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(共52张PPT)
板块二 三角函数与平面向量
创新点2 三角函数与解三角形创新题型突破
高考定位
三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
精准强化练
题型一　解三角形的新情境问题
题型二　三角函数的新定义问题
题型三　三角与数列的交汇
题型突破
题型一　解三角形的新情境问题
例1
√
解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.
规律方法
我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着
伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.
训练1
题型二　三角函数的新定义问题
例1
因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，
又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；
因为g(x)＝cos x，则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cos x，
又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，
故g(x)＝cos x不具有性质P.
已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P；(直接写出结论)
(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.
由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，
由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，
即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；
由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，
函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；
当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，
这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；
当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，
此时函数g(x)的值域为[0，1]，
而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，
此时函数g(x)的值域为[－1，0]，
函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，
与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，
即f(2π)＝2π，命题得证.
解决三角函数新定义问题的思路
(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
规律方法
训练2
题型三　三角与数列的交汇
例3
(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.
规律方法
训练3
【精准强化练】
√
由cos nx＝Tn(cos x)，
得cos 90°＝cos(5×18°)＝T5(cos 18°)
＝16cos518°－20cos318°＋5cos 18°，
即16cos518°－20cos318°＋5cos 18°＝0，
整理得16cos418°－20cos218°＋5＝0，
A.versin θ＝AM B.csc θ＝PS
C.cot θ＝BS D.sec θ＝NB
√
√
√
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.
√
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是
A.27.75 m B.27.25 m
C.26.75 m D.26.25 m
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为_____________ km.
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由.　三角函数与解三角形创新题型突破
高考定位　三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
【题型突破】
题型一　解三角形的新情境问题
例1 (2024·黑龙江二模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木块，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α 满足cos α＝，则这块四边形木板周长的最大值为(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
训练1 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.
题型二　三角函数的新定义问题
例2 已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.
训练2 对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)＋g(x2)＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像.
(1)若f(x)＝2sin，x∈R；
g(x)＝3cos，x∈R，
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－6)，并说明理由；
(2)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝3cos，x∈[0，π]，
且f(x)与g(x)具有关系M，
求x1＝的像；
(3)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系M(5)，求实数a的取值范围.
题型三　三角与数列的交汇
例3 (2024·广州二模)已知正项数列{an}，{bn}满足an＋1＝，bn＋1＝(其中c>0).
(1)若a1≠b1，且a1＋b1≠2c，证明：数列{an－bn}和{an＋bn－2c}均为等比数列；
(2)若a1>b1，a1＋b1＝2c，以an，bn，c为三角形三边长构造序列△AnBnCn(其中AnBn＝c，BnCn＝an，AnCn＝bn)，记△AnBnCn外接圆的面积为Sn，证明：Sn>c2；
(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.
训练3 (2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝.
(1)求a2 024(只需写出数值，不需要证明)；
(2)若数列{an}的通项可以表示成an＝－sin(ωn＋φ)的形式，求ω，φ.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛质检)数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n倍角公式，即cos nx＝Tn(cos x)，T0(x)＝1，T1(x)＝x，T2(x)＝2x2－1，T3(x)＝4x3－3x，T4(x)＝8x4－8x2＋1，T5(x)＝16x5－20x3＋5x，…，则cos218°＝(　　)
A. B.
C. D.
2.(2024·浙江二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ＝，正割函数sec θ＝，余割函数csc θ＝，正矢函数versin θ＝1－cos θ，余矢函数vercos θ＝1－sin θ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交于点P，A，B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M，N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T，S，其中AM，PS，BS，NB为有向线段，下列表示正确的是(　　)
A.versin θ＝AM B.csc θ＝PS
C.cot θ＝BS D.sec θ＝NB
3.(2024·武汉调研)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，C(2，2)，则△ABC的九点圆的半径为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)(　　)
A.2.1R B.2.2R
C.2.3R D.2.4R
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是(　　)
A.27.75 m B.27.25 m
C.26.75 m D.26.25 m
二、填空题
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为________ km.
三、解答题
7.数列{an}满足a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*).
(1)证明：数列{tan2an}为等差数列，并求数列{tan an}的通项公式；
(2)求正整数m，使得sin a1·sin a2·…·sin am＝.
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(1)验证g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由.
(3)已知存在这样一个函数f(x)，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f(x)是以T为周期的正弦周期函数.若f(0)＝－，f(T)＝，且存在x0∈(0，T)，使得f(x0)＝，求f(2T)的值.
