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考点23 机械能守恒定律及其应用
【考情分析】
考情分析 考题统计
理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 2024·全国·高考物理试题 2024·北京·高考物理试题 2024·江苏·高考物理试题 2023·浙江·新课标高考物理试题 2023·全国·高考物理试题
【网络建构】
【考点梳理】
考法一 机械能守恒的理解与判断
一、重力做功与重力势能的关系
重力做功的特点
（1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关；
（2）重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
（1）表达式：Ep＝mgh.
（2）重力势能的特点
①矢标性：重力势能是标量，有正负，其正负表示大小；
②相对性：重力势能具有相对性，在计算重力势能之前必须选择参考面，参考面的选择是任意的，通常以地面作为参考面；
③系统性：重力势能是物体和地球所共有的，不是物体单独所有。如果没有地球对物体的吸引，就谈不上重力做功和重力势能了。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、弹性势能的表达
1．弹性势能
（1）定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp=Ep1-Ep2.
（3）表达式
①“化变力为恒力”求弹力做功：W总=F1△x1+F2△x2+F3△x3+F4△x4+……
②利用F-x图像：图像与x轴所围成面积的数值就是弹力做的功；
③表达式（以弹簧原长为零势点）：（x指弹簧的形变量）
机械能守恒定律
机械能：动能、重力势能和弹性势能统称机械能；
机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负，其正负表示大小；
机械能具有相对性，只有参考系和参考面确定后，机械能的研究才有意义；
机械能是状态量，对应着某一时刻或某一位置；
机械能守恒定律
内容：在只有重力（不考虑空气阻力的各种抛体运动）或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转换，总的机械能保持不变；
机械能守恒的条件
①只有重力或系统内弹力做功，物体的机械能守恒；
②除重力和系统内弹力外，物体受到的其他力不做功或其他力做功代数和为零；
机械能守恒的三种表达式
表达式 表达意义
守恒观点 系统内初末状态机械能总和相等
转化观点 系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的动能等于系统减少（或增加）的动能
转移观点 在A、B组成的系统中，A机械能的增加量等于B机械能的减少量
4．机械能守恒判断的三种方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
5. 机械能守恒条件的理解及判断
（1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
（2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒．
考法二 单个物体的机械能守恒问题
1．机械能守恒定律的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
考法三 多物体关联的机械能守恒问题
1．多物体机械能守恒问题的解题思路
2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．
（1）轻绳模型
三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．
（2）轻杆模型
三大特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
（3）轻弹簧模型
轻弹簧模型“四点”注意
①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．
②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．
③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．
④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．
【题型过关练】
题型一 机械能守恒的理解与判断
1．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．P对Q做功为零
B．P和Q之间的相互作用力做功之和为零
C．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒
D．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒
【答案】B
【详解】A．Q在P上运动的过程中，P对Q的弹力方向垂直于接触面，与 Q的位移方向夹角大于90°，则P对Q做功不为零。故A错误；
BCD．Q在P上运动的过程中，整个系统只有重力做功，机械能守恒，P和Q之间的相互作用力属于内力并且等大反向，二者在力的方向上发生的位移相等，所以做功之和为零。系统在水平方向合力为零，即水平方向动量守恒。系统在竖直方向所受合力不为零，则竖直方向动量不守恒。故B正确；CD错误。
故选B。
2．如图所示，一异形轨道由粗糙的水平部分和光滑的四分之一圆弧部分组成，置于光滑的水平面上，如果轨道固定，将可视为质点的物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块恰好停在水平轨道的最左端．如果轨道不固定，仍将物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，下列说法正确的是（　　）

A．物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量守恒
B．物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量不守恒
C．物块到不了水平轨道的最左端
D．物块将从轨道左端冲出水平轨道
【答案】B
【详解】AB．轨道不固定时，物块在轨道的水平部分时因摩擦产生内能，所以系统的机械能不守恒；物块在轨道的圆弧部分下滑时，合外力不为零，动量不守恒，但是水平方向动量守恒，故A错误，B正确；
CD．设轨道的水平部分长为L．轨道固定时，根据能量守恒定律得mgR=μmgL
轨道不固定时，设物块与轨道相对静止时共同速度为v，在轨道水平部分滑行的距离为x．
取向左为正方向，根据水平动量守恒得0=（M+m）v，则得 v=0
根据能量守恒定律得mgR=（M+m）v2+μmgx
联立解得 x=L，所以物块仍能停在水平轨道的最左端，故CD错误。
故选B。
3．位于张家界的“百龙天梯”傍山而建，直插云霄，垂直高度达335m，运行高度为326m，被誉为世界上最高的户外电梯。若游客乘坐“百龙天梯”下山时，其距离天梯底部的高度h与时间t的关系简化图如图所示，图中段为直线，忽略重力加速度的变化，则下列说法正确的是（　　）

