用知识相同；二是所用方法相同。
特殊情况：∠2+∠3=90°
∠1=∠3（全等三角形对应角相等）
∠1+∠2=90°
一般情况：∠2+∠3=90°
∠1=∠3（相似三角形对应角相等）
∠1+∠2=90°
判断四边形CDFE是正方形，转化为求正方形的边长与x之间的联系。
BF=2，观察CB⊥BF，利用E、B、F、D四点共圆，可以说明∠CBF=90°；也可以利用（1）的结论，∠EBD=90°，连接CF，交ED于点O，则OB=OE=OC=OF=OD，说明∠CBF=90°。
勾股定理求CF，CD便知，放在直角三角形CHD中，勾股定理求x。
把AD转化为正方形的边长，∠A=45°，过点D作AC的垂线（？），垂足为H。
表示出DH，CH，勾股定理表示CD，即表示出正方形面积y。
一线三等角模型
三角形全等或三角形相似或勾股定理
△AOH∽△BGO→
如何猜想这个定值？
思路：特殊情况作出猜想，一般情况进行推理。
AO=AH=BO=BG=
HC=GC=2-
相似或勾股定理求周长
思路：这个值与（1）的关系式有何关系？
逆向思维
代数推理
tan75°和tan15°的值，优秀学生可以自行探究，鼓励记住。
一般方法，15°转30°，构造外角。
两角互余，正切互为倒数
思路：15°转化为30°
变→不变，数学研究的就是变化中的不变，或变化是有规律的，要研究规律。
用特殊作猜想，利用一般推导结论。
从第（1）问到第（2）问，是什么样的变化？
→等腰直角三角形
→BC
求证BE+DF=BC
已知BE+EC=BC
←EC=DF
←△DOF≌△COE（ASA）
重叠的四边形是什么形状，是不是规则图形？
特殊角（45°和30°）放在直角三角形中,作垂线段NH
参考数据具有提示作用，构造15°的角，过O作OG⊥BC，∠GON=15°，解直角三角形求NG，BN。
线段相等：空间观念
证明线段相等：两个三角形常证两个三角形全等；
一个三角形，常证等腰三角形，转化角。
求EF？
一是勾股定理；
二是相似；
三是解直角三角形。
常用方法：
BC=BD，BD=BN+ND，其实就是求
→转化为求相似或平行线截线段成比例
已知AC=BE=6，AB=DE=2，
求出EF，再求DF，再求DG和CG，求BG和HG，求得BN
高中常用的方法，解析法
思路？
过P作PL⊥CB，交CA于点M
tan∠BCP=
tan∠CBP=
把∠BCP放在直角三角形中
△PRB∽△PAC→
→Rt△PAC中，勾股定理，求出PA
构造含三角函数的直角三角形，Rt△BRC中，知BC和正切值，求出BR和RC
1.建立结构体系，明晰学习路径
《课标（2022年版）》指出的“注重教学内容的结构化，帮助学生建立结构化的数学知识体系，使其清楚所学知识的基本路径，学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题”。例如，学习平行四边形时，应引导学生建立整体的学习路径“概念一性质一判定一应用”，并梳理探究其性质时经历的过程“观察一操作一猜想一论证”，这对今后学习特殊四边形（菱形、矩形、正方形）有一定的迁移作用。同样地，“数与代数”领域，学完一元一次方程，建立知识结构，形成知识体系，再学二元一次方程和一元二次方程，学生的思路就更加清晰，这对于不等式及函数同样适用。
备考建议：
任务1.展示制作的单元知识结构图
少运算律
添去括号方法
少数轴
少运算律
添去括号方法
少混合运算
少运算律
添去括号方法
任务1.展示制作的单元知识结构图
建议补充运算律
知识之间的联系
建议科学分类，完善知识之间的联系。
认识负数→建立有理数的概念→探索有理数的运算法则并运用法则进行计算→
有理数和有理数的运算解决实际问题。
分类讨论
分类讨论
由线段的重点到三角形的中线和中位线，由一般三角形到直角三角形和等腰三角形，由三角形到平行四边形和圆的梳理方法，既反映了知识的发生发展脉络，也体现了从简单到复杂、由一般到特殊的研究为的思路，层层递进，环环相扣。不仅全面呈现了相关知识和方法，还揭示了它们之间的逻辑关系，有利于学生整体掌握知识，抓住内在联系，理解知识本质。
2.提炼思想方法，塑造数学思维
数学思想方法是学习数学的灵魂，贯穿数学学习的始终。多数学生认为会解题就是学会了数学，多数教师认为课堂上把知识教给学生就是目标达成，然而，随着《课标（2022年版）》的实施，试题命制形式的更新，单纯地利用知识解题已不能适应未来的数学学习。因此，教学中教师除了教学生知识，还要注重数学思想方法的挖掘和提炼，以塑造学生的数学思维品质。数学思想方法既蕴含在概念、公式、定理中，又体现在例题、习题上，例如，探索勾股定理时用到特殊到一般的思想，解二元一次方程组时渗透转化思想，圆周角定理的证明涉及分类讨论思想；教师要有意识地帮助学生提炼数学思想方法，引导其用数学的思维思考问题，逐步养成有条理、讲道理的思维品质。
3.经历知识生成，实现素养落地
《课标（2022年版）》在教学建议中指出，通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进核心素养发展。核心素养是在学生主动参与数学活动中逐步形成和发展的，具有高度的整体性、一致性和阶段性。因此，教学时要创设合适的情境，设计合理的活动，让学生经历数学知识“再发现”的过程。例如，几何定理的教学，可借助剪拼、折纸、尺规作图等数学活动，让学生在“做”中体验学习数学的乐趣，在活动中自然生成新知。代数概念的教学，如“方程”“不等式”“函数”等概念要在多个生活实例的基础上，让学生通过观察分析，抽象出共同特征，再尝试用数学的语言“起名字”“下定义”，逐步体会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，感受数学的魅力，真正实现素养落地。

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