【解析版】
题型一　解三角形的新情境问题
例1 (2024·黑龙江二模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木块，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α 满足cos α＝，则这块四边形木板周长的最大值为(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
答案　A
解析　因为四边形木板的一个内角α满足cos α＝，如图，
设∠BAD＝α，由题设可得圆的直径为＝5，
故BD＝5sin α，因cos α＝，α为三角形内角，故sin α＝，
故BD＝5×＝，
故AB2＋AD2－2AD·ABcos α＝BD2＝，
故(AB＋AD)2＝AD·AB＋≤＋，
故AB＋AD≤＝，
当且仅当AB＝AD＝时等号成立，
同理BC＋CD≤，
当且仅当BC＝CD＝等号成立，
故四边形周长的最大值为 cm，故选A.
规律方法　解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.
训练1 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.
答案　
解析　依题意分析可知，当伞完全张开时，
AD＝40－24＝16(cm)，
因为B为AD′的中点，
所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)，
当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，
所以BD＝20(cm)，
在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝>0，
则∠BAD为锐角，
所以sin∠BAD＝＝＝，
所以sin ∠BAC＝sin (2∠BAD)
＝2sin∠BADcos∠BAD＝2××＝.
题型二　三角函数的新定义问题
例2 已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cos x是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(<ω<，|φ|<)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.
(1)解　因为f(x)＝2x，
则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，
又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；
因为g(x)＝cos x，
则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cos x，
又g(2π)＝cos 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cos x＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cos x不具有性质P.
(2)解　若函数f(x)具有性质P，则f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)，即f(0)＝sin φ＝0，
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin(ωx)；
所以必有f(2π)＝0成立，
即sin(2ωπ)＝0，因为<ω<，
所以3π<2ωπ<5π，
所以2ωπ＝4π，则ω＝2，此时f(x)＝sin 2x，
则f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＝sin 2x，
则f(x)＋f(2π)＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x，
即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立，
所以存在ω＝2，φ＝0使函数f(x)具有性质P.
(3)证明　由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，
由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，
即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；
由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，
函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；
当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，
这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；
当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，
此时函数g(x)的值域为[0，1]，
而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，
此时函数g(x)的值域为[－1，0]，
函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，
与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，
即f(2π)＝2π，命题得证.
规律方法　解决三角函数新定义问题的思路
(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
训练2 对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)＋g(x2)＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像.
(1)若f(x)＝2sin，x∈R；
g(x)＝3cos，x∈R，
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－6)，并说明理由；
(2)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝3cos，x∈[0，π]，
且f(x)与g(x)具有关系M，
求x1＝的像；
(3)若f(x)＝2sin，x∈；
g(x)＝－2sin2x＋asin x＋2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系M(5)，求实数a的取值范围.
解　(1)f(x)与g(x)不具有关系M(－6)，
理由如下：
x∈R时，f(x)＝2sin∈[－2，2]，
g(x)＝3cos∈[－3，3]，
所以f(x1)＋g(x2)∈[－5，5]，－6 [－5，5]，
则f(x)与g(x)不具有关系M(－6).
(2)由题意可知f(x1)＋g(x2)＝
＝2sin＋3cos
＝＋3cos，
所以cos＝ 3x2＋＝±＋2kπ，
又x2∈[0，π]，所以3x2＋∈，
解之得x2＝或或，
即x1＝的像为或或.
(3)对于x∈，
则2x＋∈，
所以f(x)＝2sin∈[－1，2]，
即 x1∈，f(x1)∈[－1，2]，
因为f(x)与g(x)具有关系M(5)，
所以要满足题意需 x2∈R，
使得[－1，2] 5－g(x2)即可.
令5－g(x)＝2sin2x－asin x＋3(x∈R)，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
设h(t)＝2t2－at＋3(t∈[－1，1])，
①若≤－1，即a≤－4时，
h(t)∈[h(－1)，h(1)]＝[5＋a，5－a]，
则 a≤－6，
②若≥1，即a≥4时，h(t)∈[h(1)，h(－1)]＝[5－a，5＋a]，
则 a≥6，
③若－1<≤0，即－4h(t)∈＝，
则 或显然无解，
④若0<<1，即0h(t)∈＝，
则 或显然无解，
综上所述，a≥6或a≤－6.
题型三　三角与数列的交汇
例3 (2024·广州二模)已知正项数列{an}，{bn}满足an＋1＝，bn＋1＝(其中c>0).
(1)若a1≠b1，且a1＋b1≠2c，证明：数列{an－bn}和{an＋bn－2c}均为等比数列；
(2)若a1>b1，a1＋b1＝2c，以an，bn，c为三角形三边长构造序列△AnBnCn(其中AnBn＝c，BnCn＝an，AnCn＝bn)，记△AnBnCn外接圆的面积为Sn，证明：Sn>c2；
(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.