A．时间内，游客所受重力的功率逐渐减小
B．游客在时间内受到的支持力大于在时间内受到的支持力
C．时间内，游客的机械能逐渐减小
D．时间内，游客处于失重状态；时间内，游客处于超重状态
【答案】CD
【详解】A．根据图线的切线斜率绝对值表示速度大小可知，时间内，游客的速度保持不变，根据
可知游客在时间内重力的功率保持不变，故A错误；
BD．根据图线的切线斜率绝对值表示速度大小可知，游客在时间内的速度增大，加速度方向向下，处于失重状态，受到的支持力小于重力；游客在时间内的速度减小，加速度方向向上，处于超重状态，受到的支持力大于重力，即游客在时间内受到的支持力小于在时间内受到的支持力，故B错误，D正确；
C．时间内，天梯对游客的支持力一直做负功，游客的机械能逐渐减小，故C正确。
故选CD。
题型二 单个物体的机械能守恒问题
1．如图一所示，轻杆与水平面的倾角为，带有小孔的小球套在轻杆上，小球与轻杆之间的动摩擦因数，小球的质量。时由静止释放小球，同时对小球施加沿轻杆向上的外力F，力F与时间的关系如图二所示。重力加速度为，下列说法正确的是（ ）

A．内，小球的最大速度为
B．内小球的机械能一直在增加
C．后小球的重力势能最多增加
D．后，小球做匀减速直线运动，速度为零后，小球将处于平衡态
【答案】AC
【详解】A．内小球的加速度越来越大，速度越来越大，当小球的加速度为零时，小球的速度最大，由牛顿第二定律得
时小球的加速度，速度最大，图像与横轴围成的面积表示力F在这段时间内的冲量，所以内，
由动量定理得，解得，故A正确；
B．小球机械能的增加量，
当外力F小于时，小球的机械能开始减少，故B错误；
C．后，小球做匀减速直线运动，加速度
时小球的速度
小球沿杆向上运动的最大位移
所以后小球的重力势能最多增加，故C正确，
D．由于，所以小球速度减为零后反向沿杆做匀加速直线运动。故D错误。
故选AC。
2．现体从离地高H处的M点开始做自由落体运动，下落至离地高度为处的N点，下列能量条形图表示了物体在M和N处的动能虽和重力势能E的相对大小关系，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．由题意可知，物体重力势能变为原来的，A错误；
BC．由于机械能守恒，动能与重力势能之和应等于释放时的机械能，BC错误；
D．设释放位置所在平面为零势能面，则机械能为零，D正确。
故选D。
3．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
【答案】D
【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有，，解得，，故AB错误；
C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度，故C错误；
D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有
又在最低点，根据受力关系，解得，故D正确。
故选D。
题型三 多物体关联的机械能守恒问题
1.如图所示，将两个质量分别为m和2m的小球A和B用一根长为L的轻杆（质量不计）连接，轻杆可绕通过中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置静止释放，在杆转至竖直的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．两球的速度始终相同
B．任意一段时间内，杆对两球的冲量一定不同
C．任意一段时间内，杆对两球做的功代数和一定为零
D．B球的机械能保持不变
【答案】BC
【详解】A．杆转动过程中，两球速度大小相等，方向相反，故A错误；
B．任一时刻，杆对两球的弹力大小相等，方向相反，所以杆对两球的冲量不相同，故B正确；
C．因AB系统机械能守恒，故任意一段时间Δt内，杆对两球做的功代数和一定为零，故C正确；
D．B球从图中位置转到最低点过程中，A球转到最高点，A球的动能和势能都增大，说明杆对A球做正功，由于杆是质量不计的轻杆，所以杆对B球做负功，此过程B机械能减少，故D错误。
故选BC。
2.如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
3．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，一轻弹性绳一端系于A点，另一端与质量为m、套在光滑竖直固定杆上B点的小球相连，此时A、B在同一水平线上，且弹性绳原长恰好等于A、B间距L。现将小球从B点由静止释放，当小球下落至C点时动能最大，AC与水平方向的夹角为。已知轻弹性绳的弹力与伸长量遵循胡克定律，已知弹性绳的弹性势能为，式中x为弹性绳的伸长量，则小球的最大动能为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球下落过程先加速后减速，当加速度为0时速度最大，动能最大，此时有
解得
由能量守恒定律得
解得
故选A。
4．（2023·江苏苏州·统考三模）如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块 b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是（　　）

