资源简介

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专题47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值和多解问题
考情分析 考题统计
熟练掌握四种处理有界磁场的临界问题；理解并掌握带电粒子在磁场中运动时形成的多解问题。。 2024·湖北·高考物理第10题 2024·河北·高考物理第10题 2024·重庆·高考物理第14题 2024·海南·高考物理第15题 2024·山东·高考物理第14题
【网络建构】
【考点梳理】
考法1 有界磁场中的临界问题
角度1： “放缩放”解决有界磁场中的临界问题
适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
角度2： “旋转法”解决有界磁场中的临界问题
模型二　“旋转圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径 R＝的圆上
界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
角度3： “平移圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
角度4： “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
考法2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
角度1：带电粒子电性不确定形成的多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
角度2：磁场方向不确定形成的多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
【题型过关练】
题型1 有界磁场中的临界问题
1.如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　）

A． B． C． D．
2.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于底面向里，磁感应强度的大小，磁场内有一块较大的平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离处，有一个点状的粒子放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷量与质量之比，现只考虑在图纸平面内运动的粒子，则感光板上被粒子打中区域的长度（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
3.如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
4.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A. B．
C． D．
5.如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是(　　)
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
题型2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力）
2.如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　）
A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点
B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
3.真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×106C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。
4.如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　）
A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为
C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
【真题演练】
1．（全国·高考真题）直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔；
(3)乙的比荷可能的最小值。
4．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
5．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
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专题47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值和多解问题
【考情分析】
考情分析 考题统计
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【网络建构】
【考点梳理】
考法1 有界磁场中的临界问题
角度1： “放缩放”解决有界磁场中的临界问题
适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
角度2： “旋转法”解决有界磁场中的临界问题
模型二　“旋转圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径 R＝的圆上
界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
角度3： “平移圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
角度4： “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
考法2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
角度1：带电粒子电性不确定形成的多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
角度2：磁场方向不确定形成的多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
【题型过关练】
题型1 有界磁场中的临界问题
1.如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（　　）

A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图所示

由几何关系可知，
半径最大为从a点射出，如图所示

由几何关系可知，
由牛顿第二定律有，
解得，
则有
为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为
故选BC。
2.如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于底面向里，磁感应强度的大小，磁场内有一块较大的平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离处，有一个点状的粒子放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷量与质量之比，现只考虑在图纸平面内运动的粒子，则感光板上被粒子打中区域的长度（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【答案】B
【详解】粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有
解得，
由于，因此，向不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与相切，则此切点就是粒子能打中的左侧最远点；再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离的距离不可能超过，以为半径、为圆心作圆，交于右侧的点，此即右侧能打到的最远点。粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得，，，
则感光板上被粒子打中区域的长度，
故选B。
3.如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
[解析] (1)由左手定则可知，粒子带正电．
(2)如图所示，设粒子的质量为m，带电荷量为q，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，依题意有2R＝R1＋R2，R＝10 cm
由牛顿第二定律qv0B＝，代入数据解得＝3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置，则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度，如图所示，在△O1OM中，由几何关系有OM2＝R2－(R－R2)2，解得OM＝8 cm
MN＝R－OM，联立代入数据解得MN＝2 cm
4.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C　
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r，周期为T＝＝，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，弦长最大值为磁场区域圆的直径2r，根据几何关系可得轨迹所对圆心角为60°，故tmax＝＝，选项C正确．
5.如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是(　　)
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
【答案】ACD
【解析】首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：Bqv＝m，将速度代入，解得：r＝R，那么由几何关系知道该质子最后沿着OC方向从O点的正下方C点射出磁场，故A正确；再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，由几何知识可知四边形DEOC是菱形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点水平入射的质子也从O点的正下方C点射出，故C正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确．
题型2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力）
【答案】或者
【详解】当粒子带负电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点下边界射出，此时有最大速度，轨迹如下图
由几何关系得，
由洛伦兹力提供向心力，得
联立解得，
则，该带电粒子的速度的大小范围为，
当粒子带正电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点上边界射出，此时有最大速度，轨迹图如下
由几何关系得，
由洛伦兹力提供向心力，得
联立解得，
则，该带电粒子的速度的大小范围为，
2.如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　）
A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点
B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
【答案】ABD
【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种
A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误；
B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确；
C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为，x=
所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为
则经过三个周期后经过B点。故C错误；
D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。
故选ABD。
3.真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×106C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。
【答案】(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为
【详解】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由，，解得，
当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间
(2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得：
与轴交点坐标的最大值为
与轴交点坐标的最小值为
(3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论：
如图可见1、2、3、4时可能的分段情况．
①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动
②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期
④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长．
综上可得：
(1)当取非的正整数时，均可以回到出发点．
(2)当时，最小循环周期为
．
4.如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　）
A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为
C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
【答案】AD
【详解】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示
根据
解得
由几何关系可知，
则有，A正确；
B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间，
由于，解得，B错误；
CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小
粒子运动的时间
由于，解得，
若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示
由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径，
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小，
粒子运动的时间，由于，解得，，C错误，D正确。
故选AD。
【真题演练】
1．（全国·高考真题）直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D为一直线 ，
解得
故选D。
2．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交于点，如图所示
由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，此时轨迹对应的最大圆心角为，
则粒子在磁场中运动的最长时间为，
故选C。
3．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔；
(3)乙的比荷可能的最小值。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，，
Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，
所以，再次经过P点的时间为，
由匀速圆周运动的规律得，
绕一周的时间为，
所以，再次经过P点的时间为
两次经过P点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得，，
完成一周期运动上升的距离，
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则，，结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则，
计算可得（n=1，2，3……），由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷最小，为
4．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径，R=a，则，则
粒子从S到O，有动能定理可得，可得
（2）甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为、，取向上为正，则有，，计算可得，，
两粒子碰后在磁场中运动，，解得，
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为，
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间
（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在磁场中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示
设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了，由余弦定理可得，
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移
5．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
【答案】(1)，0.8R；(2)；(3)当时：；当时：；当时：
【详解】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得
，
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为、，由几何关系可得
探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界的距离最大，
则
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量
当时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当时， 只有b和c束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当时， 只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
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