证明　(1)正项数列{an}，{bn}，满足an＋1＝，bn＋1＝，
两式相减可得an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，
因为a1≠b1，所以a1－b1≠0，所以{an－bn}是以a1－b1为首项，－为公比的等比数列，
由an＋1＝，bn＋1＝两式相加可得
an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)＋c，
即an＋1＋bn＋1－2c＝(an＋bn－2c)，
因为a1＋b1≠2c，所以a1＋b1－2c≠0，所以{an＋bn－2c}是以a1＋b1－2c为首项，为公比的等比数列.
(2)因为a1>b1，由(1)得{an－bn}是等比数列，所以an－bn≠0，即an≠bn，
由(1)知，an＋1＋bn＋1－2c＝(an＋bn－2c)，
因为a1＋b1＝2c，所以a1＋b1－2c＝0，所以{an＋bn－2c}为常值数列0，故an＋bn＝2c，
由cos Cn＝＝
＝
＝
＝－≥－＝，
因为an≠bn，所以等号不成立，
故cos Cn>，因为Cn∈(0，π)，所以Cn∈，所以sin Cn<，
由正弦定理得△AnBnCn外接圆的直径2r＝>＝，
所以r>，所以Sn＝πr2>.
(3)由(1)可知，an－bn＝(a1－b1)，
由(2)可知，an＋bn＝2c，
解得an＝c＋，
bn＝c－，
所以anbn＝c2－
＝c2－(a1－b1)2，
anbn随着n的增大而增大，又因为
cos Cn＝＝＝＝－1，
所以cos Cn随着n的增大而减小，所以{cos Cn}是递减数列，
因为Cn∈，所以{sin Cn}是递增数列，是递减数列，
所以数列{Sn}是递减数列.
规律方法　1.解答本题第(2)题的关键是利用第(1)题得到数列{an＋bn－2c}为常值数列0，即an＋bn＝2c，利用余弦定理及基本不等式得到cos Cn>，即sin Cn<，再由正弦定理得r>，即得Sn>c2.
2.解决三角函数与数列的交汇问题，一般要抓住一个主线，在解题过程中适时应用另外一种知识涉及的定理、公式或性质.
训练3 (2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝.
(1)求a2 024(只需写出数值，不需要证明)；
(2)若数列{an}的通项可以表示成an＝－sin(ωn＋φ)的形式，求ω，φ.
解　(1)a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，
故数列{an}的周期为3，a2 024＝a2＝2.
(2)法一　由a1＝，a2＝2，
得
则
解得ω＝，φ＝.
法二　因为{an}的周期为3，所以ω＝，
又由a1＝，则－sin＋＝，
即sin＝0，
则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
因为－≤φ≤，解得φ＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛质检)数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n倍角公式，即cos nx＝Tn(cos x)，T0(x)＝1，T1(x)＝x，T2(x)＝2x2－1，T3(x)＝4x3－3x，T4(x)＝8x4－8x2＋1，T5(x)＝16x5－20x3＋5x，…，则cos218°＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由cos nx＝Tn(cos x)，
得cos 90°＝cos(5×18°)＝T5(cos 18°)
＝16cos518°－20cos318°＋5cos 18°，
即16cos518°－20cos318°＋5cos 18°＝0，
整理得16cos418°－20cos218°＋5＝0，
令t＝cos218°，则16t2－20t＋5＝0，
解得t＝，
因为18°<30°，所以cos 18°>，t＝cos218°>，所以t＝.
2.(2024·浙江二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ＝，正割函数sec θ＝，余割函数csc θ＝，正矢函数versin θ＝1－cos θ，余矢函数vercos θ＝1－sin θ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交于点P，A，B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M，N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T，S，其中AM，PS，BS，NB为有向线段，下列表示正确的是(　　)
A.versin θ＝AM B.csc θ＝PS
C.cot θ＝BS D.sec θ＝NB
答案　C
解析　根据题意，易得△OMP∽△OAT∽△SBO∽△PNO，
对于A，因为1－cos θ＝1－OM＝MA，
即versin θ＝MA，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
csc θ＝＝＝＝＝OS，故B错误；
对于C，cot θ＝＝＝BS，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得sec θ＝＝＝＝＝OT，故D错误.