A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
【答案】A
【详解】A．a、b整体的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时轻杆对b的推力为零；当a到达底端时，b的速度为零，所以b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，则b的机械能先增大后减小。所以滑块a的机械能先减小后增大，故A正确；
B． b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以a对b的作用力先是动力后是阻力，所以b对a的作用力就先是阻力后是动力，所以滑块a的动能一直增大，故B错误；
C．当a的机械能最小时，b的速度最大，此时轻杆对b的推力为零，轻杆对a的作用力为零；轻杆对a的作用力先减小后增大，故C错误；
D．轻杆对a的作用力就先是阻力后是动力，滑块a的一直增大，故D错误。
故选A。
5．（2023·江苏·模拟预测）如图所示，轻质弹簧下端固定在水平面上，弹簧原长为L，质量为m的小球（可视为质点）从距弹簧上端高度为h的P点由静止释放，小球与弹簧接触后立即与弹簧上端粘连，并在竖直方向上振动。一段时间后，小球静止在O点，此时弹簧长度为，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在运动过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球第一次下落过程中速度最大位置在O点
D．
【答案】D
【详解】A．小球停止运动时，受力平衡，根据平衡条件和胡克定律得
解得，A错误；
B．由分析可知小球开始从高处下落，第一次经过O点动能不为零，最后在该位置静止，说明运动过程中有阻力作用，故小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，B错误；
C．由于小球在运动过程中有阻力作用，第一次下落过程中合力为零的位置并不在最后的静止位置，故O点不是下落过程中速度最大处，C错误；
D．小球从被释放到第一次经过最后的静止位置，根据能量守恒定律有，则，D正确。
故选D。
【真题演练】
1. （2024·全国甲卷）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）
A. 在Q点最大 B. 在Q点最小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】方法一（分析法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处（点）与圆环的作用力恰好为零，如图所示
设图中夹角为，从大圆环顶端到点过程，根据机械能守恒定律
在点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知的大小在时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
故选C。
1．（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC = 0
则小球从C到B的过程中，有，
联立有FN= 3mgcosα－2mg
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；
由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有，解得，C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
故选AD。
2．（2022·全国·统考高考真题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
【答案】C
【详解】如图所示
设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得，，联立可得，可得，故C正确，ABD错误。
故选C。
3．（2022·全国·统考高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】运动员从a到c根据动能定理有
在c点有，FNc ≤ kmg，联立有
故选D。
4．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】图中连线与水平方向的夹角，由几何关系可得
可得
设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知，解得，故D正确，ABC错误。
故选D。
5．（2021·浙江·统考高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
【答案】(1)，，水平向左；(2)（h≥R）；(3)或
【详解】(1)机械能守恒，解得
动量定理，方向水平向左
(2)机械能守恒
牛顿第二定律
解得
满足的条件
(3)第1种情况:不滑离轨道原路返回，条件是
第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前是平抛运动
其中，，则
得
机械能守恒
h满足的条件
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考点23 机械能守恒定律及其应用
考情分析 考题统计
理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 2024·全国·高考物理试题 2024·北京·高考物理试题 2024·江苏·高考物理试题 2023·浙江·新课标高考物理试题 2023·全国·高考物理试题
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考法一 机械能守恒的理解与判断
一、重力做功与重力势能的关系
重力做功的特点
（1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关；
（2）重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
（1）表达式：Ep＝mgh.
（2）重力势能的特点
①矢标性：重力势能是标量，有正负，其正负表示大小；
②相对性：重力势能具有相对性，在计算重力势能之前必须选择参考面，参考面的选择是任意的，通常以地面作为参考面；
③系统性：重力势能是物体和地球所共有的，不是物体单独所有。如果没有地球对物体的吸引，就谈不上重力做功和重力势能了。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、弹性势能的表达
1．弹性势能
（1）定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp=Ep1-Ep2.
（3）表达式
①“化变力为恒力”求弹力做功：W总=F1△x1+F2△x2+F3△x3+F4△x4+……
②利用F-x图像：图像与x轴所围成面积的数值就是弹力做的功；
③表达式（以弹簧原长为零势点）：（x指弹簧的形变量）
机械能守恒定律
机械能：动能、重力势能和弹性势能统称机械能；
机械能是标量，只有大小，没有方向，但有正负，其正负表示大小；
机械能具有相对性，只有参考系和参考面确定后，机械能的研究才有意义；
机械能是状态量，对应着某一时刻或某一位置；
机械能守恒定律
内容：在只有重力（不考虑空气阻力的各种抛体运动）或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转换，总的机械能保持不变；
机械能守恒的条件
①只有重力或系统内弹力做功，物体的机械能守恒；
②除重力和系统内弹力外，物体受到的其他力不做功或其他力做功代数和为零；
机械能守恒的三种表达式
表达式 表达意义
守恒观点 系统内初末状态机械能总和相等
转化观点 系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的动能等于系统减少（或增加）的动能
转移观点 在A、B组成的系统中，A机械能的增加量等于B机械能的减少量
4．机械能守恒判断的三种方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
5. 机械能守恒条件的理解及判断
（1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
（2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒．
考法二 单个物体的机械能守恒问题
1．机械能守恒定律的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
考法三 多物体关联的机械能守恒问题
1．多物体机械能守恒问题的解题思路
2．多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．
（1）轻绳模型
三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．
（2）轻杆模型
三大特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
（3）轻弹簧模型
轻弹簧模型“四点”注意
①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．
②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．
③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．
④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．
【题型过关练】
题型一 机械能守恒的理解与判断
1．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．P对Q做功为零
B．P和Q之间的相互作用力做功之和为零
C．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒
D．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒
2．如图所示，一异形轨道由粗糙的水平部分和光滑的四分之一圆弧部分组成，置于光滑的水平面上，如果轨道固定，将可视为质点的物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，物块恰好停在水平轨道的最左端．如果轨道不固定，仍将物块从圆弧轨道的最高点由静止释放，下列说法正确的是（　　）