3.(2024·武汉调研)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，C(2，2)，则△ABC的九点圆的半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　AB的中点为D(1，2)，AC的中点为E(0，1)，BC的中点为F(3，3)，
所以△ABC的九点圆是三角形DEF的外接圆，|DE|＝，|DF|＝，|EF|＝，cos∠EDF＝＝－，
则∠EDF为钝角，
所以sin∠EDF＝＝，
设三角形DEF外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝＝＝，
所以R＝.
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)(　　)
A.2.1R B.2.2R
C.2.3R D.2.4R
答案　A
解析　连接E0E1，
在△SE0E1中，SE0＝SE1＝R，
又∠E1SE0＝，
则△SE0E1是正三角形，E0E1＝R，
由∠SE0M＝，∠SE1M＝，
得∠E1E0M＝，∠E0E1M＝，
在△ME0E1中，∠E0ME1＝，由正弦定理得＝，则E1M＝＝R，
在△SME1中，由余弦定理得
SM＝
＝≈R≈2.1R.
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是(　　)
A.27.75 m B.27.25 m
C.26.75 m D.26.25 m
答案　D
解析　如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，
可得EQ＝＝，
由△NTF∽△PQF，
可得FQ＝＝，
故EQ－FQ＝－＝a，
故PQ＝＝＝＝26.25 m，故选D.
二、填空题
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为________ km.
答案　4＋4
解析　如图，设切点为P，连接OP.
由题意得∠MON＝135°，
设OM＝a km，ON＝b km，
在△OMN中，MN2＝a2＋b2－2abcos 135°＝a2＋b2＋ab≥(2＋)ab，当且仅当a＝b时取等号.
设∠OMN＝α，则∠ONM＝45°－α，
所以a＝，b＝，
故ab＝＝≥(当且仅当α＝22.5°时取等号)，所以MN2≥＝16(＋1)2，解得MN≥4(＋1)，所以MN的最小值为(4＋4) km.
三、解答题
7.数列{an}满足a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*).
(1)证明：数列{tan2an}为等差数列，并求数列{tan an}的通项公式；
(2)求正整数m，使得sin a1·sin a2·…·sin am＝.
(1)证明　由已知条件可知，由于cos an>0，
故an＋1∈，tan2an＋1＝＝＝1＋tan2an，
则tan2an＋1－tan2an＝1，
故数列{tan2an}是以1为公差的等差数列，且首项为tan2a1＝tan2＝，
故tan2an＝n－1＋＝，
即tan an＝.
(2)解　sin a1·sin a2·…·sin am＝tan a1cos a1·tan a2cos a2·…·tan am cos am
＝··…·＝＝，
由＝，得m＝3 333.
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(1)验证g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cos x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由.
(3)已知存在这样一个函数f(x)，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f(x)是以T为周期的正弦周期函数.若f(0)＝－，f(T)＝，且存在x0∈(0，T)，使得f(x0)＝，求f(2T)的值.
解　(1)sin[g(x＋6π)]＝sin
＝sin
＝sin
＝sin ＝sin [g(x)]，
所以g(x)＝x＋cos 是以6π为周期的正弦周期函数.
(2)f(x)＝|sin x|－|cos x|，易知π是它的一个周期，
因为f(x＋π)＝|sin(x＋π)|－|cos(x＋π)|
＝|－sin x|－|－cos x|＝|sin x|－|cos x|＝f(x)，
下面证明π是f(x)的最小正周期，
x∈时，f(x)＝sin x－cos x单调递增，
x∈时，f(x)＝sin x＋cos x单调递减，
又f＝－＝|cos x|－|sin x|，
f＝－＝|cos x|－|－sin x|＝|cos x|－|sin x|，
所以f＝f，
即函数图象关于直线x＝对称，
所以当0假设函数有小于π的正周期，则≤T<π，
取0而f(x)在这两个区间上单调性相反，假设错误.
所以T＝π是f(x)的最小正周期.
(3)因为sin [f(x)]是周期函数，T是它的一个周期，
sin [f(0)]＝sin ＝1，
sin [f(T)]＝sin ＝1，
又由题意sin [f(x0)]＝sin ＝1，0因为sin f(x0＋T)＝1，sin [f(2T)]＝1，f(x)是增函数，
所以f(T)又sin t＝1时，t＝2kπ＋，k∈Z，
f(x0＋T)∈{t|t＝2kπ＋，k∈Z}，
f(2T)∈{t|t＝2kπ＋，k∈Z}，
因为f(x)是严格递增函数，
所以{…，0，x0，T，T＋x0，2T，…}与{…，－，，，，，…}是一一对应的，
因此f(x0＋T)＝，f(2T)＝.

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