A．物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量守恒
B．物块与轨道组成的系统机械能不守恒，动量不守恒
C．物块到不了水平轨道的最左端
D．物块将从轨道左端冲出水平轨道
3．位于张家界的“百龙天梯”傍山而建，直插云霄，垂直高度达335m，运行高度为326m，被誉为世界上最高的户外电梯。若游客乘坐“百龙天梯”下山时，其距离天梯底部的高度h与时间t的关系简化图如图所示，图中段为直线，忽略重力加速度的变化，则下列说法正确的是（　　）

A．时间内，游客所受重力的功率逐渐减小
B．游客在时间内受到的支持力大于在时间内受到的支持力
C．时间内，游客的机械能逐渐减小
D．时间内，游客处于失重状态；时间内，游客处于超重状态
题型二 单个物体的机械能守恒问题
1．如图一所示，轻杆与水平面的倾角为，带有小孔的小球套在轻杆上，小球与轻杆之间的动摩擦因数，小球的质量。时由静止释放小球，同时对小球施加沿轻杆向上的外力F，力F与时间的关系如图二所示。重力加速度为，下列说法正确的是（ ）

A．内，小球的最大速度为
B．内小球的机械能一直在增加
C．后小球的重力势能最多增加
D．后，小球做匀减速直线运动，速度为零后，小球将处于平衡态
2．现体从离地高H处的M点开始做自由落体运动，下落至离地高度为处的N点，下列能量条形图表示了物体在M和N处的动能虽和重力势能E的相对大小关系，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
题型三 多物体关联的机械能守恒问题
1.如图所示，将两个质量分别为m和2m的小球A和B用一根长为L的轻杆（质量不计）连接，轻杆可绕通过中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置静止释放，在杆转至竖直的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．两球的速度始终相同
B．任意一段时间内，杆对两球的冲量一定不同
C．任意一段时间内，杆对两球做的功代数和一定为零
D．B球的机械能保持不变
2.如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。

3．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，一轻弹性绳一端系于A点，另一端与质量为m、套在光滑竖直固定杆上B点的小球相连，此时A、B在同一水平线上，且弹性绳原长恰好等于A、B间距L。现将小球从B点由静止释放，当小球下落至C点时动能最大，AC与水平方向的夹角为。已知轻弹性绳的弹力与伸长量遵循胡克定律，已知弹性绳的弹性势能为，式中x为弹性绳的伸长量，则小球的最大动能为（　　）

A． B． C． D．
4．（2023·江苏苏州·统考三模）如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块 b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是（　　）

A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
5．（2023·江苏·模拟预测）如图所示，轻质弹簧下端固定在水平面上，弹簧原长为L，质量为m的小球（可视为质点）从距弹簧上端高度为h的P点由静止释放，小球与弹簧接触后立即与弹簧上端粘连，并在竖直方向上振动。一段时间后，小球静止在O点，此时弹簧长度为，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在运动过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球第一次下落过程中速度最大位置在O点
D．
【真题演练】
1. （2024·全国甲卷）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）
A. 在Q点最大 B. 在Q点最小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】方法一（分析法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处（点）与圆环的作用力恰好为零，如图所示
设图中夹角为，从大圆环顶端到点过程，根据机械能守恒定律
在点，根据牛顿第二定律
联立解得
从大圆环顶端到点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为，根据机械能守恒定律
在该处根据牛顿第二定律
联立可得
则大圆环对小环作用力的大小
根据数学知识可知的大小在时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
故选C。
1．（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）

A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
2．（2022·全国·统考高考真题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
3．（2022·全国·统考高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·统考高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
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